新北師大版高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《空間向量與立體幾何》檢測(含答案解析)

一、選擇題1．已知平行六面體中，，，，，．則的長為（）A． B． C． D．2．如圖，四邊形和都是正方形，為的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的余弦值是（）A． B． C． D．3．在棱長為的正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為()A． B． C． D．4．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，則線段的長為（）A． B．1 C．2 D．5．已知正方體,為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．如圖是由16個邊長為1的菱形構(gòu)成的圖形，菱形中的銳角為則A． B．C． D．7．在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）A． B．且C．且 D．且8．圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面的中心，為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）若則點(diǎn)形成的軌跡的長度為()A． B． C． D．9．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A． B． C． D．10．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，為的中點(diǎn)，面，且，動點(diǎn)在以為球心半徑為1的球面上運(yùn)動，點(diǎn)在面內(nèi)運(yùn)動，且，則長度的最小值為（）A． B． C． D．11．如圖，棱長為1的正方體，是底面的中心，則到平面的距離是（）A． B． C． D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，、，沿x軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，則AB的長為（）A． B． C． D．二、填空題13．在空間四邊形ABCD中，連接AC、BD,若BCD是正三角形，且E為其中心，則的化簡結(jié)果為________．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB⊥AC，且AA1=AB=AC，則異面直線AB1與BC1所成角為_____．15．已知平面向量與是共線向量且,則__.16．已知四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．17．如圖所示，在正四棱柱中，，，動點(diǎn)、分別在線段、上，則線段長度的最小值是______．18．如圖，空間四邊形中，分別是對邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，分所成的定比為2，，則的值分別為_____．19．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為__________．20．三棱錐V-ABC的底面ABC與側(cè)面VAB都是邊長為a的正三角形，則棱VC的長度的取值范圍是_________.三、解答題21．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線中，并完成問題.問題：如圖，在正方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，E為棱上的動點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的動點(diǎn)，___________，試問是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.22．如圖.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，ABAD，AD=2BC=2，四邊形ABB1A1和ADD1A1均為正方形.（1）證明；平面ABB1A1平面ABCD；（2）求二面角B1CD-A的余弦值.23．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面．（2）求二面角的余弦值．24．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，已知，E為的中點(diǎn)．（1）求證；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（3）求二面角的余弦值．25．如圖，平面平面，其中四邊形為正方形，四邊形為直角梯形，，M為線段上一點(diǎn)，平面．（1）確定點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；（2）求直線與平面所成角的正弦值．26．如圖，四棱錐中中，底面是直角梯形，，，，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【分析】用空間向量基本定理表示出，然后平方后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求得．【詳解】記，，，則，同理，，由空間向量加法法則得，∴，∴，即．故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求空間線段長，解題方法是空間向量法，即選取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．2．C解析：C【分析】以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向，過作垂直平面的直線作軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向，過作垂直平面的直線作軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，得、、、，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，從而，故直線與平面所成角的余弦值是.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.3．D解析：D【分析】以為原點(diǎn)，為軸、為軸、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸、為軸、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點(diǎn)到平面的距離為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，是中檔題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.4．A解析：A【分析】由，兩邊平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算法則及數(shù)量積公式能求出的值，從而可得結(jié)果.【詳解】平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，，線段的長為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求線段的長，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5．A解析：A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，∵為的中點(diǎn)∴∴，；，.∴異面直線與所成角的余弦值為故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角∠AEM（或其補(bǔ)角），是解題的關(guān)鍵．如果異面直線所成的角不容易找，則可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來求解．6．B解析：B【解析】設(shè)菱形中橫向單位向量為縱向單位向量為，則，，，，故選B.7．D解析：D【分析】試題分析：結(jié)合其空間立體圖形易知，，，所以且，故選D．考點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，正投影圖形的概念，三角形面積公式．8．C解析：C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點(diǎn)P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0）．于是有（0，1，），（x，y，）．由于AM⊥MP，所以（0，1，）?（x，y，）＝0，即y，此為P點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查通過建立坐標(biāo)系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．屬中檔題9．D解析：D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選：.【點(diǎn)睛】本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個垂線段，然后放在直角三角形中去求.10．C解析：C【分析】若要使最短，點(diǎn)必須落在平面內(nèi)，且一定在的連線上，此時應(yīng)滿足四點(diǎn)共線，通過幾何關(guān)系即可求解【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)落在平面內(nèi)，且四點(diǎn)共線時，距離應(yīng)該最小，由可得，即點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，由幾何關(guān)系求得，，故故答案選：C【點(diǎn)睛】本題考查由幾何體上的動點(diǎn)問題求解兩動點(diǎn)間距離的最小值，屬于中檔題11．B解析：B【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可證明平面，故平面的一個法向量為：，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式即得解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則：由于平面平面，又，平面故平面的一個法向量為：到平面的距離為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到平面距離的向量表示，考查了學(xué)生空間想象，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12．D解析：D【分析】作軸于C，軸于D，則，兩邊平方后代入數(shù)量積即可求得，則AB

