高中物理萬有引力定律知識點總結(jié)與典型例題

第五章萬有引力定律第一單元萬有引力定律及其應用基礎知識

一.開普勒運動定律(1)開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上．(2)開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等．(3)開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．二.萬有引力定律(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比．(2)公式：F＝G,其中，稱為為有引力恒量。(3)適用條件：嚴格地說公式只適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離．對于均勻的球體,r是兩球心間的距離．注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統(tǒng)一起來，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1千克的兩個質(zhì)點相距1米時相互作用的萬有引力．三、萬有引力和重力

重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要向心力．重力實際上是萬有引力的一個分力．另一個分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大．通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即m2g＝G,g=GM/r2常用來計算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（r+h）2，比較得gh=（）2·g

在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有

F＝F向＋m2g，所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2因地球目轉(zhuǎn)角速度很小G?m2Rω自2,所以m2g=G假設地球自轉(zhuǎn)加快，即ω自變大，由m2g＝G－m2Rω自2知物體的重力將變小，當G=m2Rω自2時，m2g=0，此時地球上物體無重力，但是它要求地球自轉(zhuǎn)的角速度ω自＝，比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多.四.天體表面重力加速度問題設天體表面重力加速度為g,天體半徑為R，由mg=得g=,由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為五．天體質(zhì)量和密度的計算

原理：天體對它的衛(wèi)星（或行星）的引力就是衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的向心力．

G=mr，由此可得：M=；ρ===（R為行星的半徑）由上式可知，只要用實驗方法測出衛(wèi)星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質(zhì)量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度規(guī)律方法1、萬有引力定律的基本應用【例1】如圖所示，在一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點m的引力是多大？分析把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質(zhì)點的引力之和，即可得解．【例2】某物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a＝?g隨火箭加速上升的過程中，當物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90N時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠？（地球半徑R＝6.4×103km,g取10m/s2）【例3】有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T0。當氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為T。求該氣球此時離海平面的高度h。把地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體?！纠?】登月火箭關閉發(fā)動機在離月球表面112km的空中沿圓形軌道運動，周期是120.5min,月球的半徑是1740km,根據(jù)這組數(shù)據(jù)計算月球的質(zhì)量和平均密度．【例5】已知火星上大氣壓是地球的1/200．火星直徑約為球直徑的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．試求火星上大氣質(zhì)量與地球大氣質(zhì)量之比．【例6】一個宇航員在半徑為R的星球上以初速度v0豎直上拋一物體，經(jīng)ts后物體落回宇航員手中．為了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面，拋出時的速度至少為多少？【例7】在“勇氣”號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞0的均勻球體。2、討論天體運動規(guī)律的基本思路基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供?！纠?】2000年1月26日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)980的經(jīng)線在同一平面內(nèi)．若把甘肅省嘉峪關處的經(jīng)度和緯度近似為東經(jīng)980和北緯α＝400，已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T,地球表面重力加速度g（視為常數(shù)）和光速c，試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間（要求用題給的已知量的符號表示）．【例9】在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1和M2，試計算：（1）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運行周期；（3）雙星的線速度。θ【例10】興趣小組成員共同協(xié)作，完成了下面的兩個實驗：①當飛船停留在距X星球一定高度的P點時，正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經(jīng)時間t1后收到反射回來的信號，此時觀察X星球的視角為θ，如圖所示．②當飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定在星球表面上，豎直向上彈射一個小球，經(jīng)測定小球從彈射到落回的時間為t2.

