高中數(shù)學(xué)排列組合題型總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)提示

排列組合

復(fù)習(xí)鞏固

1.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

完成一件事，有〃類辦法，在第1類辦法中有町種不同的

方法，在第2類辦法中有瑕種不同的方法，…，在第〃類

辦法中有加“種不同的方法，那么完成這件事共有：

N=叫+機(jī)2++mn］種不同的方法.

2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成〃個(gè)步驟，做第1步有叫種不同的

方法，做第2步有嗎種不同的方法，…，做第〃步有也種不

同的方法，那么完成這件事共有：底五三引種不同的方

法.

3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別

分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立

地完成這件事。

分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的

一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件.

一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇

數(shù).

解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合

要求的元素占了這兩個(gè)位置.

先排末位共有c；

然后排首位共有c；

最后排其它位置共有用

由分步計(jì)數(shù)原理得Cc遙=288

練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花

不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不

同的種法？

二.相鄰元素捆綁策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少

種不同的排法.

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，

同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排

歹“，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理

可得共有6M8=480種不同的排法

要求某幾個(gè)元素必須排在-■起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元

委一士二任鈾:7；||曰好晅、十聲八在二美r+r頡Xh,認(rèn)為蝕:7；1]

練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連

在一起的情形的不同種數(shù)為20

三.不相鄰問題插空策略

例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈

節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？

解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有&種，第

二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾

兩個(gè)空位共有種展不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目

的不同順序共有種

|元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端

練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，

開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入

原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種

數(shù)為30

四.定序問題倍縮空位插入策略

例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同

的排法

解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把

這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用

總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則

共有不同排法種數(shù)是：用//

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐

共有勺種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有」

種坐在，則共有&種方法。

思考:可以先讓甫乙丙就坐嗎？

（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4

四人依次插入共有方法

定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理

練習(xí)題：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人，要求

從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？黨

五.重排問題求塞策略

例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同

的分法

解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有二

種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類

推，由分步計(jì)數(shù)原理共有r種不同的排法

允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐?安排各個(gè)元素的位置，一般地n不

m

練習(xí)題：

1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演

前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目

單中，那么不同插法的種數(shù)為42

2.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一

層下電梯，下電梯的方法［

六.環(huán)排問題線排策略

例6.8人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首

尾之分，所以固定一人用并從此位置把圓形展成直線

其余7人共有(8-1)1種排法即7!

一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列，共有(n-D!種排法,如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有

練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120

七.多排問題直排策略

例人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,

共有多少排法

解：8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子

排成一排.個(gè)特殊元素有色種,再排后4個(gè)位置上的特

殊元素丙有氈種,其余的M人在5個(gè)位置上任意排列

有種,則共有種

一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.

練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，

現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐,

并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

346

八.排列組合混合問題先選后排策略

例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝

一個(gè)球,共有多少不同的裝法.

解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有q種方法.

再把4個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元素）裝入4個(gè)示同的盒

內(nèi)有苗種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有

空

解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎？

練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選

4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正

副班長(zhǎng)有且只有1人參加，則不同的選法有192

種

九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略

例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩

個(gè)偶數(shù)夾1,5在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少

個(gè)？

解：把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有貨種排

法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有必種排法，由分步訐數(shù)原

理共有中汨種排法一.

練習(xí)題：_

1.計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫,

5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的必

須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式

的種數(shù)為

2.5男生和蔻星站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的

排法有種

十.元素相同問題隔板策略

例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),

有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰

名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置

插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班

級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有0種分法。

將n個(gè)相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)

g皿Uim七八??,+皿d「"I

練習(xí)題：

1.10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中，每盒至少一有多少裝法？

c；

2.x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)味

十一.正難則反總體淘汰策略

例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù),

使其和為不小于10的偶數(shù),不同的

取法有多少種？

解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用

總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù)，所取

的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有些只含有1個(gè)偶數(shù)的取

法有和為偶數(shù)的取法共有cC+c；。再淘汰和小于10

的偶藪親9種，符合條件的取法共有ce+c；-9

有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.

