柯西不等式的證明及應(yīng)用論文

南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文〔設(shè)計〕〔一三屆〕題目：柯西不等式的證明及應(yīng)用院〔系、部〕：數(shù)學科學與應(yīng)用學院專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學姓名：學號指導教師：南京師范大學泰州學院教務(wù)處制摘要：本文對柯西不等式及其推論、變形、推廣和積分形式進行了詮釋，詳細介紹了柯西不等式的幾種典型證明方法，如配方法、判別式法、數(shù)學歸納法、運用根本不等式和推廣不等式、利用二次型和向量內(nèi)積等方法，并通過列舉一系列范例揭示柯西不等式在不等式證明、等式證明、求最值、解析幾何、求參數(shù)范圍、解方程、解函數(shù)、幾何等方面的應(yīng)用。說明了柯西不等式是數(shù)學中的一個非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對稱和諧，在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有比擬廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學的各個分支都可以見到它的應(yīng)用。靈活巧妙地運用它，往往可使一些比擬困難的問題迎刃而解，甚至收到出奇制勝、事半功倍的效果，充分表達柯西不等式的重要性及較強的應(yīng)用性。關(guān)鍵詞：柯西不等式；證明；應(yīng)用Abstract:Inthispaper,Cauchyinequalityanditscorollary,deformation,diffusionandintegralformareexplainedindetail.What’smore,severaltypicalCauchyinequalityproofs,suchasthedistributionmethod,discriminantmethod,mathematicalinduction,theuseofthebasicandpromotionalinequality,usingthesecondtypeandvectorinnerproductareintroduced.Furthermore,thepaperrevealstheapplicationofCauchyinequalityininequalities,equalityproof,forthemostvalue,analyticgeometry,thescopeofdemandparameters,solvingequations,thesolutionfunctionandgeometrythroughaseriesofexamples.Cauchyinequalityisaveryimportantmathematicsinequality.Withinitsharmonioussymmetricalstructure,itiswidelyusedinelementarymathematics,highermathematicsandalmosteverybranchesofmathematics.Whenusingitflexibly,mostofthedifficultproblemscanbesolved,orevenuserscanreceiveasurprisemove,amultipliereffect.AllthesefullyreflecttheimportanceofCauchyinequalityandthestrongcapabilityofapplication.Keywords:Cauchyinequality;proof;application目錄1緒論31.1研究意義31.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀31.3本文解決的主要問題42柯西不等式的詮釋52.1柯西不等式52.2柯西不等式的推論52.3柯西不等式的變形62.4柯西不等式的推廣72.5柯西不等式的積分形式83柯西不等式的證明93.1配方法93.2判別式法93.3數(shù)學歸納法103.4運用根本不等式113.5運用推廣不等式123.6利用二次型123.7利用向量內(nèi)積134柯西不等式的應(yīng)用144.1在證明不等式方面的應(yīng)用144.2在證明等式方面的應(yīng)用164.3在求最值方面的應(yīng)用184.4在解析幾何方面的應(yīng)用194.5在求參數(shù)范圍問題中的應(yīng)用224.6在解方程問題中的應(yīng)用224.7在解函數(shù)問題中的應(yīng)用234.8在幾何上的應(yīng)用23結(jié)論26謝辭27參考文獻281緒論在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系，不等關(guān)系也是最根本的數(shù)學關(guān)系，不等式在數(shù)學研究和數(shù)學應(yīng)用中起著重要的作用。