考研數(shù)學(xué)一(線性代數(shù))模擬試卷88(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（線性代數(shù)）模擬試卷88(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)齊次線性方程組經(jīng)高斯消元化成的階梯形矩陣是，則自由變量不能取成A．x4，x5．B．x2，x3．C．x2，x4．D．x1，x3·正確答案：A解析：自由未知量選擇的原則是：其它未知量可用它們唯一確定．如果選擇x4，x5，對應(yīng)齊次方程組寫作顯見把x4，x5當(dāng)作參數(shù)時，x1，x2，x3不是唯一確定的．因此x4，x5不能唯一確定x1，x2，x3，它們不能取為自由變量．選(A)．知識模塊：線性代數(shù)2．設(shè)A是m×n矩陣，則下列命題正確的是A．如m＜n，則Ax＝b有無窮多解．B．如Ax＝0只有零解，則Ax＝b有唯一解．C．如A有n階子式不為零，則Ax＝0只有零解．D．Ax＝b有唯一解的充要條件是r(A)=n.正確答案：C解析：如，m前者只有零解，而后者無解．故(B)不正確．關(guān)于(D)，Ax＝b有唯一解r(A)＝r(A｜b)＝n．由于r(A)＝nr(A｜b)＝n，例子同上．可見(D)只是必要條件，并不充分．(C)為何正確?除用排除法外，你如何證明．知識模塊：線性代數(shù)3．已知η1，η2，η3，η4是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以是A．η1＋η2，η2＋η3，η3＋η4，η4＋η1·B．η1，η2，η3＋η4，η3一η4·C．η1，η2，η3，η4的一個等價向量組．D．η1，η2，η3，η4的一個等秩的向量組．正確答案：B解析：向量組(A)線性相關(guān)，(A)不正確．η1，η2，η3，η4，η1＋η2與η1，η2，η3，η4等價．但前者線性相關(guān)，故(C)不正確．等秩的向量組不一定能互相線性表出，因而可能不是方程組的解，故(D)不正確．選(B)．知識模塊：線性代數(shù)4．設(shè)A是5×4矩陣，A＝(α1，α2，α3，α4)，若η1＝(1，1，一2，1)T，η1＝(O，1，0，1)T是Ax＝0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無關(guān)組可以是A．α1，α3．B．α2，α4．C．α2，α3．D．α1，α2，α4·正確答案：C解析：由Aη1＝0，知α1＋α2—2α3＋α4＝0．①由Aη2＝0，知α2＋α4＝0．②因?yàn)閚—r(A)＝2，故必有r(A)＝2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4線性相關(guān)．故應(yīng)排除(B)．把②代入①得α1—2α3＝0，即α1，α3線性相關(guān)，排除(A)．如果α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)＝r(一2α3，α2，α3，一α2)＝r(α2，α3)＝1與r(A)＝2相矛盾．所以選(C)．知識模塊：線性代數(shù)填空題5．向量組α1＝(1，－1，3，0)T，α2＝(－2，1，a，1)T，α3＝(1，1，－5，一2)T的秩為2，則a＝______．正確答案：-2解析：r(α1，α2，α3)＝2，計(jì)算秩知識模塊：線性代數(shù)6．已知r(α1，α2，…，αs)＝r(α1，α2，…，αs，β)＝r，r(α1，α2，…，αs，γ)＝r＋1，則r(α1，α2，…，αs，β，γ)＝______．正確答案：r＋1解析：r(α1，α2，…，αs)＝r(α1，α2，…，α3，β)＝r表明β可由α1，α2，…，αs線性表出，于是r(α1，α2，…，α3，β，γ)＝r(α1，α2，…，αs，γ)，＝r＋1．知識模塊：線性代數(shù)7．設(shè)4階矩陣A的秩為2，則r(A*)＝______．正確答案：0解析：由r(A*)＝知識模塊：線性代數(shù)8．已知A＝且AXA*＝B，秩r(X)＝2，則a＝______．正確答案：0解析：由A可逆，知A*可逆，那么r(AXA*)＝r(X)，從而r(B)＝2，｜B｜＝0．于是知識模塊：線性代數(shù)9．已知A＝，B是3階非0矩陣，且BAT＝0，則a＝______．正確答案：解析：由BAT＝0有r(B)＋r(AT)≤3，即r(A)＋r(B)≤3．又B≠0，有r(B)≥1，從而r(A)＜3，即｜A｜＝0．于是知識模塊：線性代數(shù)10．與α1＝(1，一1，0，2)T，α2＝(2，3，1，1)T，α3＝(0，0，1，2)T都正交的單位向量是______．