已知用上述彈射器在地球上做同樣實驗時，小球在空中運動的時間為t，又已知地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，光速為c，地球和X星球的自轉(zhuǎn)以及它們對物體的大氣阻力均可不計，試根據(jù)以上信息，求：（1）X星球的半徑R；（2）X星球的質(zhì)量M；（3）X星球的第一宇宙速度v；(4)在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T.【例11】天體運動的演變猜想。在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種說法叫做“宇宙膨脹說”，認為引力常量在慢慢減小。根據(jù)這種理論，試分析現(xiàn)在太陽系中地球的公轉(zhuǎn)軌道平徑、周期、速率與很久很久以前相比變化的情況。試題展示1．已知太陽到地球與地球到月球的距離的比值約為390，月球繞地球旋轉(zhuǎn)的周期約為27天.利用上述數(shù)據(jù)以及日常的天文知識，可估算出太陽對月球與地球?qū)υ虑虻娜f有引力的比值約為A.0.2

B.2

C.20

D.2002．1990年4月25日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約600km的高空，使得

人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進展。假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行。已知地球半徑為6.4×106m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為3.6×107m這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期。以下數(shù)據(jù)中最接近其運行周期的是

A．0.6小時

B．1.6小時

C．4.0小時

D．24小時3.火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為A．0.2g

B．0.4g

C．2.5g

D．5g4．假設太陽系中天體的密度不變，天體直徑和天體之間距離都縮小到原來的一半，地球繞太陽公轉(zhuǎn)近似為勻速圓周運動，則下列物理量變化正確的是A．地球的向心力變?yōu)榭s小前的一半

B．地球的向心力變?yōu)榭s小前的C．地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期與縮小前的相同

D．地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期變?yōu)榭s小前的一半5．天文學家發(fā)現(xiàn)了某恒星有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和運行周期。由此可推算出

A．行星的質(zhì)量

B．行星的半徑

C．恒星的質(zhì)量

D．恒星的半徑6．據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重量為600N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60N，由此可推知該行星的半徑與地球半徑之比約為A．0.5

B．2.

C．3.2

D．47．2007年4月24日，歐洲科學家宣布在太陽之外發(fā)現(xiàn)了一顆可能適合人類居住的類地行星Gliese581c。這顆圍繞紅矮星Gliese581運行的星球有類似地球的溫度，表面可能有液態(tài)水存在，距離地球約為20光年，直徑約為地球的1.5倍，質(zhì)量約為地球的5倍，繞紅矮星Gliese581運行的周期約為13天。假設有一艘宇宙飛船飛臨該星球表面附近軌道，下列說法正確是A．飛船在Gliese581c表面附近運行的周期約為13天B．飛船在Gliese581c表面附近運行時的速度大于7.9km/sC．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小8．太陽系八大行星公轉(zhuǎn)軌道可近似看作圓軌道，“行星公轉(zhuǎn)周期的平方”與“行星與太陽的平均距離的三次方”成正比。地球與太陽之間平均距離約為1.5億千米，結(jié)合下表可知，火星與太陽之間的平均距離約為水星金星地球火星木星土星公轉(zhuǎn)周期（年）0.2410.6151.01.8811.8629.5

A．1.2億千米

B．2.3億千米

C．4.6億千米

D．6.9億千米9.已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運轉(zhuǎn)周期T1，地球的自轉(zhuǎn)周期T2，地球表面的重力加速度g。某同學根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：同步衛(wèi)星繞地球作圓周運動，由得⑴請判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由。如不正確，請給出正確的解法和結(jié)果。⑵請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果。10．天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）11．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空氣阻力不計）⑴求該星球表面附近的重力加速度g/；⑵已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星:R地＝1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星:M地。12．神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率和運行周期T。（1）可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點）對它的引力，設A和B的質(zhì)量分別為、，試求（用、表示）；（2）求暗星B的質(zhì)量與可見星A的速率、運行周期T和質(zhì)量之間的關系式；（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率，運行周期，質(zhì)量，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（）第二單元專題：人造天體的運動

基礎知識一、衛(wèi)星的繞行角速度、周期與高度的關系（1）由，得，∴當h↑，v↓（2）由G=mω2（r+h），得ω=，∴當h↑，ω↓（3）由G，得T=∴當h↑，T↑二、三種宇宙速度：1第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：v1=7.9km/s，人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。也是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度。2第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。3第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。三、第一宇宙速度的計算．方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力．G=m，v=。當h↑，v↓，所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運行的最大速度。其大小為r＞＞h（地面附近）時，=7．9×103m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力．．當r＞＞h時．gh≈g