不等式問題覆蓋面廣、綜合性強，是當今各層次數(shù)學競賽的熱點和難點之一，而不等式問題的處理更以“多入口，方法巧”見長。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，很多問題又都能采用柯西不等式加以簡單地解決?？挛鞑坏仁绞菙?shù)學中一個非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對稱和諧，具有較強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。它在代數(shù)、幾何等方面的廣泛應(yīng)用是眾所周知的，它常常作為重要的根底去架設(shè)條件與結(jié)論間的橋梁，以證明和推廣其它不等式及競賽題，它也是發(fā)現(xiàn)新命題的重要工具，是一個極有魅力的不等式。近年來，在高考試卷和國內(nèi)外的數(shù)學競賽題中，越來越多地出現(xiàn)與之有關(guān)的題目，靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，往往可使一些難題迎刃而解，甚至收到出奇制勝、事半功倍的效果。當然，我們在解題中并不一定能看出它的直接應(yīng)用，需要適當?shù)貥?gòu)造使用它的環(huán)境，以挖掘出隱含的聯(lián)系后到達最終目的。本文擬在介紹柯西不等式及其推論、變形、推廣和積分形式，給出了它的幾種典型證明方法，并通過一些例題講述了它在多方面的應(yīng)用，也涉及到一些重要的競賽題。1.1研究意義柯西不等式是一個非常重要的不等式，價值不可估量。將此定理作進一步剖析，歸納它的各類變形，將會有更多收獲。這個不等式結(jié)構(gòu)對稱和諧，無論是在代數(shù)，還是幾何中都可以應(yīng)用，它在解決一些實際問題或推導一些數(shù)學結(jié)論上非常有用，在初等數(shù)學和高等數(shù)學中應(yīng)用都比擬廣泛。因此，對柯西不等式的探究是有益的。近年來，以柯西不等式為背景的試題已悄然在高考試卷和國內(nèi)外的數(shù)學競賽題中出現(xiàn)。在解題過程中，靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，從不同角度考慮問題，有助于拓寬解題思路，提升解題技巧，并可以使一些比擬困難的問題得以比擬簡捷地解決，從而可以節(jié)省解題時間，提高效率，甚至可以收到出奇制勝、事半功倍的效果。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀柯西不等式是一個非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對稱優(yōu)美，具有較強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。因此許多數(shù)學教師和資深數(shù)學教育家都在研究柯西不等式的證明及應(yīng)用問題，如2004年洪順剛在皖西學院學報上發(fā)表了《柯西不等式的證明及其應(yīng)用》，探討了柯西不等式多種證明方法，反映了柯西不等式在函數(shù)求最值、證明不等式及其在幾何上的廣泛應(yīng)用，2009年鄒晶晶、周小玲，針對柯西不等式的重要性及較強的應(yīng)用性，在數(shù)學學習與研究報上發(fā)表了《柯西不等式的應(yīng)用》。近年來，在國內(nèi)外的數(shù)學競賽題中，越來越多地出現(xiàn)與柯西不等式有關(guān)的題目，有學者也就其作出了研究，如2010年蔡玉書在數(shù)學通訊上發(fā)表了《用柯西不等式證明競賽中的不等式》。但是這些研究還遠遠沒有能夠形成一個完整的體系，還需要做一個更深入的研究和討論。該課題在國內(nèi)仍備受關(guān)注。國外的研究情況由于資源的缺陷，還尚未清楚。1.3本文解決的主要問題本文先對柯西不等式從定理、推論、變形、推廣和積分形式等方面進行了詮釋，然后介紹了柯西不等式的幾種常用證明方法，如配方法、判別式法、數(shù)學歸納法、運用根本不等式和推廣不等式、利用二次型和向量內(nèi)積等方法，最后探討了柯西不等式在證明不等式、等式，求最值，解析幾何，求參數(shù)范圍，解方程，解函數(shù)，幾何問題上的應(yīng)用。也講述了如何巧用柯西不等式及其推論、變形來解題，特別是一些高考題和國內(nèi)外數(shù)學競賽題，并介紹了一些解題技巧。