正確答案：(1，一1，2，一1)T解析：設(shè)β＝(x1，x2，x3，x4)T與α1，α2，α3均正交，則βTαi＝O(i＝1，2，3)，即求出基礎(chǔ)解系：(1，一1，2，一1)T，單位化得(1，一1，2，一1)T為所求．知識模塊：線性代數(shù)11．已知三維向量空間的一組基是α1＝(1，0，1)，α2＝(1，一1，0)，α3＝(2，1，1)，則向量β＝(3，2，1)在這組基下的坐標(biāo)是______．正確答案：(一1，0，2)T解析：設(shè)x1α1＋x2α2＋x3α3＝β，由解出x1＝一1，x2＝0，x3＝2．故β在基α1，α2，α3的坐標(biāo)是(一1，0，2)T．知識模塊：線性代數(shù)12．已知A＝，則Ax＝0解空間的規(guī)范正交基是______．正確答案：解析：求得Ax＝0的一個基礎(chǔ)解系：(一3，1，0，0)T，(1，0，一2，1)T．Schmidt正交化處理，有β1＝(一3，1，0，0)T，β2＝(1，0，一2，1)T一(一3，1，0，0)T＝[*120](1，3，一20，10)T．單位化，得γ1＝(一3，1，0，0)T，γ2＝(1，3，一20，10)T．知識模塊：線性代數(shù)13．已知α1，α2，α3與β1，β1，β3是三維向量空間的兩組基，且β1＝α1＋2α2一α3，β2＝α2＋α3，β3＝α1＋3α2＋2α3，則由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣是______．正確答案：解析：由于(β1，β2，β3)＝(α1，α2，α3)按過渡矩陣定義，知由α1，α2，α3到β1，β2，β3的過渡矩陣是知識模塊：線性代數(shù)14．已知方程組有無窮多解，則a＝______．正確答案：-5解析：對增廣矩陣作初等行變換，有當(dāng)a＝一5時，r(A)＝r(A)，總有解，則λ應(yīng)滿足______．正確答案：解析：對任意b1，b2，b3，方程組有解r(A)＝3｜A｜≠0．而由可知λ≠1且λ≠．知識模塊：線性代數(shù)16．四元方程組的一個基礎(chǔ)解系是______．正確答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T解析：n—r(A)＝4—2＝2．取x3，x4為自由變量：令x3＝1，x4＝0得x2＝0，x1＝0；令x3＝0，x4＝1得x2＝1，x2＝一1，所以基礎(chǔ)解系是(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．知識模塊：線性代數(shù)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知α1＝(1，1，0，2)T，α2＝(－1，1，2，4)T，α3＝(2，3，a，7)T，α4＝(－1，5，－3，a＋6)T，β＝(1，0，2，b)T，問a，b取何值時，(I)β不能由α1，α2，α3，α4線性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法不唯一，并寫出此時表達(dá)式．正確答案：設(shè)x1α1＋x2α2＋x3α3＋x3α4＝β，對增廣矩陣(α1，α2，α3，α4β)作初等行變換，有(I)當(dāng)a＝1，b≠2或a＝10，b≠一1時，方程組均無解．所以β不能由α1，α2，α3，α4線性表出．(Ⅱ)當(dāng)a≠1且a≠10時，b方程組均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4線性表示且表示法唯一．(Ⅲ)方程組在兩種情況下有無窮多解，即(1)當(dāng)a＝10，b＝一1時，方程組有無窮多解：(2)當(dāng)a＝1，b＝2時，方程組有無窮多解：x4＝，x2＝t，x3＝1－2t，x1＝即β＝(5t－)α1＋tα2＋(1－2t)α3－α4．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)18．已知向量組有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3線性表出，求a，b的值．正確答案：因?yàn)棣?可由α1，α2，α3線性表示，故方程組x1α1＋x2α2＋x3α3＝β3有解．由并且秩r(α1，α2，α3)＝2．于是r(β1，β2，β3)＝2．從而｜β1，β2，β3｜＝＝－(a－15)＝0a＝15涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)19．已知a1，a2，…，as是互不相同的數(shù)，n維向量αi＝(1，αi，αi2，…，αin－1)T(i＝1，2，…，s)，求向量組α1，α2，…，αs的秩．