河北省承德市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（含答案）

高三數(shù)學(xué)考試本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.設(shè)為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則（）A.1B.C.0D.-14.在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.5.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A.B.C.D.6.對于一個(gè)自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的“浙升數(shù)”共有（）A.97個(gè)B.91個(gè)C.84個(gè)D.75個(gè)7.已知函數(shù)，若滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知圓，圓與軸交于，斜率存在且過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線?直線?直線的斜率分別為，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，則下列說法正確的是（）A.等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B.等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C.若且，則D.若且，則是等比數(shù)列的前項(xiàng)和10.已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則D.若，直線的斜率之積為4，則直線的斜率為11.如圖，在正四棱柱中，是棱的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則下列說法正確的是（）A.是平面的一個(gè)法向量B.C.點(diǎn)到平面的距離為D.二面角的正弦值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在處的切線的斜率為__________.13.已知雙曲線分別為其左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為__________.14.已知，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足，.（1）寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（本小題滿分15分）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京開幕，各地報(bào)起了一股學(xué)習(xí)黨史風(fēng)潮，某市為了促進(jìn)市民學(xué)習(xí)黨史，舉辦了黨史知識競賽活動，通過隨機(jī)抽樣，得到了1000人的競賽成績（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：成績區(qū)間頻數(shù)201802002802208020（1）求上表數(shù)據(jù)中的平均值（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法，用頻率代替概率，從該學(xué)校中隨機(jī)抽取3位同學(xué)參加黨史知識競賽，記他們之中不低于60分的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.17.（本小題滿分15分）如圖1，在直角中，為中點(diǎn)，，取中點(diǎn)，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時(shí)，取中點(diǎn)，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.18.（本小題滿分17分）已知橢圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，且的離心率是，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過左焦點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍.19.（本小題滿分17分）給定一個(gè)元函數(shù)組：，若對任意正整數(shù)，均有，則把稱作該函數(shù)組的“初始函數(shù)”.已知是函數(shù)組，的“初始函數(shù)”，且.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，若，求除以4的余數(shù).參考答案1.【答案】A【解析】集合中，所以或者，集合中，所以，故選.2.【答案】D【解析】，所以的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，故選D.3.【答案】B【解析】令，則或，因時(shí)取極小值，則，即，故選B.4.【答案】D【解析】由于，所以，故選D.5.【答案】C【解析】，所以，解得，故選C.6.【答案】C【解析】在中任取3個(gè)數(shù)，其大小關(guān)系確定，則“漸升數(shù)”共有個(gè)，故選C.7.【答案】D【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，所以，故滿足，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，注意到，因此，解出的取值范圍是.故選D.8.【答案】A【解析】由題意得直線，與圓方程聯(lián)立，得，可求出點(diǎn)，同理得點(diǎn)，由于在直線上，因此，化簡后得，顯然，否則點(diǎn)在圓上，與題意矛盾，則，再聯(lián)立直線與直線，則點(diǎn)，因此，因此.故選A.9.【答案】AB（全部選對得6分，選對1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得0分）【解析】數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故A正確；數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故B正確；設(shè)，則，解出，則，因此，故錯(cuò)誤；若且，則，顯然D錯(cuò)誤.故選.10.【答案】ACD（全部選對得6分，選對1個(gè)得2分，選對2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）【解析】因?yàn)椋?，即，故A正確；設(shè)直線，由可得點(diǎn)，由于，則直線，同理求出點(diǎn)，因此，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線的方程為，由可得，則，因此，故C正確；設(shè)直線的方程為，由可得，則，且，由于，因此，因?yàn)橹本€，的斜率之積為4，則，因此，滿足，故直線的斜率為，故D正確，故選ACD.11.【答案】ACD（全部選對得6分，選對1個(gè)得2分，選對2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）【解析】由于是正四棱柱，易知，在中，因?yàn)?，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；在中，因?yàn)?，則，在中，利用余弦定理可求得或（舍去），因此，故錯(cuò)誤；，因此，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因此，由于，所以點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，因此二面角的正弦值為，故D正確，故選ACD.12.【答案】ln【解析】，則.13.【答案】【解析】由于直線的斜率為2，因此，且，因此，因?yàn)?，所以，則.14.【答案】【解析】，，所以，而，因此原式.15.【答案】（1）（2）【解析】（1）由可得.由，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令.綜上所述，；（2）由（1）得，則，由，可得，因?yàn)槭且粋€(gè)遞增數(shù)列，所以，故.故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，.16.【答案】（1）略，【解析】（1）；（2）由題意可知，，則，所以的分布列為012317.【答案】（1）略（2）或【解析】（1）證明：由題意知，解得，當(dāng)時(shí)，有，即由是的中點(diǎn)，得，而平面，故平面；（2）解：以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，利用的余弦值可以求出，于是，設(shè)平面的法向量為，則不妨取，解得.設(shè)，則與共線，設(shè)為，則，故，因此.設(shè)直線與平面所成角為，則.化簡得，解得或因此或.18.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知，左焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在或者斜率為0時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線，直線，聯(lián)立方程組整理得，則，因此，同理可得，所以，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則，綜上所述，.19.【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間（2）0或3【解析】（1）根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，解得：，即函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，同理可得，單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，易得：又因?yàn)椋?，可得，?2，356，7910，1113①若均能被4整除，，滿足題意，余數(shù)為