2柯西不等式的詮釋柯西是法國數(shù)學家，1789年8月21日出生于巴黎，他對數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學分析和微分方程等多個數(shù)學領(lǐng)域進行了深入地研究，并獲得了許多重要的成果，著名的柯西不等式就是其中之一。2.1柯西不等式定理1對任意兩組實數(shù)，有，當且僅當與對應(yīng)成比例，即時等號成立。這個不等式稱為柯西〔Cauchy〕不等式。說明：的意義如下：在不全為零時，假設(shè)=0，那么對應(yīng)的=0；在時，可取任意實數(shù)[1]。2.2柯西不等式的推論柯西不等式是數(shù)學中的一個非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對稱和諧，具有極強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。所以，假設(shè)將此定理作進一步剖析，歸納出它的推論，將會有更多收獲。推論1設(shè)是正實數(shù)，那么，等號成立當且僅當[2]。證：比照柯西不等式，構(gòu)造如下兩組數(shù)：。由柯西不等式，得，即。所以原不等式成立[3]。推論2設(shè)是實數(shù)，那么，等號成立當且僅當[2]。證：由柯西不等式有，取，有[4]。2.3柯西不等式的變形柯西不等式有多種變形，已經(jīng)成為許多現(xiàn)代數(shù)學理論的出發(fā)點。下面介紹的是競賽解題中的常見形式。變形1對任意的兩組實數(shù)、，有。等號成立當且僅當。注：這又可以表示為向量形式，即對于任意的向量有，其中，等號成立當且僅當線性相關(guān)。這就是所謂的柯西—布涅柯夫斯基不等式。變形2對任意的兩組正實數(shù)、，有。當且僅當為常數(shù)時，上式等號成立。變形為，用來處理分式不等式常常帶來方便。變形3對任意的兩組正實數(shù)、，有。當且僅當為常數(shù)時，上式等號成立。變形為，用來處理分式不等式常常帶來方便。變形4對任意的兩組正實數(shù)、，有。當且僅當(為常數(shù)，)時，上式等號成立。變形為，用來處理分式不等式常常帶來方便。變形5對任意的兩組實數(shù)，有。當且僅當(為常數(shù)，)時，上式等號成立。2.4柯西不等式的推廣定理2對，有。證：記。由算數(shù)—幾何平均不等式有得[5]。2.5柯西不等式的積分形式柯西〔Cauchy〕不等式的積分形式稱為施瓦茨〔Schwarz〕不等式。定理3假設(shè)、在上可積，那么。假設(shè)、在上連續(xù)，其中等號當且僅當存在常數(shù)使得時成立〔不同時為零〕[6]。證：因為都在上可積，由定積分性質(zhì)，推得，及在上都可積，由定積分性質(zhì)：。因為上式對一切實數(shù)都成立，所以必須有。即施瓦茨〔Schwarz〕不等式成立[7]。3柯西不等式的證明柯西不等式的證明方法有很多種，下面介紹典型的幾種。3.1配方法。由此證明了且得等號成立的條件為：這等價于連比式[8]。3.2判別式法當全為零時，命題顯然成立。如果不全為零，考察二次函數(shù)。因為，對于任意。所以，的判別式：。從而，。當且僅當有二重根時，即時等號成立。因此，當且僅當時等號成立[3]。3.3數(shù)學歸納法當時，顯然成立。當時，。等號當且僅當時成立。假設(shè)當時成立，即。等號當且僅當時成立。那么，當時，等號當且僅當且時成立。因為所以所以所以綜上所述，柯西不等式成立[9]。3.4運用根本不等式運用根本不等式。記。那么柯西不等式等價于，也等價于。，當且僅當，即時等號成立；，當且僅當，即時等號成立；……，當且僅當，即時等號成立。以上個式子相加得。當且僅當時等號成立，即等價命題成立。故柯西不等式成立。3.5運用推廣不等式假設(shè)為正數(shù)，為非負數(shù)，，實數(shù)，那么〔當且僅當時等號成立〕。在以上推廣不等式中取。有。化簡得，。當為零或幾個為零〔處于對稱位置〕，不等式顯然成立。所以，當且僅當時等號成立[4]。評注：上述兩種證法都靈活運用了的不等式。3.6利用二次型=,即關(guān)于、的二次型非負定，因此,此即[6]。3.7利用向量內(nèi)積設(shè)是與的夾角，因為所以。于是，。所以。當且僅當或時等號成立，即與共線，時等號成立[10]。以上給出了柯西不等式七種常用的證明方法，還有其它的一些證明方法這里就不逐一介紹了。這充分表達了柯西不等式的重要性和證法的多樣性。除此之外，柯西不等式的應(yīng)用也非常的廣泛。下面就柯西不等式的應(yīng)用進行探討。4柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式作為重要的不等式，價值是不可估量的，它在解決一些實際問題或推導一些數(shù)學結(jié)論上非常有用。