練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、

團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的

抽法有多少種？

十二.平均分組問題除法策略

例12.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分

法？

解：分三步取書得空三種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的

現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF,若第一步取AB,第二

步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則

或c：c；中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(

EF,AB,CD)共有用種取法，而這些分法僅是

(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。

平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(〃為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。

練習(xí)題：

1將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì)，其它兩組4個(gè)隊(duì)，有

多少分法？(黨或：4)

名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長(zhǎng)不

能分在同一組，有多少種不同的分組方法(1540)

3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,

要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安

排方案種數(shù)為

(C：C；A：/A；=9O)

十三.合理分類與分步策略

例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5

人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，

有多少選派方法

解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全

能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人

中沒有人選上唱歌人員共有空種，只會(huì)唱的5人中

只有1人選上唱歌人員止前只會(huì)唱的5人中只有

2人選上唱歌人員有金神，由分類計(jì)數(shù)原理共有

+種。

解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次

清處.不審不漏.介生標(biāo)準(zhǔn)一日旅宗弗博容平便顏時(shí)程的怡次。

練習(xí)題：

1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì),

若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

34

2.3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人，2號(hào)船最多

乘2人,3號(hào)船只能乘1人他們?nèi)芜x2只船或3只船，但

小孩不能單獨(dú)乘一只船，這3人共有多少乘船方法.

(27)

本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：

*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)

*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)

*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)

都可經(jīng)得到正確結(jié)果

十四.構(gòu)造模型策略

例14.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,

現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3

盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法

有多少種？

解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中

插入3個(gè)不亮的燈有g(shù)種

一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決

練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊

都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）

十五.實(shí)際操作窮舉策略

例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的

五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子

放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,

有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有c；種還剩下3球3

盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法「如果剩下3,4,5

號(hào)球，3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有

只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有

也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2C；種

3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)

盒

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果

練習(xí)題：

1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各

拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有

多少種？（9）

2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選

顏色,則不同的著色方法有72種

十六.分解與合成策略

例16.30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除

分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式

30030=2X3X5X7義11X13,依題意可知偶因數(shù)必先取

2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因

數(shù)為：C+c；+c；+c；+c：

練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線

解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共

以-12=58,每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)

可連成3x58=174對(duì)異面直線

分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略，把一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題逐一解決，然后依據(jù)問題分解

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十七.化歸策略

例17.25人排成5X5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在

同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？

解：將這個(gè)問題退化成9人排成3X3方陣,現(xiàn)從中選3人,

要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行

必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都

劃掉，如此繼續(xù)下去.從3X3方隊(duì)中選3人的方法有CGC

種。再?gòu)?X5方陣選出3X3方陣便可解決問題.從5X5

方隊(duì)中選取3行3列有空選法所以從5X5方陣選不在同

一行也不在同一列的3人有c；c汨選法。

處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問題，通過解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問題的解

綠勻題’：；黑田市附管M隹12個(gè)全等的矩形區(qū)d成其中實(shí)線

表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？（c；=35）

十八.數(shù)字排序問題查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒

有重復(fù)的比324105大的數(shù)？

解:N=+2A：+A；++A；=297

士.'-Im-**皿'4-r-*-.4*.AA,'.-4-II4tri"/.I.-Jk-Z?-、，.-IX<I.-M*AFt人7W?-iX4JAilO.XUIE/\JJZ.、IdiL.HTin-4X,I,-M-AZ.iltL.

練習(xí)：用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶

數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第71個(gè)數(shù)是

3140

十九.樹圖策略

例19.3人相互傳球，由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)

過5次傳求后,球仍回到甲的手中，則不同的傳球方

式有N=10

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用

練習(xí)：分別編有1,2,3,4,5號(hào)碼的人與椅，其中,號(hào)人

不坐i號(hào)椅3=1,23,45）的不同坐法有多少種？N=44

二十.復(fù)雜分類問題表格策略

例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B、C、D、

E五個(gè)字母，現(xiàn)從中取5只，要求各字母均有且三色

齊備,則共有多少種不同的取法

:紅111223

黃123121

AZ.321211

取法C?C?c2C鴻

一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比較多，無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中

二H^一：住店法策略

解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元

素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作

“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接

求解.

例21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得,

獲得冠軍的可能的種數(shù)有.

分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)

排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名

“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得7,種.

排列組合易錯(cuò)題正誤解析

1沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)

排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法

原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問

題的前提.

例1從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),

其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有—

種.

誤解：因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3

臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.

錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒有意識(shí)到“選取2臺(tái)原

裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是

完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.