所以v1＝=7．9×103m/s第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度．四、兩種最常見的衛(wèi)星

⑴近地衛(wèi)星。

近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，由式②可得其線速度大小為v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期為T=5.06×103s=84min。由②、③式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。

神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，周期約90min。

⑵同步衛(wèi)星?！巴健钡暮x就是和地球保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，即T=24h。由式G=m=m（r+h）可得，同步衛(wèi)星離地面高度為

h＝－r＝3·58×107m即其軌道半徑是唯一確定的離地面的高度h=3.6×104km，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，運轉(zhuǎn)方向必須跟地球自轉(zhuǎn)方向一致即由西向東。如果僅與地球自轉(zhuǎn)周期相同而不定點于赤道上空，該衛(wèi)星就不能與地面保持相對靜止。因為衛(wèi)星軌道所在平面必然和地球繞日公轉(zhuǎn)軌道平面重合，同步衛(wèi)星的線速度

v==3.07×103m/s

通訊衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球的電視轉(zhuǎn)播，從圖可知，如果能發(fā)射三顆相對地面靜止的衛(wèi)星（即同步衛(wèi)星）并相互聯(lián)網(wǎng)，即可覆蓋全球的每個角落。由于通訊衛(wèi)星都必須位于赤道上空3.6×107m處，各衛(wèi)星之間又不能相距太近，所以，通訊衛(wèi)星的總數(shù)是有限的。設想在赤道所在平面內(nèi)，以地球中心為圓心隔50放置一顆通訊衛(wèi)星，全球通訊衛(wèi)星的總數(shù)應為72個。五.了解不同高度的衛(wèi)星飛行速度及周期的數(shù)據(jù)

衛(wèi)星飛行速度及周期僅由距地高度決定與質(zhì)量無關。設衛(wèi)星距地面高度為h，地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星飛行速度為v，則由萬有引力充當向心力可得v=[GM/（R+h）]?。知道了衛(wèi)星距離地面的高度，就可確定衛(wèi)星飛行時的速度大小。不同高度處人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度及周期見下表：高度(km)030050010003000500035900（同步軌道）38000（月球軌道）環(huán)繞速度(km/s)7.917.737.627.366.535.292.770.97周期（分）84.490.594.510515021023小時56分28天六、衛(wèi)星的超重和失重（1）衛(wèi)星進入軌道前加速過程，衛(wèi)星上物體超重．(2)衛(wèi)星進入軌道后正常運轉(zhuǎn)時，衛(wèi)星上物體完全失重．七、人造天體在運動過程中的能量關系當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛(wèi)星的動能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用Ek=mgh計算，而要用到公式（以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質(zhì)量，m為衛(wèi)星質(zhì)量，r為衛(wèi)星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統(tǒng)勢能減小，為負。）因此機械能為。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機械能越大，發(fā)射越困難。八、相關材料I．人造衛(wèi)星做圓軌道和橢圓軌道運行的討論

當火箭與衛(wèi)星分離時，設衛(wèi)星的速度為v（此即為發(fā)射速度），衛(wèi)星距離地心為r,并設此時速度與萬有引力垂直（通過地面控制可以實現(xiàn)）如圖所示，則，若衛(wèi)星以v繞地球做圓周運動，則所需要的向心力為：F向＝①當F萬=F向時，衛(wèi)星將做圓周運動．若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發(fā)射速度v＝7.9km/s.②當F萬＜F向時，衛(wèi)星將做離心運動，做橢圓運動，遠離地球時引力做負功，衛(wèi)星動能轉(zhuǎn)化為引力勢能．（神州五號即屬于此種情況）③當F萬＞F向時，衛(wèi)星在引力作用下，向地心做橢圓運動，若此時發(fā)生在最近軌道，則v＜7.9km/s，衛(wèi)星將墜人大氣層燒毀。

