第一節(jié)二重積分概念

第十章重積分二重積分及其計算重積分的應(yīng)用三重積分及其計算上頁下頁返回結(jié)束1上頁下頁返回結(jié)束二重積分三重積分重積分應(yīng)用定積分重積分二元函數(shù)在平面區(qū)域上的積分三元函數(shù)在空間區(qū)域上的積分：一元函數(shù)在直線段上的積分2問題的提出二重積分的性質(zhì)第九章重積分第一節(jié)上頁下頁返回結(jié)束二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念3１．曲頂柱體的體積一、問題的提出曲頂柱體：頂：曲面底側(cè)面底為xoy面上區(qū)域D，側(cè)面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面，頂為曲面z=f(x,y)的立體D上頁下頁返回結(jié)束4曲頂柱體的體積頂：曲面底側(cè)面（分割區(qū)域D,化整為零）x0yz（局部以平代曲,求局部體積的近似值）D

i（1）分割（2）近似（3）求和（積零為整）上頁下頁返回結(jié)束既表示小區(qū)域，也表示其面積）5曲頂柱體的體積頂：曲面底側(cè)面x0yzD

i（3）求和（4）取極限（令分法無限變細）V=（分割區(qū)域D,化整為零）（局部以平代曲,求局部體積的近似值）（1）分割（2）近似（積零為整）上頁下頁返回結(jié)束6曲頂柱體的體積頂：曲面底側(cè)面x0yzD

i（3）求和（4）取極限（令分法無限變細）V=（分割區(qū)域D,化整為零）（局部以平代曲,求局部體積的近似值）（1）分割（2）近似（積零為整）上頁下頁返回結(jié)束7曲頂柱體的體積x0yz（3）求和（4）取極限（令分法無限變細）V=（分割區(qū)域D,化整為零）（局部以平代曲,求局部體積的近似值）（1）分割（2）近似（積零為整）上頁下頁返回結(jié)束8２．求平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D，在點求平面薄片的質(zhì)量.),(yx處的面密度為),(yxr，假定),(yxr在D上連續(xù)，（1）分割（分割區(qū)域D,化整為零）（2）近似將非均勻小薄片近似看作均勻小薄片，

上頁下頁返回結(jié)束既表示小區(qū)域，也表示其面積）9（3）求和（積零為整）（4）取極限（令分法無限變細）上頁下頁返回結(jié)束10兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同分割、近似、求和、取極限曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:上頁下頁返回結(jié)束11定義將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取點若存在常數(shù)I,使得可積

,在D上的二重積分.積分和積分區(qū)域被積函數(shù)被積表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù).上頁下頁返回結(jié)束二、二重積分的概念12注：(1)在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的.(2)當被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上連續(xù)時，二重積分必存在.(3)在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分面積元素為D故二重積分可寫為區(qū)域D，這時因此，在直角坐標系下，上頁下頁返回結(jié)束13曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:由二重積分定義知：上頁下頁返回結(jié)束14二重積分的幾何意義當f(x,y)>0時，二重積分是曲頂柱體的體積．當f(x,y)<0時，二重積分是曲頂柱體的體積的負值．若f(x,y在區(qū)域內(nèi)有正有負,二重積分是xoy面上方曲頂柱體的體積與下方曲頂柱體的體積的差值．上頁下頁返回結(jié)束15性質(zhì)１當為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)以上兩性質(zhì)統(tǒng)稱為線性性質(zhì).上頁下頁返回結(jié)束16性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有上頁下頁返回結(jié)束17性質(zhì)６（估值定理）性質(zhì)７（二重積分中值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y）在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，s

為D的面積，則設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，s

為D的面積，則在D上至少存在一點（x,h），使得上頁下頁返回結(jié)束18由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點使得因此上頁下頁返回結(jié)束證:因為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上有最大值M和最小值m，19D位于x軸上方的部分為D1,在區(qū)域D上在閉區(qū)域D上連續(xù),D關(guān)于x軸對稱,則則上頁下頁返回結(jié)束f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)，重要技巧：f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)20上頁下頁返回結(jié)束在閉區(qū)域D上連續(xù),D關(guān)于y軸對稱,D位于y

軸右方的部分為D1。同理，若函數(shù)在區(qū)域D上則f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)，則f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)，21在第一象限部分,上頁下頁返回結(jié)束則22又例1.估計積分

的值，解：在區(qū)域D上，由于其中D是矩形域所以即：上頁