正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第

一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有點(diǎn)種方法；第二步

是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有或種方法，據(jù)乘法原理

共有或C種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)

加法原理完成全部的選取過程共有或C+或9=35。種方法.

例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三

人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有()種.

(A)/(B%(C)

34(D)d

誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選

A.

正解：四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取,

每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34種.

說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種

情況，由乘法原理得人這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦

被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.

2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)

在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素

的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.

例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排

成一排，共有多少種不同的排列方法？

誤解：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有展種方法.

錯(cuò)因分析：誤解中沒有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同

的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置

是同一種排法.

正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法

相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給

白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合

問題,這樣共有：C”56排法.

3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)

在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題

等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

例45本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至

少一本，不同的分法種數(shù)為（）

（A）480種（B）240

種（C）120種（D）96

種

誤解：先從5本書中取4本分給4個(gè)人，有川種方法，剩

下的1本書可以給任意一個(gè)人有4種分法，共有4y=48。種

不同的分法，選A.

錯(cuò)因分析：設(shè)5本書為八八八八e,四個(gè)人為甲、乙、

丙、T.按照上述分法可能如下的表1和表2：

甲乙丙T甲乙丙T

abcdebcd

ea

表表

表1是甲首先分得八乙分得八丙分得C、丁分得〃，最后

一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得八丙分

得c、丁分得“，最后一本書〃給甲的情況.這兩種情況是完

全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了

一次.

正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個(gè)人.

第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有或種

方法；第二步：再把4本書分給4個(gè)學(xué)生，有/種方法.由

乘法原理，共有GU240種方法，故選B.

例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，

每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有

()種.

(A)5040(B)1260(C)

210(D)630

誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下

的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：

C2宙=1260,選B.

錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問題,比如：第一人挑選的是周

一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)

人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所

以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：曾1=63。種.

4遺漏計(jì)算出錯(cuò)

在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因

為遺漏某些情況，而出錯(cuò)。

例6用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比

1000大的奇數(shù)共有（）

（A）36個(gè)（B）48個(gè)（C）66

個(gè)（D）72個(gè)

誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因

為第1位不能是0,在最后一位取定后只有3種取

法,剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有種排法，共有2X3"；=36個(gè).

錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇

數(shù)還可能是五位數(shù).

正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有2x”卷36個(gè)，再

由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選

D.

5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)

在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話

甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.

例7如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域二學(xué)必圖

著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4

種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.

（以數(shù)字作答）

誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四

個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的

兩塊區(qū)域，有C；-2.府=12種，由乘法原理共有：4x12=48種.

錯(cuò)因分析：沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選?擇?”，不一定

需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).

正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方

法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有或種

方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四

個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第

3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有C：x3x2=24種.綜

上共有：48+24=72種.

例8已知ax2-b=0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、be｛1,2,3,4），

求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).

誤解：從集合｛123,4｝中任意取兩個(gè)元素作為八b,方程有

君個(gè)，當(dāng)八b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有照+1=13個(gè).

錯(cuò)因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同

????

的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于【二;和仁;同

解、『:和同解，故要減去2個(gè)。正解：由分析，共

I。=13=2

有13—個(gè)解集不同的一元二次方程.

6未考慮特殊情況出錯(cuò)

在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就

會(huì)出錯(cuò).

例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人

民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組

成不同的幣值種數(shù)是()

(A)1024種(B)1023種(01536種(D)1535種

誤：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種

情況，減去全不取的1種情況，共有2%=1023種.

錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被

計(jì)算成4種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種

情況.

正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100

元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所

以共有29x3-1=1535種.

7題意的理解偏差出錯(cuò)

例10現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、

丙三人不能相鄰的排法有()種.

(A)(B)履-加?用(C)A；A；(D)

誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有另種排

法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有國(guó)種

方法，這樣共有留.另種排法，選A.

錯(cuò)因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”

的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互?不?相?鄰?”的情

況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能

同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.

正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相

鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即

A：-A”A；,故選B.

8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)

例10高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠

進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠

可自由選擇，則不同的分配方案有（）.

（A）16種（B）18種（C）37種（D）

48種

誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的

2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有3x4x4=48種方案.

錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如：〃班先派去了甲工

廠，人班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與匕班先派去了甲工廠，〃

班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)

作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.