因此：星箭分離時的速度是決定衛(wèi)星運行軌道的主要條件．2.人造衛(wèi)星如何變軌衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術的一個重要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術．以衛(wèi)星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點，萬有引力FA＞，要使衛(wèi)星改做圓周運動，必須滿足FA＝和FA⊥v，在遠點已滿足了FA⊥v的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到＝FA，這個任務由衛(wèi)星自帶的推進器完成．

這說明人造衛(wèi)星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛(wèi)星就不再沿橢圓軌道運動而轉(zhuǎn)到大圓軌道．“神州五號”就是通過這種技術變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術定點于同步軌道上的．規(guī)律方法1、處理人造天體問題的基本思路由于運行中的人造天體，萬有引力全部提供人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力，因此所有的人造地球衛(wèi)星的軌道圓心都在地心．解關于人造衛(wèi)星問題的基本思路：①視為勻速圓周運動處理；②萬有引力充當向心力；③根據(jù)已知條件選擇向心加速度的表達式便于計算；④利用代換式gR2=GM推導化簡運算過程。注意：①人造衛(wèi)星的軌道半徑與它的高度不同．②離地面不同高度，重力加速度不同，【例l】設人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，衛(wèi)星離地面越高，則衛(wèi)星的（

）A．速度越大

B．角速度越大

C．向心加速度越大；D．周期越長【例2】設地球的半徑為R0，質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的是A.衛(wèi)星的線速度為；B.衛(wèi)星的角速度為；C.衛(wèi)星的加速度為；

D.衛(wèi)星的周期；2、人造天體的發(fā)射與變軌【例3】一組太空人乘坐大空穿梭機，去修理位于離地球表面6．0×105m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數(shù)公里處，如圖所示，設G為引力常數(shù)，而ME為地球質(zhì)量．（已知：地球半徑為6．4×106m）

（1）在穿梭機內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的太空人的視重是多少？

（2）①計算軌道上的重力加速度的值．

②計算穿梭機在軌道上的速率和周期．（3）①證明穿梭機的總機械能跟成正比，r為它的軌道半徑．［注：若力F與位移r之間有如下的關系：F=K／r2（其中K為常數(shù)），則當r由∞處變?yōu)?，F(xiàn)做功的大小可用以下規(guī)律進行計算：

W＝K／r（設∞處的勢能為0）］．

②穿梭機須首先螺旋進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡．用上題的結(jié)果判所穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減少其原有速率，解釋你的答案．【例4】如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來______?！纠?】在空中飛行了十多年的“和平號”航天站已失去動力，由于受大氣阻力作用其繞地球轉(zhuǎn)動半徑將逐漸減小，最后在大氣層中墜毀，在此過程中下列說法正確的是（

）

A．航天站的速度將加大

B．航天站繞地球旋轉(zhuǎn)的周期加大

C．航天站的向心加速度加大

D．航天站的角速度將增大【例6】“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要進行多次“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是

Ａ.動能、重力勢能和機械能都逐漸減小

Ｂ.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變

Ｃ.重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變

Ｄ.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小r【例7】飛船發(fā)射過程是一個加速過程，在加速過程中，宇航員處于______狀態(tài)。人們把這種狀態(tài)下的重力與靜止在地球表面時的重力的比值稱為耐受力值，用K表示，則K=_______（設宇航員的質(zhì)量為m，加速上升加速度為a），選擇宇般員時，要求他在此狀態(tài)的耐受值為

，說明飛船發(fā)射時的加速度值的變化范圍_________.【例8】飛船在發(fā)射升空時，如果宇航員是站立的，則他的心血管系統(tǒng)受到何種影響？你認為宇航員采取什么資勢為好？【例9】航天飛船進入距地表3R地的軌道繞地球做圓周運動時，質(zhì)量為64kg的宇航員處于____狀態(tài)，他的視重為____N。實際所受力_____N?！纠?0】若飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站（