的長可求．【詳解】如圖，，，作軸于C，軸于D，則，，，，，沿x軸把坐標(biāo)平面折成的二面角，，，且，．．即AB

的長為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間角，向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題13．【分析】由題意結(jié)合重心的性質(zhì)和平面向量的三角形法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果【詳解】如圖取BC的中點(diǎn)F連結(jié)DF則∴【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則及其應(yīng)用意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力解析：【分析】由題意結(jié)合重心的性質(zhì)和平面向量的三角形法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．【解析】連結(jié)A1B∵AA1⊥面ABC平面A1B1C1∥面ABC∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1?平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC與△A1B1C1是全等三角形AB⊥AC∴A1B1⊥A1解析：【解析】連結(jié)A1B，∵AA1⊥面ABC，平面A1B1C1∥面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∵A1C1?平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，∵△ABC與△A1B1C1是全等三角形，AB⊥AC，∴A1B1⊥A1C1，∵A1B1∩AA1=A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1，∵矩形AA1B1B中，AA1=AB，∴四邊形AA1B1B為正方形，可得A1B⊥AB1，∵A1B∩A1C1=A1，∴AB1⊥平面A1BC1，結(jié)合BC1?平面A1BC1，可得AB1⊥BC1，即異面直線AB1與BC1所成角為．故答案為．15．【解析】∵向量與是共線向量∴∴或∵∴即∴則∴故答案為解析：【解析】∵向量與是共線向量∴∴或∵∴，即∴，則∴故答案為16．【解析】由平行四邊形中對角線互相平分的性質(zhì)知AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)AC的中點(diǎn)設(shè)D(xyz)則∴x＝5y＝13z＝－3故D(513－3)解析：【解析】由平行四邊形中對角線互相平分的性質(zhì)知，AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)，AC的中點(diǎn)，設(shè)D(x，y，z)，則∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．17．【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法計(jì)算出異面直線的公垂線的長度即為所求【詳解】由題意可知線段長度的最小值為異面直線的公垂線的長度如下圖所示以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分解析：【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.如下圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，所以，，，，設(shè)向量滿足，，由題意可得，解得，取，則，，可得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將長度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線、的距離，實(shí)際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標(biāo)，再利用距離公式求解即可.18．【解析】∵∴∴故答案為解析：【解析】∵，，，，∴，∴，，故答案為19．【解析】距離解析：【解析】距離20．【解析】分析：設(shè)的中點(diǎn)為連接由余弦定理可得利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果詳解：設(shè)的中點(diǎn)為連接則是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范圍是為故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查空間兩點(diǎn)的距離余弦定解析：【解析】分析：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由余弦定理可得，利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.詳解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則是二面角的平面角，可得，在三角形中由余弦定理可得，，即的取值范圍是，為故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間兩點(diǎn)的距離、余弦定理的應(yīng)用，意在考查空間想象能力、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題21．答案見解析【分析】先利用已知條件寫出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出；若選①：利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、空間向量垂直的性質(zhì)即可求解；若選②：利用空間向量模的坐標(biāo)表示公式即可得出結(jié)果；若選③：利用空間向量夾角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由題意，正方體棱長為2，則，設(shè)，則，所以.選擇①：，所以，得，若得，則，故存在點(diǎn)，滿足，.選擇②：因?yàn)椋?，得，若，即，?故存在點(diǎn)，滿足，.選擇③：因?yàn)?，所以與不共線，所以，即，則，故不存在點(diǎn)滿足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量模的坐標(biāo)表示公式以及空間向量夾角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.22．（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)四邊形ABB1A1和ADD1A1均為正方形，得到，再由線面垂直的判定定理證得平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理證明.（2）以A為原點(diǎn)，以分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，然后由求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1和ADD1A1均為正方形.所以，所以平面ABCD；又因?yàn)槠矫鍭BB1A1，所以平面ABB1A1平面ABCD；（2）以A為原點(diǎn)，以分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，又平面的一個法向量為，所以，二面角B1CD-A的余弦值是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．23．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形為平行四邊形，可得，即可證平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，得平面的法向量為，計(jì)算平面的法向量，利用數(shù)量積公式代入計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)?、為、的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．?）因?yàn)槠矫妫?，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，由題意可知平面，設(shè)平面的法向量所以，則，得設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面平行的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過中位線平行證明線線平行，同時對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.24．（1）證明見解析（2）（3）【分析】(1)由可得出，再由菱形性質(zhì)可得，即可證明平面，可得；（2）先證明平面，可以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角；（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）設(shè)交點(diǎn)為,連接，是邊長為2的菱形，是的中點(diǎn)，，又平面,平面，，平面，平面，（2）是等邊三角形，又是等邊三角形，，又平面，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:則，，而是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.(3)由（2）知,設(shè)平面的法向量，則,,令，得，所以，又平面,是平面的一個法向量，，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題目所給條件，利用平面幾何知識證明，再根據(jù)，證明平面，得以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵所在.25．（1）點(diǎn)M在的中點(diǎn)處，證明見解析；（2）.【分析】（1）首先觀察圖形的特征，確定點(diǎn)的位置，之后利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出邊長，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求得線