高中一輪復習數(shù)學課時跟蹤檢測（三十八）空間點線面之間的位置關(guān)系

課時跟蹤檢測（三十八）空間點、線、面之間的位置關(guān)系一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．“點P在直線m上，m在平面α內(nèi)”可表示為()A．P∈m，m∈α B．P∈m，m?αC．P?m，m∈α D．P?m，m?α解析：選B點在直線上用“∈”，直線在平面上用“?”，故選B.2．(2018·平陽期末)已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線解析：選C由平行直線公理可知，若c∥b，則a∥b，與a，b是異面直線矛盾．所以c與b不可能是平行直線．3．空間四邊形兩對角線的長分別為6和8，所成的角為45°，連接各邊中點所得四邊形的面積是()A．6eq\r(2) B．12C．12eq\r(2) D．24eq\r(2)解析：選A如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)對角線AC＝6，BD＝8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，∠EFG或∠FGH為AC與BD所成的45°角，故S四邊形EFGH＝3×4·sin45°＝6eq\r(2)，故選A.4.如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有________條；與AB異面的棱有________條．解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條．與AB異面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4條．答案：545.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.∵M為AD的中點，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2)，∴MK＝eq\r(2).在Rt△CKN中，CK＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3).在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝eq\f(\r(2)2＋2\r(2)2－\r(3)2,2×\r(2)×2\r(2))＝eq\f(7,8).答案：eq\f(7,8)二保高考，全練題型做到高考達標1．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．2．(2018·寧波模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是()A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行解析：選D如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；因為CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN與CC1垂直，故A正確；因為AC⊥BD，MN∥BD，所以MN與AC垂直，故B正確；因為A1B1與BD異面，MN∥BD，所以MN與A1B1不可能平行，故D錯誤．3．下列命題中，真命題的個數(shù)為()①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A．1 B．2C．3 D．4解析：選B根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點．設(shè)AM與平面BB1D1D的交點為O，則()A．三點D1，O，B共線，且OB＝2OD1B．三點D1，O，B不共線，且OB＝2OD1C．三點D1，O，B共線，且OB＝OD1D．三點D1，O，B不共線，且OB＝OD1解析：選A連接A1M與B1D1交于點H，連接OH.因為△MD1H與△A1B1H相似，所以eq\f(D1H,HB1)＝eq\f(D1M,A1B1)＝eq\f(MH,A1H)＝eq\f(1,2).因為OH∥A1A，所以eq\f(OH,AA1)＝eq\f(MH,MA1)＝eq\f(1,3)，所以O(shè)H＝eq\f(1,3)AA1，所以O(shè)H＝eq\f(1,3)B1B，且OH∥BB1，所以由三角形相似可知，D1，O，B三點共線，且OB＝2OD1.5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點，則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(30),10)C.eq\f(\r(30),10) D.eq\f(1,2)解析：選C如圖，設(shè)正方體的棱長為a，取線段AB的中點M，連接CM，MF，EF.則MF綊AE，所以∠CFM即為所求角或所求角的補角．在△CFM中，MF＝CM＝eq\f(\r(5),2)a，CF＝eq\f(\r(6),2)a，根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM＝eq\f(\r(30),10)，所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為eq\f(\r(30),10).故選C.6．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為________對．解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對．答案：37．(2018·福建六校聯(lián)考)設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是_______(寫出所有正確命題的序號)．解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯．答案：①8.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).答案：eq\r(2)9．(2018·舟山模擬)在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，對角線BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角．解：如圖，分別取AD，CD，AB，BD的中點E，F(xiàn)，G，H，連接EF，F(xiàn)H，HG，GE，GF.由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝eq\f(\r(3),4)，GE∥BD，且GE＝eq\f(\r(13),4)，GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH∥AD，HF∥BC，GH＝eq\f(1,2)，HF＝eq\f(\r(3),2).又AD⊥BC，所以∠GHF＝90°，所以GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，GE2＋EF2＝1＝GF2，所以∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角為90°.10.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，故三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖所示，取PB的中點E，連接DE，AE，則DE∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，則cos∠ADE＝eq\f(DE2＋AD2－AE2,2DE·AD)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).即異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．如圖是三棱錐D-ABC的三視圖，點O在三個視圖中都是所在邊的中點，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(3),3)B．eq\f(1,2) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)解析：選A由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖，從A出發(fā)的三條線段AB，AC，AD兩兩垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中點，取AC中點E，連接DE，DO，OE，則OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補角．在直角三角形DAE中，DE＝eq\r(2)，由于O是中點，在直角三角形ABC中可以求得AO＝eq\r(2)，在直角三角形DAO中可以求得DO＝eq\r(3).在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝eq\f(1＋3－2,2×1×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，故所求余弦值為eq\f(\r(3),3).2．如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2.(1)當點M在何位置時，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值．解：(1)法一：如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.因為側(cè)棱A1A⊥底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC.又因為EC＝2FB＝2，所以O(shè)M∥FB∥EC且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB，所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF.因為OF?平面AEF，BM?平面AEF，故BM∥平面AEF，此時點M為AC的中點．法二：如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ.因為EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因為PB∩