）

A可以從較低的軌道上加速B可以從較高的軌道上加速C可以從與空間站同一軌道上加速D無論在什么軌道上，只要加速都行【例11】我國的國土遼闊，在東西方向上分布在東經(jīng)70°到東經(jīng)135°的廣大范圍內(nèi)，所以我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星一般定點在赤道上空3.6萬公里，東經(jīng)100°附近。假設某顆通信衛(wèi)星計劃定點在赤道上空東經(jīng)104°的位置。經(jīng)測量剛進入軌道時它位于赤道上空3.6萬公里，東經(jīng)103°處。為了把它調(diào)整到104°處，可以短時間啟動星上的小型發(fā)動機，通過適當調(diào)整衛(wèi)星的軌道高度，改變其周期，從而使其自動“漂移”到預定經(jīng)度。然后再短時間啟動星上的小型發(fā)動機調(diào)整衛(wèi)星的高度，實現(xiàn)最終定點。這兩次調(diào)整高度的方向應該依次是

Ａ.向下、向上

Ｂ.向上、向下

Ｃ.向上、向上

Ｄ.向下、向下【例12】設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．求該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？

已知：返回過程中需克服火星引力做功W＝mgR（1一R/r），返回艙與人的總質(zhì)量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r；不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉(zhuǎn)的影響．【例13】2003年10月15日上午9時，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“神舟五號”載人航天飛船，這是我國首次實現(xiàn)載人航天飛行，也是全世界第三個具有發(fā)射載人航天器能力的國家．“神舟五號”飛船長8.86m;質(zhì)量為7990kg.飛船在達到預定的橢圓軌道后運行的軌道傾角為42.40，近地點高度200km，遠地點高度約350km.實行變軌后，進入離地約350km的圓軌道上運行，飛船運動14圈后，于16日凌晨在內(nèi)蒙古成功著陸．（地球半徑Ro=-6.4×106m，地球表面重力加速度g=10m/s2，··＝5.48，計算結(jié)果保留三位有效數(shù)字）求：（1)飛船變軌后在軌道上正常運行時的速度．（2)飛船在圓軌道上運行的周期．【補例】地球赤道上的N城市想實施一個“人造月亮”計劃，在地球同步衛(wèi)星上用一面平面鏡將太陽光射到地球上，使這座城市在午夜時分有“日出”時的效果，若此時的N城市正值盛夏季節(jié)，地球的半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求θ（1)地球同步衛(wèi)星離地心的距離(2)懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差α。（3)此時平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角θ試題展示1.據(jù)媒體報道,嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道,軌道高度200km,運用周期127分鐘。若還知道引力常量和月球平均半徑,僅利用以上條件不能求出的是A．月球表面的重力加速度

B．月球?qū)πl(wèi)星的吸引力C．衛(wèi)星繞月球運行的速度

D．衛(wèi)星繞月運行的加速度2.1990年4月25日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約600km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進展。假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行。已知地球半徑為6.4×106m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為3.6×107m這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期。以下數(shù)據(jù)中最接近其運行周期的是A．0.6小時

B．1.6小時

C．4.0小時

D．24小時3.據(jù)報道．我國數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號01星”于2008年4月25日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，經(jīng)過4次變軌控制后，于5月l日成功定點在東經(jīng)77°赤道上空的同步軌道。關于成功定點后的“天鏈一號01衛(wèi)星”，下列說法正確的是A．運行速度大于7.9Kg/sB．離地面高度一定，相對地面靜止C．繞地球運行的角速度比月球繞地球運行的角速度大D．向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等4.圖是“嫦娥一導奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對月球的探測，下列說法正確的是A．發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度B．在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關C．衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D．在繞月軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力5.在不久的將來，我國宇航員將登上月球。假如宇航員在月球上測得擺長為l的單擺做小振幅振動的周期為T，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為

A．

B．

C．

D．6.我國繞月探測工程的預先研究和工程實施已取得重要進展。設地球、月球的質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為R1、R2，人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為v，對應的環(huán)繞周期為T，則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為A．，

