第03講 余角、補(bǔ)角和對頂角（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第3講余角、補(bǔ)角和對頂角1、認(rèn)識(shí)并理解余角、補(bǔ)角、對頂角的定義；2、掌握余角、補(bǔ)角、對頂角的性質(zhì)；3、會(huì)用定義和性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，并會(huì)利用定義和性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理。知識(shí)點(diǎn)1：余角和補(bǔ)角（1）余角：

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角,那么稱這兩個(gè)角互為余角,簡稱互余,也可以說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。

∠A+∠C=90°,∠A=90°-∠C,∠C的余角=90°-∠C即:∠A的余角=90°-∠A

（2）補(bǔ)角：

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角．其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角

∠A+∠C=180°,∠A=180°-∠C,∠C的補(bǔ)角=180°-∠C即:∠A的補(bǔ)角=180°-∠A（3）補(bǔ)角的性質(zhì)：

同角的補(bǔ)角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,則：∠C=∠B。

等角的補(bǔ)角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D則：∠C=∠B。

（4）余角的性質(zhì)：

同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,則：∠C=∠B。

等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D則：∠C=∠B。

注意：

①鈍角沒有余角；

②互為余角、補(bǔ)角是兩個(gè)角之間的關(guān)系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能說∠A、∠B、∠C互余；同樣：如∠A+∠B+∠C=180°，不能說∠A、∠B、∠C互為補(bǔ)角；