靈活巧妙地運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，亦可使一些復(fù)雜繁瑣的題目簡單化，從而可以拓寬解題思路，節(jié)省解題時間，提高效率，尤其是在國際數(shù)學競賽上。在應(yīng)用柯西不等式時，分析其結(jié)構(gòu)，運用其解題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個數(shù)組和或多組數(shù)組。構(gòu)造數(shù)組時一要考慮柯西不等式的根本形式和推廣，二要考慮所要證明不等式的結(jié)構(gòu)，然后構(gòu)造數(shù)組。下面通過具體的例子介紹柯西不等式在以下問題中的應(yīng)用。4.1在證明不等式方面的應(yīng)用柯西不等式在不等式的證明中有著十分重要的作用，它不僅應(yīng)用廣泛，而且用法靈活，許多不等式利用柯西不等式證明可以化難為易。有些證明不等式的題目外表上看與柯西不等式無關(guān)，然而通過對原不等式作適當?shù)淖冃胃脑旌髤s可以應(yīng)用柯西不等式加以解決，當然具體如何變形改造是關(guān)鍵，也是難點，這往往需要經(jīng)過觀察、直覺、猜想、推理等。下面通過一些具體例子加以說明。例1證明三角不等式：。證：因為，根據(jù)柯西不等式，可得，。把上述兩個不等式相加，再除以，即可得成立。例2設(shè)為正實數(shù)，且滿足，證明：。分析：對于這樣的不等式一般可以采用配對約分的方法來解決，但是采用配對約分有一定的要求：一般為分子項所涉及的字母次數(shù)為二次，而分母涉及字母次數(shù)均為一次。而對于上述不等式左邊不符合配對約分，雖然1可以看成“”，但分母是高次。可因，故可把不等式變?yōu)椋?，這樣左邊分子、分母都到達了配對約分的要求。證：因為，所以。于是左邊配對約分，運用柯西不等式，得=。。所以[11]。近年來，在國內(nèi)外的數(shù)學競賽中，越來越多地出現(xiàn)以柯西不等式為背景的試題。在解題過程中，靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，往往可使一些難題迎刃而解，甚至收到出奇制勝、事半功倍的效果。下面通過一些具體例子加以說明。例3〔1998年伊朗數(shù)學奧林匹克試題〕如果，且，證明：。證：注意到，由柯西不等式得。而，所以，不等式得證。例4〔第42屆IMO試題〕對所有正實數(shù)證明：。證：由柯西不等式得。再用柯西不等式得=。所以只要證。這由均值不等式得到。所以[12]。由上面的例子可知，柯西不等式在不等式的證明中具有廣泛的應(yīng)用，證明方法也非常靈活，應(yīng)用時要根據(jù)具體問題，分析題中哪些項相當于柯西不等式中的項。有些問題為了應(yīng)用柯西不等式解決，甚至需要構(gòu)造項。因此，在利用柯西不等式解決問題時，必須認真分析，巧妙構(gòu)思，方能促進問題的盡快解決。4.2在證明等式方面的應(yīng)用柯西不等式有廣泛的應(yīng)用，特別在解決一些難于下手的等式問題時，可另辟蹊徑，出奇制勝。不等式與等式是對立統(tǒng)一的兩個概念，柯西不等式既然含有等號，因此可用來解決等式問題，這種用不等式解決等式問題，有助于辯證思維的培養(yǎng)。例5假設(shè)且，求證：。證：。當即時等號成立。又，所以。即[13]。例6為正數(shù)，為正整數(shù)，且。求證：。證：由條件及柯西不等式有。又由柯西不等式取等號的條件得。于是，。故說明：此題的特殊性在于，對給定的正數(shù)，取到了最大值，導致、被唯一確定：。以上幾例都應(yīng)用了柯西不等式來證明，但不同的是有些可以直接應(yīng)用，有些那么需要使用一些方法如拆分常數(shù)、改變結(jié)構(gòu)、重新排列等，來構(gòu)造出符合柯西不等式的形式及條件，繼而到達使用柯西不等式解決有關(guān)問題的目的。同時，與其他定理的應(yīng)用一樣，對柯西不等式也既要正用，又要逆用、變用、連用和巧用。4.3在求最值方面的應(yīng)用柯西不等式求最值多用于：多字母式子的最值和含約束條件式子的最值。其解題要點有兩步：放縮為常數(shù)，此時又回到用柯西不等式證明的關(guān)鍵，即找出適當?shù)膬山M實數(shù)；確保等號可以取到。這主要是驗證，假設(shè)求解中經(jīng)過屢次放縮，那么，還必須保證等號可以同時取到[14]。例7設(shè)實數(shù)滿足，求的最大值。分析：因是一次式，配方法和判別式法無能為力，均值不等式似乎也用不上。這時可對照柯西不等式的標準形式，考慮能否將題設(shè)解析式適當改造，以充當柯西不等式中的兩組數(shù)。解：根據(jù)柯西不等式，。即。因為，所以。其中等號當且僅當，且時成立。由以上諸式解得。所以當時，取最大值[3]。例8都是實數(shù)且，求的最大值。解：由柯西不等式知，故。所以。即，解得：。當時，最大。所以的最大值為。例9且試求的最大值。解：根據(jù)柯西不等式的變形公式有。