B．，

C．，

D．，7.現(xiàn)有兩顆繞地球勻速圓周運動的人造地球衛(wèi)星A和B，它們的軌道半徑分別為rA和rB。如果rA＜rB，則A．衛(wèi)星A的運動周期比衛(wèi)星B的運動周期大

B．衛(wèi)星A的線速度比衛(wèi)星B的線速度大C．衛(wèi)星A的角速度比衛(wèi)星B的角速度大

D．衛(wèi)星A的加速度比衛(wèi)星B的加速度大8.我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響）。9.神舟載人飛船在繞地球飛行進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萲m的圓形軌道。已知地球半徑km，地面處的重力加速度。試導出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計算周期T的數(shù)值（保留兩位有效數(shù)字）10.在勇氣號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為υ0，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞0的均勻球體。第一單元萬有引力定律及其應用【例1】解完整的均質(zhì)球體對球外質(zhì)點m的引力這個引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對質(zhì)點的引力F1與半徑為R/2的小球?qū)|(zhì)點的引力F2之和，即F=F1+F2．因半徑為R/2的小球質(zhì)量M/為，則所以挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點m的引力說明（1）有部分同學認為，如果先設法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個重心上，應用萬有引力公式求解．這是不正確的．萬有引力存在于宇宙間任何兩個物體之間，但計算萬有引力的簡單公式卻只能適用于兩個質(zhì)點或均勻球體，挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了，不能直接使用這個公式計算引力．（2）如果題中的球穴挖在大球的正中央，根據(jù)同樣道理可得剩余部分對球外質(zhì)點m的引力上式表明，一個均質(zhì)球殼對球外質(zhì)點的引力跟把球殼的質(zhì)量（7M/8）集中于球心時對質(zhì)點的引力一樣．【例2】解析：設此時火箭上升到離地球表面的高度為h，火箭上物體受到的支持力為N,物體受到的重力為mg/，據(jù)牛頓第二定律．N－mg/=ma……①在h高處mg/＝……②

在地球表面處mg=……③把②③代入①得

∴=1.92×104

km.說明:在本問題中，牢記基本思路,一是萬有引力提供向心力，二是重力約等于萬有引力．【例3】解析：根據(jù)單擺周期公式：其中l(wèi)是單擺長度，g0和g分別是兩地點的重力加速度。根據(jù)萬有引力公式得其中G是引力常數(shù)，M是地球質(zhì)量。由以上各式解得【例4】解析：設月球半徑為R，月球質(zhì)量為M，月球密度為ρ，登月火箭軌道離月球表面為h，運動周期為T，火箭質(zhì)量為m，由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/（GT2），ρ=M/V，其中V=4π2R3/3，則F向=mω2r=m4π2（R+h）/T2，F(xiàn)引=GMm/（R+h）2，火箭沿軌道運行時有F引=F向，即GMm/（R+h）2=m4π2（R+h）/T2故M=4π2（R+h）3/（GT2）2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3【例5】分析包圍天體的大氣被吸向天體的力．就是作用在整個天體表面（把它看成平面時）的大氣壓力．利用萬有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它們的大氣質(zhì)量之比．解設火星和地球上的大氣質(zhì)量、重力加速度分別為m火、g火、m地、g地，火星和地球上的大氣壓分別為據(jù)萬有引力公式，火星和地球上的重力加速度分別為綜合上述三式得【例6】解析：物體拋出后，受恒定的星球引力作用，做勻減速運動，遵循著在地面上豎直上拋時的同樣規(guī)律．設星球?qū)ξ矬w產(chǎn)生的“重力加速度”為gx，則由豎直上拋運動的公式得為使物體拋出后不再落回星球表面，應使它所受到的星球引力正好等于物體所需的向心力，即成為衛(wèi)星發(fā)射了出去。，這個速度即是這個星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度。【例7】分析：第一次落到火星表面彈起在豎直方向相當于豎直上拋，在最高點由于只有水平速度故將做平拋運動，第二次落到火星表面時速度應按平拋處理。無論是豎直上拋還是平拋的計算，均要知道火星表面的重力加速度g/。利用火星的一個衛(wèi)星的相關數(shù)據(jù)可以求出g/。解：設火星的一個衛(wèi)星質(zhì)量為m，任一物體的質(zhì)量為m/，在火星表面的重力加速度為g/，火星的質(zhì)量為M。任一物體在火星表面有:……①