正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總

數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：4x4x4-3x3x3=37種方案.

排列與組合習(xí)題

1.6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不

同的乘車方法數(shù)為（）

A.40B.50C.60D.70

［解析］先分組再排列，一組2人一組4人有d=15種

「3

不同的分法；兩組各3人共有;1=10種不同的分法，所以

乘車方法數(shù)為25X2=50,故選B.

2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座

位相鄰的不同坐法有（）

A.36種B.48種C.72種D.96種

［解析］恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)

空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共A比=72種

排法，故選C.

3.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必

須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有

A.6個(gè)B.9個(gè)C.18個(gè)D.36個(gè)

［解析］注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使

用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C；=3（種）

選法，即1231,1232,1233,而每種選擇有度XC；=6（種）

排法，所以共有3X6=18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有18

個(gè).

4.男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取

1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）

A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4

人

［解析］設(shè)男生有〃人，則女生有（8—〃）人，由題意可得

C^-.=30,解得77=5或〃=6,代入驗(yàn)證，可知女生為2

人或3人.

5.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上

一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走

完，則方法有（）

A.45種B.36種C.28種D.25種

［解析］因?yàn)?0-8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)

階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有2步，那么共有《=28種

走法.

6.某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)

部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外

三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分

配方案共有（）

A.24種B.36種C.38種D.108種

［解析］本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩

名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名

電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C；種

分法，然后再分到兩部門去共有C擄種方法，第三步只需

將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是

每個(gè)部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故

第三步共有C：種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2C；A；C；=

36（種）.

7.已知集合/={5},6={1,2},。={1,3,4},從這三個(gè)

集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則

確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.33B.34C.35D.36

［解析］①所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1

的有C?A：=12個(gè);

②所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的

有C?A；+A=18個(gè);

③所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的

有C；=3個(gè).

故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12+18+3=33個(gè)，故

選A.

8.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與

5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.72B.96C.108D.144

［解析］分兩類：若1與3相鄰,有A”C；A爪=72（個(gè)），

若1與3不相鄰有不?A；=36（個(gè)）

故共有72+36=108個(gè).

9.如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某

展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀

兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有

（）

A.50種B.60種C.120種D.210種

［解析］先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方

法一共有6種：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7）,

甲任選一種為C；,然后在剩下的5天中任選2天有序地安

排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有麻種，按照分步乘法計(jì)

數(shù)原理可知共有不同的安排方法C；-收=120種，故選C.

10.安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人

值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，

不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

［解析］先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A看=20（種）

排法，其余5人再進(jìn)行排列，有法=12余種）排法,所以共

有20X120=2400（種）安排方法.

11.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)

分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的排法.（用數(shù)

字作答）

［解析］由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一

個(gè)組合問題，共有C；-CM《=1260（種）排法.

12.將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)

組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配

方案有種（用數(shù)字作答）.

［解析］先將6名志愿者分為4組，共有雷種分法，再

將4組人員分到4個(gè)不同場(chǎng)館去，共有A：種分法，故所有

分配方案有：空滬?A：=1080種.

13.要在如圖所示的花圃中的5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不

同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有種不同的種法

（用數(shù)字作答）.

［解析］5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法.若

1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法,

???有4X3X2義（1X2+1*1）=72種.

14.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同

的信封中.若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放

入同一信封，則不同的方法共有

（A）12種（B）18種（C）36種

（D）54種

【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四

封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有種方法，共有種，故

選B.

15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1

人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天,

丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排

方案共有

A.504種B.960種C.1008

種D.1108種

解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào)共有2xA；A：A：種方

法

甲乙排中間，丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有

4用）種方法

故共有1008種不同的排法

16.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不

與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是

(4)72")96(C)108(〃)

144*s5*o*m

解析：先選一個(gè)偶數(shù)字排個(gè)位，有3種選法*s5*o*m

①若5在十位或十萬位，則1、3有三個(gè)位置可排，3&&

=24個(gè)

②若5排在百位、千位或萬位，則1、3只有兩個(gè)位置可

排，共3用用=12個(gè)

算上個(gè)位偶數(shù)字的排法，共計(jì)3(24+12)=108個(gè)

答案：C

17.在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)

字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若

所用數(shù)字只有0和I,則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置

上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為

18.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會(huì)

志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)