正確答案：當(dāng)s＞n時，α1，α2，…，αs必線性相關(guān)，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn線性無關(guān)．因而r(α1，α2，…，αs)＝n．當(dāng)s＝n時，α1，α2，…，αn線性無關(guān)，秩r(α1，α2，…，αn)＝n．當(dāng)s＜n時，記α1’＝(1，a1，a12，…，a1s－1)T，α2’＝(1，a2，a22，…，a2s－1)T，αs’＝(1，as，as2，…，ass－1)T，則α1’，α2’，…，αs’線性無關(guān)．那么α1，α2，…，αs必線性無關(guān)．故r(α1，α1，…，αs)＝s．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)20．設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，如果AT＝A*，證明任一n維列向量均可由矩陣A的列向量線性表出．正確答案：因?yàn)锳*＝AT，按定義有Aij＝aij(i，j＝1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代數(shù)余子式．由于A≠0，不妨設(shè)a11≠0，那么｜A｜＝a11A11＋a12A12＋…＋a1nA1n＝a112＋a122＋…＋a1n2≠0．于是A＝(α1，α2，…，αn)的n個列向量線性無關(guān)．那么對任一n維列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β線性相關(guān)．因此β必可由α1，α2，…，αn線性表出．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)21．證明α1，α2，…αs(其中α1≠0)線性相關(guān)的充分必要條件是存在一個αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1線性表出．正確答案：必要性．因?yàn)棣?，α2，…，αs線性相關(guān)，故有不全為0的k1，k2，…，ks使k1α1＋k2α2＋ksαs＝0．設(shè)ks，ks－1，…，k2，k1中第一個不為0的是ki(即ki≠0，而k＋1＋i＝…＝ks－1＝ks＝0)，且必有i>1(若i＝1即k1≠0，k2＝…＝ks＝0，那么k1α1＝0．于是α1＝0與α1≠0矛盾．)，從而k1α1＋k2α2＋…＋kiαi＝0，ki≠0．那么αi＝(k1α1＋k2α2＋…＋ki－1αi－1)．充分性．設(shè)有αi可用α1，α2，…，αi－1線性表示，則α1，α1，…，αi－1，αi線性相關(guān)，從而α1，α2，…，αs線性相關(guān)．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)22．已知A是m×n矩陣，B是n×P矩陣，如AB＝C，且r(C)＝m，證明A的行向量線性無關(guān)．正確答案：(用秩)因?yàn)锳B＝C，所以r(AB)≤r(A)，即r(A)≥r(C)＝m．又A是m×n矩陣，r(A)≤m，從而r(A)＝m．因?yàn)閞(A)＝A的行秩，所以A的行向量組線性無關(guān)．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)23．設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，C是m×s矩陣，滿足AB＝C，如果秩r(A)＝n，證明秩r(B)＝r(C).正確答案：對齊次方程組(I)ABx＝0，(Ⅱ)Bx＝0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα＝0，那么ABα＝0，于是α是(I)的解．如α是(I)的解，有ABα＝0，因?yàn)锳是m×n矩陣，秩r(A)＝n，所以Ax＝0只有零解，從而Bα＝0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程組(I)與(Ⅱ)同解．那么s—r(AB)＝s—r(B)，即F(AB)＝r(B)．所以r(B)＝r(C)．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)24．設(shè)A是n階實(shí)反對稱矩陣，x，y是實(shí)n維列向量，滿足Ax=y，證明x與y正交.正確答案：因?yàn)锳T＝一A，Ax＝Y(jié)，所以(x，y)＝xTAx＝(ATx)TX＝(一Ax)TX＝(一y，x)，得(x，y)＝0．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)25．設(shè)W＝{(x