火星的衛(wèi)星應滿足：……②第一次落到火星表面彈起在豎直方向滿足：v12＝2g/h……③第二次落到火星表面時速度應按平拋處理：……④，由以上4式可解得【例8】解析：設m為衛(wèi)星質(zhì)量，M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地球中心的距離，ω為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動的角速度．由萬有引力定律和牛頓定律有，式中G為萬有引力恒量，因同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR2．設嘉峪關到同步衛(wèi)星的距離為L，如圖所示，由余弦定律得：所求的時間為t＝L/c．由以上各式得【例9】解析：因為雙星受到同樣大小的萬有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運動，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而軌道半徑、線速度不同的特點。（1）根據(jù)萬有引力定律，可得：（2）同理，還有，所以，周期為（3）根據(jù)線速度公式，【例10】解析：（1)由題設中圖示可知：（R＋?ct1）sinθ＝R，∴R=(2）在X星球上以v0豎直上拋t2＝，在地球上以v0豎直上拋：t＝，，又由，（3）mg'＝(4）當v達第一宇宙速度時，有最小周期T.

【例11】【解析】地球在半徑為R的圓形軌道上以速率v運動的過程中，引力常數(shù)G減小了一個微小量，萬有引力公式。由于太陽質(zhì)量M,地球質(zhì)量m,r均未改變，萬有引力F引必然隨之減小，并小于公轉(zhuǎn)軌道上該點所需的向心力（速度不能突變）。由于慣性，地球?qū)⒆鲭x心運動，即向外偏離太陽，半徑r增大。地球在遠離太陽的過程中，在太陽引力的作用下引起速率v減小，運轉(zhuǎn)周期增大。由此可以判斷，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比現(xiàn)在小，周期比現(xiàn)在小，速率比現(xiàn)在大。由引力常量G在慢慢減小的前提可以分析出太陽系中地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑在慢慢變大，表明宇宙在不斷地膨脹。試題展示1.答案：B解析：設太陽質(zhì)量M，地球質(zhì)量m，月球質(zhì)量m0，日地間距離為R，月地間距離為r，日月之間距離近似等于R，地球繞太陽的周期為T約為360天，月球繞地球的周期為t=27天。對地球繞著太陽轉(zhuǎn)動，由萬有引力定律：G=m，同理對月球繞著地球轉(zhuǎn)動：G=m0，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為M:m=；太陽對月球的萬有引力F=G，地球?qū)υ虑虻娜f有引力f=G，故F:f=，帶入太陽與地球質(zhì)量比，計算出比值約為2，B對。2.答案：B解析：由開普勒行星運動定律可知，恒量，所以，r為地球的半徑，h1、t1、h2、t2分別表示望遠鏡到地表的距離，望遠鏡的周期、同步衛(wèi)星距地表的距離、同步衛(wèi)星的周期（24h），代入數(shù)據(jù)得：t1=1.6h．3.答案：B【解析】：考查萬有引力定律。星球表面重力等于萬有引力，G=mg，故火星表面的重力加速度==0.4，故B正確。4.BC5.C6.B7.BC8.B9.（13分）(1)上面結(jié)果是錯誤的，地球的半徑R在計算過程中不能忽略。正確的解法和結(jié)果是：①，得②，（2）方法一：對月球繞地球作圓周運動，由得

③方法二：在地面重力近似等于萬有引力，由得

④10.【解析】：設兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為ω1、ω2。根據(jù)題意有

ω1＝ω2①，

r1＋r2＝r

②，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有G③G

④，聯(lián)立以上各式解得

⑤，根據(jù)解速度與周期的關系知⑥聯(lián)立③⑤⑥式解得

11.解：⑴，故：，⑵，所以，可解得：M星:M地＝112:542＝1:80，12.（1）設A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有