工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加。甲、乙不會(huì)開車但

能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同

安排方案的種數(shù)是

A.152

【解析】分類討論：若有2人從事司機(jī)工作，則方案有

C；x^=18；若有1人從事司機(jī)工作，則方案有C；xC：xA；=108種，

所以共有18+108=126種，故B正確

19.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、

2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出

的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(D)

(A)150種(B)180種(C)300種(D)345種

解：分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法；

(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345

種選法.選D

20.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)

班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)

班，則不同分法的種數(shù)為

【解析】用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)

班的種數(shù)是，順序有種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有種，

所以種數(shù)是

21.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲

不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排

法的種數(shù)是

A.60B.48C.42

D.36

【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記

作A,（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B,兩名男

生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、

B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之

間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有6

X2=12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三

個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有12X4=48種

不同排法。

解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起

記作A,（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B,兩名

男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況:

第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，

共有=24種排法；

第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B

和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有=12種排法

第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”

A和男生甲也只有一種排法。

此時(shí)共有=12種排法

三類之和為24+12+12=48種。

22.從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理,則甲、

乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位

[C]

A85B56C49D

28

【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一

個(gè)的選法有：，另一類是甲乙都去的選法有=7,所以共有

42+7=49,即選C項(xiàng)。

23.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲

不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排

法的種數(shù)是

A.360B.188C.216D.96

解析：6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相

鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法

故共有188

解析2：由題意有，選B。

24.12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3

個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)），則3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率

為（）

A.B.C.D.

解析因?yàn)閷?2個(gè)組分成4個(gè)組的分法有種，而3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰

好被分在同一組分法有，故個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概

率為。

25.甲、乙、丙人站到共有級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多

站人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法

種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【解析】對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，則有種；若有

一個(gè)臺(tái)階有2人，另一個(gè)是1人，則共有種，因此共有不

同的站法種數(shù)是336種.

26.鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡

湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀

取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（）

A.B.C.D.

【解析】因?yàn)榭偟奶戏ǘ笫录娜》ǚ譃槿?，即?/p>

麻餡湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個(gè)數(shù)分別按；1,

2,1；2,1,1三類，故所求概率為

27.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至

少一名，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作

答）.

【解析】分兩步完成：第一步將4名大學(xué)生按，2,1,1

分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)

鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件得分配的方案有

28.將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩

個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子

的編號(hào)，則不同的放球方法有（)

A.10種B.20種C.36種

D.52種

解析：將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的

兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒

子的編號(hào)，分情況討論：①1號(hào)盒子中放1個(gè)球，其余3

個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；②1號(hào)盒子中放2個(gè)球，其

余2個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；則不同的放球方法有10

種，選A.

29.將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班

至少1名，最多2名，則不同的分配方案有

（A）30種（B）90種（C）180種

（D）270種

解析：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每

班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1

人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個(gè)班，

共有種不同的分配方案，選B.

30.某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)

支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同

不去,則不同的選派方案共有種

解析：某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地

區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去

或同不去，可以分情況討論，①甲、丙同去，則乙不去，

有二240種選法；②甲、丙同不去，乙去,有二240種選法；

③甲、乙、丙都不去，有種選法，共有600種不同的選派

方案.

31.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，

則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）.

解析：可以分情況討論：①若末位數(shù)字為0,則1,2,為

一組，且可以交換位置，3,4,各為1個(gè)數(shù)字，共可以組

成個(gè)五位數(shù)；②若末位數(shù)字為2,則1與它相鄰，其余3

個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有個(gè)五位數(shù)；③若末

位數(shù)字為4,則1,2,為一組，且可以交換位置，3,0,

各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有二8個(gè)五位數(shù)，所

以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。

32.有一排8個(gè)發(fā)光二極管，每個(gè)二極管點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅

光或綠光，若每次恰有3個(gè)二極管點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)二

極管不能同時(shí)點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)亮的二極管的不同位置

和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信

息種數(shù)共有多少種？

［解析］因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)二極管不能同時(shí)點(diǎn)亮，所以需要

把3個(gè)點(diǎn)亮的二極管插放在未點(diǎn)亮的5個(gè)二極管之間及兩

端的6個(gè)空上，共有4種亮燈辦法.然后分步確定每個(gè)二

極管發(fā)光顏色有2X2X2=8（種）方法，所以這排二極管能

表示的信息種數(shù)共有C?X2X2X2=160（種）.