③互為余角、補(bǔ)角只與角的度數(shù)相關(guān)，與角的位置無關(guān)。只要它們的度數(shù)之和等于90°或180°，就一定互為余角或補(bǔ)角。知識(shí)點(diǎn)2：相交線1.相交線的定義在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線，公共點(diǎn)稱為兩條直線的交點(diǎn)。如圖1所示，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O。圖1圖2圖32.對頂角的定義若一個(gè)角的兩條邊分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個(gè)角叫做對頂角。如圖2所示，∠1與∠3、∠2與∠4都是對頂角。注意：兩個(gè)角互為對頂角的特征是：（1）角的頂點(diǎn)公共；（2）角的兩邊互為反向延長線；（3）兩條相交線形成2對對頂角。3.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。4.鄰補(bǔ)角的定義如果把一個(gè)角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個(gè)角的另一邊構(gòu)成一個(gè)角，此時(shí)就說這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。如圖3所示，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角，由平角定義可知∠1＋∠2＝180°【題型1余角概念及及性質(zhì)】【典例1】（2023秋?樂亭縣期中）若∠α與∠β互余，∠α＝72°30'，則∠β的大小是（）A．17°30' B．18°30' C．107°30' D．108°30'【答案】A【解答】解：∵∠α與∠β互余，∴∠α+∠β＝90°，∵∠α＝72°30'，∴∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣72°30'＝17°30'．故選：A．【變式1-1】（2023春?禪城區(qū)校級期中）已知∠1與∠2互余，若∠1＝25°，則∠2＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】D【解答】解：∵∠1與∠2互余，∠1＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣25°＝65°．故選：D．【變式1-2】（2022秋?寧波期末）已知一個(gè)角的余角等于40°，則這個(gè)角的補(bǔ)角等于（）A．130° B．140° C．150° D．160°【答案】A【解答】解：根據(jù)余角的定義，這個(gè)角的度數(shù)＝90°﹣40°＝50°，根據(jù)補(bǔ)角的定義，這個(gè)角的補(bǔ)角度數(shù)＝180°﹣50°＝130°．故選：A．【變式1-3】（2022秋?南潯區(qū)期末）已知∠1與∠2互余，若∠2＝29°20'，則∠1的度數(shù)等于（）A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'【答案】C【解答】解：∵∠1與∠2互余，∠2＝29°20'，∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，故選：C．【題型2補(bǔ)角及性質(zhì)】【典例2】（2023春?雨城區(qū)校級期中）如果一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角余角的2.5倍，那么這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】A【解答】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則它的余角為：90°﹣x，補(bǔ)角為180°﹣x，根據(jù)題意有：180°﹣x＝2.5（90°﹣x），解得：x＝30°，故選：A．【變式2-1】（2022秋?金平區(qū)期末）已知∠1＝50°，則∠1的補(bǔ)角的度數(shù)是（）A．130° B．140° C．40° D．60°【答案】A【解答】解：∠1的補(bǔ)角＝180°﹣∠1＝130°．故選：A．【變式2-2】（2023秋?樂亭縣期中）若∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互補(bǔ)，則∠1與∠3的關(guān)系滿足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3【答案】D【解答】解：∵∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互補(bǔ)，∴∠1＝∠3．故選：D．【變式2-3】（2022秋?綿陽期末）若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解答】解：設(shè)這個(gè)角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α．由題意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故這個(gè)角的度數(shù)為30°．故選：A．【題型3相交線定義和運(yùn)用】【典例3】（2022秋?梅里斯區(qū)期末）兩條直線相交可將平面分成四個(gè)區(qū)域，三條直線相交可將平面最多分成7個(gè)區(qū)域，四條直線相交最多可將平面分成（）個(gè)區(qū)域．A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【解答】解：∵1條直線把平面分成1+1＝2個(gè)區(qū)域；2條直線把平面分成1+1+2＝4個(gè)區(qū)域；3條直線把平面分成1+1+2+3＝7個(gè)區(qū)域；∴4條直線把平面分成1+1+2+3+4＝11個(gè)區(qū)域，故B正確．故選：B．【變式3-1】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）根據(jù)語句“直線l1與直線l2相交，點(diǎn)M在直線l1上，直線l2不經(jīng)過點(diǎn)M．”畫出的圖形是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．直線l2不經(jīng)過點(diǎn)M，故本選項(xiàng)不合題意；B．點(diǎn)M在直線l1上，故本選項(xiàng)不合題意；C．點(diǎn)M在直線l1上，故本選項(xiàng)不合題意；D．直線l1與直線l2相交，點(diǎn)M在直線l1上，直線l2不經(jīng)過點(diǎn)M，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式3-2】（2023春?澄邁縣期末）平面上畫三條直線，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】A【解答】解：平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，故選：A．【變式3-3】（2022秋?長順縣期末）在同一平面內(nèi)，4條直線相交，則交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【解答】解：如圖所示：故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或4或6，個(gè)數(shù)最多有6個(gè)．故選：D．【題型4對頂角性質(zhì)】【典例4】（2023春?阜南縣校級期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠AOC增大12°27′，則∠BOD的大小變化是（）A．減少12°27′ B．增大167°33′ C．不變 D．增大12°27′【答案】D【解答】解：∵線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小變化是12°27′，故選：D．【變式4-1】（2023春?白銀期末）如圖，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．145°【答案】A【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是對頂角，∴∠2＝∠1＝35°．故選：A【變式4-2】（2023秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，∠1和∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．∠1與∠2的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故A不符合題意；B．∠1與∠2沒有公共頂點(diǎn)，且兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故B不符合題意；C．∠1與∠2的兩邊互為反向延長線，且有公共頂點(diǎn)，是對頂角，故C符合題意；D．∠1與∠2的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故D不符合題意．故選：C．【變式4-3】（2022秋?仁壽縣校級期末）如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．22° B．34° C．56° D．72°【答案】A【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝56°，∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°，∴∠BOD＝∠AOC＝22°．故選：A．【題型5鄰補(bǔ)角】【典例5】（2023秋?珠海校級期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，則∠COE的度數(shù)為（）A．145° B．150° C．155° D．160°【答案】D【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．故選：D．【變式5-1】（2022秋?新化縣期末）如圖，已知直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，那么∠BOD的度數(shù)等于（）A．30° B．36° C．20° D．40°【答案】B【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．