，設A、B之間的距離為，又，由上述各式得①

，由萬有引力定律，有，將①代入得

令，比較可得②，（2）由牛頓第二定律，有③，又可見星A的軌道半徑④，由②③④式解得⑤，（3）將代入⑤式，得，代入數(shù)據(jù)得⑥，設，將其代入⑥式，得⑦可見，的值隨的增大而增大，試令，得⑧若使⑦式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于2，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。第二單元專題：人造天體的運動【例l】

解析：（1）v與r的關系：G=m；即（r越大v越?。源鸢窤錯誤．（2）ω與r的關系：G=mω2r，，即（r越大，ω越?。源鸢窧錯誤．（3）a與r的關系：G=ma，a=GM/r2，即a∝1/r2。衛(wèi)星繞軌道半徑r運轉(zhuǎn)時的向心加速度與該處的重力加速度g/相等，所以g/＝a，g/∝1/r2，（r越大．加速度越?。源鸢窩錯誤．（4）T與r的關系：G=mr，T=2π即T∝（r越大，T越大）．所以答案D正確．

因GM＝g0R02，所以T＝2π，當r=Ro時，T＝Tmin＝2π

答案：D說明：可以看出，繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛(wèi)星，線速度越小而周期越大?！纠?】解析：在地面：;在高空：；，g=?g0；此重力加速度即為衛(wèi)星的向心加速度故C選項錯誤．衛(wèi)星的線速度故A選項正確．周期故D選項正確，角速度故B選項正確【例3】

【解析】：（1）在穿梭機內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的太空人的視重為0．（2）①因為mg/＝G［MEm/（R＋h）2］，所以g/=GME／（R＋h）2，其中R＝6．4×106m，h＝6．0×105m．g/=8．2m／s2，，②地球?qū)Υ┧髾C的萬有引力提供向心力．有：GMEm/（R＋h）2＝mv2/（R＋h）=m（2π/T）2（R十h），所以v==7．6×103m／sT＝＝5．8×103s．

（3）①因為萬有引力F＝GMEm/r2滿足F＝k（1／r2）（其中k＝GMEm為常數(shù)），由“注”可知，當穿梭機與地球之間的距離由∞處變到r時，萬有引力對其所做的功w＝k/r=GMEm/r，又因為：萬有引力對穿梭機做多少功，其重力勢能就減小多少，若設∞處的勢能為零，則穿梭機在半徑為r的軌道上時。其重力勢能為E=一GMEm/r，則穿梭機此時的總機械能E總=EP十Ek=一GMEm/r十?mv2．代入（2）中的v值，得：E總=一GMEm/r十?m（GME/r）＝一（GMEm/2）（1／r），故穿梭機的總機械能跟一1／r成正比，得證．因為E總跟一1／r成正比，故進入低軌道時總機械能要減小，故必須減速，使總機械能減小，當速度減小后，在引力場的作用下進行低軌道運行，因引力做正功，動能增加，低軌道環(huán)繞速度vr/大于原軌道環(huán)繞速度vr，又因為v＝ωr，vr/＞vr，r/＜r，則ωr/＞ωr，從而獲得較大的角速度，則可能趕上哈勃太空望遠鏡．【例4】解析：根據(jù)題意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的線速度，由式②知v1>v4,故結(jié)論為v2>v1>v4>v3。衛(wèi)星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由機械能守恒可知，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v2>v3。]

衛(wèi)星的回收實際上是衛(wèi)星發(fā)射過程的逆過程?！纠?】【解析】由GMm/r2=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=ma，得v=，

ω＝．

T＝2π可知r減小，v增大，ω增大，T減小，a增大．A、C、D正確．【例6】[由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功所以衛(wèi)星的機械能減小；由于重力做正功所以重力勢能減??；由式②可知衛(wèi)星動能將增大(這也說明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正)。答案選D