33.按下列要求把12個(gè)人分成3個(gè)小組，各有多少種不同

的分法？

⑴各組人數(shù)分別為2,4,6個(gè)；⑵平均分成3個(gè)小組;⑶

平均分成3個(gè)小組，進(jìn)入3個(gè)不同車間.

［解析］⑴C；2C：C=13860（種）；（2）775（種）;

（3）分兩步：第一步平均分三組；第二步讓三個(gè)小組分別進(jìn)

入三個(gè)不同車間，故有-A：=C：2?C：?C：=34650（種）

不同的分法.

34.6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少

種？

（1）任何2名女生都不相鄰有多少種排法？（2）男甲不在首

位，男乙不在末位，有多少種排法？

⑶男生甲、乙、丙排序一定，有多少種排法？（4）男甲在

男乙的左邊（不一定相鄰）有多少種不同的排法？

［解析］（1）任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以

先排男生再讓女生插到男生的空中，共有A：?A；種不同排

法.

（2）方法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末

位，則有用種排法，若甲不在末位，則甲有A；種排法，乙

有A；種排法，其余有就種排法，

綜上共有共。+A遍?度）種排法.

方法二：無條件排列總數(shù)

’甲在首，乙在末慮

A；：—|甲在首，乙不在末房一點(diǎn)

、甲不在首，乙在末解一A；

甲不在首乙不在末，共有(A；；—2A；+A；)種排法.

(3)10人的所有排列方法有A；：種，其中甲、乙、丙的

排序有用種，又對(duì)應(yīng)甲、乙、丙只有一種排序，所以甲、

A10

乙、丙排序一定的排法有子種.

力3

(4)男甲在男乙的左邊的10人排列與男甲在男乙的右

邊的10人排列數(shù)相等，而10人排列數(shù)恰好是這二者之和,

因此滿足條件的有;A；；種排法.

35.已知％〃是正整數(shù)，〃x)=(l+x)，"+(l+x)"的展開式中X的系數(shù)

為7,

(1)試求小)中的/的系數(shù)的最小值

(2)對(duì)于使/⑴的/的系數(shù)為最小的根,〃，求出此時(shí)/的系

數(shù)

(3)利用上述結(jié)果，求/(O.OO3)的近似值(精確至I」)

解：根據(jù)題意得：C；,+C；=7,即/篦+〃=7(1)

m(m-1)n{n-1)m2+n2-m-n

的系數(shù)為第+第------------1----------=--------------------

222

將⑴變形為e—m代入上式得：,的系數(shù)為

735

m2-Im+21=(m-—)2

故當(dāng)加=3或側(cè)"，x2的系數(shù)的最小值為9

(1)當(dāng)m-3,n-4或zn=4,〃=3時(shí),/的系數(shù)為為C；+。：=5

(2)/(0.003)x2.02

排列與組合習(xí)題

1.6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不

同的乘車方法數(shù)為()

A.40B.50C.60D.70

［解析］先分組再排列，一組2人一組4人有森=15種

不同的分法；兩組各3人共有詞=10種不同的分法，所以

乘車方法數(shù)為25X2=50,故選B.

2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座

位相鄰的不同坐法有()

A.36種B.48種C.72種D.96種

［解］恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位

不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共A盤=72種排法,

故選c.

3.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必

須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有

（）

A.6個(gè)B.9個(gè)C.18個(gè)D.36個(gè)

［解析］注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使

用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C；=3（種）

選法，即1231,1232,1233,而每種選擇有A；XC；=6（種）

排法，所以共有3X6=18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有18

個(gè).

4.男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取

1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）

A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4

人

［解析］設(shè)男生有〃人，則女生有（8—〃）人，由題意可得

1索一=30,解得77=5或77=6,代入驗(yàn)證，可知女生為2

人或3人.

5.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上

一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走

完，則方法有（）

A.45種B.36種C.28種D.25種

［解析］因?yàn)?0+8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)

階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有2步，那么共有心=28種

走法.

6.某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)

部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外

三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分

配方案共有（）

A.24種B.36種C.38種D.108種

［解析］本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩

名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名

電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C；種

分法，然后再分到兩部門去共有C次種方法，第三步只需

將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是

每個(gè)部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故

第三步共有C；種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2C；AO=

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