故選：B．【變式5-2】（2022秋?龍華區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，則∠DOE等于（）A．66° B．76° C．90° D．144°【答案】A【解答】解：如圖，∠1＝∠AOC＝38°．∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝76°．∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．故選：A．【變式5-3】（2022秋?東方期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠COB，若∠AOD＝130°，則∠EOB度數(shù)是（）A．65° B．50° C．25° D．130°【答案】A【解答】解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOC＝130°，∵OE平分∠COB，∴．故選：A．1．（2023?河南）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠1＝80°，∠2＝30°，則∠AOE的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．60° D．80°【答案】B【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故選：B．2．（2023?北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（）A．36° B．44° C．54° D．63°【答案】C【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故選：C．3．（2023?青海）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝140°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．故選：A．4．（2023?蘭州）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠BOD＝（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∴∠BOD＝∠AOC，∵∠AOC＝50°，∴∠BOD＝50°故選：B．5．（2022?蘇州）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】D【解答】解：∵∠AOC＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°．∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝75°﹣25°＝50°．故選：D．6．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角為：90°﹣40°＝50°，故選：A．7．（2022?連云港）已知∠A的補(bǔ)角為60°，則∠A＝120°．【答案】120．【解答】解：∵∠A的補(bǔ)角為60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120．8．（2021?大慶）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有190個(gè)交點(diǎn)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有1+2＝3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有1+2+3＝6個(gè)交點(diǎn)，……n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，∴20條直線相交最多有190個(gè)交點(diǎn)．故答案為190．9．（2021?益陽）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是∠AOC的平分線，且OC恰好平分∠EOB，則∠AOD＝60度．【答案】60．【解答】解：∵OE是∠AOC的平分線，OC恰好平分∠EOB，∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠BOC＝60°，故答案為：60．1．（2023春?鄂州期中）下列各圖中，∠1與∠2互為對頂角的是（）A．B． C．D．【答案】A【解答】解：B、C、D中∠1與∠2不是對頂角，A中∠1與∠2互為對頂角，故選：A．2．（2022秋?永年區(qū)期末）如圖，∠ABC＝∠DBE＝90°，BC平分∠DBE，則下列結(jié)論不正確的是（）A．∠ABE與∠EBC互余 B．∠ABE與∠DBC互余 C．∠ABD與∠DBC互補(bǔ) D．圖中沒有互補(bǔ)的兩個(gè)角【答案】D【解答】解：A∠ABE與∠EBC互余，說法正確，不符合題意；B∠ABE與∠DBC互余，說法正確，不符合題意；C∠ABD與∠DBC互補(bǔ)，說法正確，不符合題意；D、圖中沒有互補(bǔ)的兩個(gè)角，說法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．3．（2022秋?蘇州期末）一副三角板按如圖所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)是∠2的3倍，則∠1的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．67.5°【答案】D【解答】D解：根據(jù)圖形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠1的度數(shù)是∠2的3倍，即∠1＝3∠2，∴4∠2＝90°，∴∠2＝22.5°，∴∠1＝90°﹣∠2＝67.5°，故選：D．4．（2023春?攸縣期末）同一平面內(nèi)不重合的三條直線，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（）A．0個(gè)或1個(gè) B．1個(gè)或2個(gè) C．2個(gè)或3個(gè) D．0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)【答案】D【解答】解：因?yàn)槿龡l直線位置不明確，所以分情況討論：①三條直線互相平行，有0個(gè)交點(diǎn)；②一條直線與兩平行線相交，有2個(gè)交點(diǎn)；③三條直線都不平行，有1個(gè)或3個(gè)交點(diǎn)；所以交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)．故選：D．5．（2023春?無為市期中）按下列語句畫圖：點(diǎn)A在直線m上，也在直線n上，但不在直線c上，且直線m、n、c兩兩相交，下列圖形符合題意的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由點(diǎn)A在直線m上，也在直線n上，可知直線m與直線n交于點(diǎn)A；∴A、C不符合題意；由點(diǎn)A不在直線c上，可知B不符合題意；再由直線m、n、c兩兩相交，即可確定D符合題意；故選：D．6．（2023春?陳倉區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．55° B．70° C．125° D．145°【答案】C【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠AOE＝55°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．故選：C．7．（2022秋?清苑區(qū)期末）如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中∠α與∠β一定相等的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【解答】解：圖①，根據(jù)同角的余角相等，可得∠α＝∠β；圖②，∠α＝135°，∠β＝120°；圖③，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，可得∠α＝∠β；圖④，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余．∴∠α與∠β一定相等的是圖①和圖③．故選：B．8．（2022秋?宛城區(qū)期末）將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD＝18°，則∠BOC的大小為（）A．162° B．142° C．172° D．150°【答案】A【解答】解：∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD＝18°，∴∠COA＝90°﹣18°＝72°，∴∠BOC＝90°+72°＝162°．故選：A．9．（2023春?棲霞市期末）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故選：C．10．（2022秋?西安期末）如圖，一副三角板（直角頂點(diǎn)重合）擺放在桌面上，若∠AOD＝160°，則∠BOC等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°．故選：A．11．（2023春?鐵西區(qū)期末）下列圖形中，∠1和∠2是鄰補(bǔ)角的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．∠1與∠2是對頂角，故A選項(xiàng)不符合題意；B．∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，故B選項(xiàng)符合題意；C．∠1與∠2不存在公共邊，不是鄰補(bǔ)角，故C選項(xiàng)不符合題意；D..∠1與∠2是同旁內(nèi)角，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．12．（2022秋?東洲區(qū)期末）已知∠A＝39°43′27″，則∠A的補(bǔ)角等于（）A．39°43′27″ B．150°16′33″ C．140°16′33″ D．60°16′33″【答案】C【解答】解：∵∠A＝39°43′27″，∴它的補(bǔ)角＝180°﹣39°43′27″＝140°16′33″．故選：C．13．（2023春?綏化期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BOD＝∠AOB＝90°．下列判斷：①射線O