而，所以，即的最大值為[15]。說明：此題是多元函數(shù)的最值問題，假設(shè)用高等數(shù)學方法求解，那么顯得很麻煩。由此可見，柯西不等式是求解多元函數(shù)最值的重要工具，值得重視。4.4在解析幾何方面的應(yīng)用例10點，直線，求點到直線的距離。解：設(shè)點為直線上的任意動點，點到直線的距離實質(zhì)即為點與動點的最短距離。又，那么求點到直線的距離即為在約束條件下求關(guān)于的二元函數(shù)的最小值。根據(jù)柯西不等式得那么。當且僅當時取等號，也即時取等號。故點到直線的距離為。說明：點到直線的距離公式是解析幾何中的一個重要公式，有很多證明方法，本文所給的方法可能是最簡單的一個證法。縱觀上述證明，其運用方法的幾何背景和解釋均將這二維平面形象化，由此可以考慮到三維空間點到面的的距離公式。這大大啟發(fā)人們的智慧，在維抽象空間中，如何求得子空間外一點到該子空間的距離，即點到空間中任何點距離最小者。例11橢圓與直線相切，求切點的坐標。解：設(shè)切點，那么由柯西不等式得。當且僅當?shù)忍柍闪?，即代入直線方程得。故切點的坐標為。例12橢圓的離心率為，短軸上一個端點到右焦點的距離為。圖4-1求橢圓的方程；圖4-1設(shè)直線與橢圓交于兩點，坐標原點到直線的距離為〔如圖4-1〕,求面積的最大值。解：設(shè)橢圓的半焦距為。依題意解得。故所求橢圓方程為。設(shè)。那么直線的方程為。由原點到直線的距離為得即。那么的面積考慮到都在橢圓上，即那么。當且僅當時，上式等號成立。故面積的最大值為。說明：此題應(yīng)用柯西不等式的一個關(guān)鍵是，找出兩組數(shù)，不僅使，將面積放大為常數(shù)，而且能使等號可以取到[14]。4.5在求參數(shù)范圍問題中的應(yīng)用利用柯西不等式可以求一些參數(shù)的范圍。解題時要分清主元與參數(shù)，利用柯西不等式構(gòu)造不等式，通過解不等式求出參數(shù)的范圍。例13對于滿足等式的任意實數(shù)，對恒有，求實數(shù)的范圍。解：因為所以要使得對恒有即也即。4.6在解方程問題中的應(yīng)用這類問題的特殊性在于用不等式來處理等式。而之所以能這樣做，常常是式子的內(nèi)在結(jié)構(gòu)滿足柯西不等式取等號的條件。例14在實數(shù)集內(nèi)解方程分析：此題是三元二次方程組，依常規(guī)看，似乎少了一個方程，但運用柯西不等式可化腐朽為神奇，使問題解決柳暗花明，同時也讓我們領(lǐng)悟到數(shù)學的奇異美，陶冶我們的情操。解：由柯西不等式得。又。那么。即不等式中只有取等號時成立。從而由柯西不等式中等號成立的條件，得它與聯(lián)立得，。說明：此題的特殊性在于不定方程有定解，其幾何意義是空間中的兩個球相切〔其球心距恰好等于兩半徑之和〕，因此，方程組就只有一個解。4.7在解函數(shù)問題中的應(yīng)用例15定義在上的函數(shù)，假設(shè)，且，求證：。證：因為又且故。那么。即。4.8在幾何上的應(yīng)用例16三角形三邊對應(yīng)高為內(nèi)切圓半徑為假設(shè)試判斷三角形的形狀。解：設(shè)三角形的面積為那么。所以。而所以所以所以。而由柯西不等式，得。圖4-2當且僅當時等號成立。故三角形為等邊三角形圖4-2例17為內(nèi)的一點，分別為到各邊所引垂線的垂足，求所有使為最小的點。解：如圖4-2，設(shè)的三邊面積為,及那么。由柯西不等式得即。也即。當且僅當〔即亦即〕時等號成立。因而使為最小點是的內(nèi)心[16]。從以上幾方面，可以看出柯西不等式確實有著廣泛的應(yīng)用，柯西不等式作為一個根本而又重要的不等式，在數(shù)學領(lǐng)域中具有一定的地位。能否熟練的應(yīng)用就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會使復(fù)雜問題簡化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。結(jié)論柯西不等式結(jié)構(gòu)對稱和諧，具有較強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。它作為一個根本而又重要的不等式，在數(shù)學領(lǐng)域中具有一定的地位。它不僅在高等數(shù)學中式一個重要的不等式，而且它對于初等數(shù)學的學習也有很大的指導意義。靈活巧妙地運用柯西不等式能高瞻遠矚，方便地解決初等和高等數(shù)學的有關(guān)問題，從而加深知識的理解與穩(wěn)固。能否熟練地應(yīng)用就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會使復(fù)雜問題簡化，解題更加方便，快捷，收到事半功倍的效果。如何應(yīng)用柯西不等式