2020-2021學(xué)年杭州二中高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年杭州二中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共30.0分）

34萬

1.若復(fù)數(shù)2=9。59-*+61116-彳）》是純虛數(shù)，貝肚血（6一1~）的值為

A.—7B.——C.7D.—7或——

77

2.若曲線y=Asinoox+a（A>0fa）>0）在區(qū)間［0,生］上截直線y=2與y=-1所得的弦長相等且

不為0,則下列對a和4的描述正確的是（）

1Q12

A.a=-,A>-B.a=1,A>1C.a=-,A<-D.a=1,A<1

2222

3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(一8,0]上是減函數(shù)，設(shè)a=/(log4),b=0°gi3),c=

;'(O.2O06),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

4.已知叵]，則國的值是()

A.0B.0C.0D.0

5.已知m>0,且zncosa—s譏a=V^sin(a+0),則=()

A.-2B.—|C.|D.2

6.函數(shù)般=善:的:喊:的圖像大致形狀是()

'閡

7.已知函數(shù)f（x）=T々n，若函數(shù)y=/（/?）-a有且只有1個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值

IO/I人｝f人—U

范圍是()

A.(—co,-1)U[2,+8)B.(—oo,0)U[4,+oo)

C.(-00,1)U[4,4-00)D.(―8,1)U[2,+00)

1

8.設(shè)仇6[0,2兀)，則使sina>5成立的燈的取值范圍是()

9.y=25譏?%-2）的周期為（）

A.B.71C.27TD.47T

二、單空題(本大題共3小題，共9?0分)

11.已知/(%)、0(%)均為奇數(shù)，且尸(乃=a/(%)+bg(x)+2在(一8,0)上的最小值是一1,則函數(shù)F(x)

在(0,+8)上的最大值是.

12.已知/(%)為偶函數(shù),且f(2+%)=/(2-%),當(dāng)一2<%<0時,/(%)=2%,若?iEN*,an=/(n),

則。2008=---?

13.已知函數(shù)了(無)=2"一：—a,若存在X。e[―2,—1],使得=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、多空題(本大題共4小題，共12.0分)

14.如圖，有一塊半徑為R的半圓形廣場，M為凝的中點(diǎn).現(xiàn)要在該

廣場內(nèi)以。M為中軸線劃出一塊扇形區(qū)域OPQ,并在扇形區(qū)域內(nèi)

建兩個圓形花圃(圓N和圓S),使得圓N內(nèi)切于扇形。PQ,圓S與

扇形。PQ的兩條半徑相切,且與圓N外切.記NP0M=0(0<0<

會，則圓S的半徑y(tǒng)可表示成。的函數(shù)式為_(1)_,圓S的半徑y(tǒng)的最大值為_(2)_.

15.對于定義在R上的函數(shù)/(%),如果存在實(shí)數(shù)a,使得/(a+%)?/(a-％)=1對任意實(shí)數(shù)％eR恒成

立，則稱/(%)為關(guān)于a的“倒函數(shù)”.已知定義在R上的函數(shù)/(%)是關(guān)于0和1的“倒函數(shù)”，且當(dāng)

xe［O,l］時,/(%)的取值范圍為［1,2］,則當(dāng)xe［1,2］時，fQ)的取值范圍為當(dāng)xe

［—2016,2016］時，f(x)的取值范圍為_(2)_.

oaa

16.已知cos。=一^,。=(兀,2兀)，則s譏。sin-+cos-=_(2)_.

17.某地一天中6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)T=4s譏(3t+R)+b(其中］＜9＜兀)，6

時至14時期間的溫度變化曲線如圖所示，它是上述函數(shù)的半個周期的圖象，那么這一天6時至14

時溫差的最大值是℃；圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是.

th

四、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

18.已知函數(shù)/(x)=sin(開-GX)cosa)x+cos2cox＞0)的最小正周期為開.

(1)求0的值；

(2)將函數(shù)1y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)1y=g(x)的

2

穴

圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0—上的最小值.

_16_

19.已知函數(shù)/(%)=%3+(m—4)/—3mx+(n—6)(%eR)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(利九eR).

(1)求m,九的值；

(2)若函數(shù)FQ)=/(%)-(a%2+b)在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(%)=%+(

(1)求函數(shù)/Q)定義域;

(2)判斷并證明函數(shù)/(%)=%+［的奇偶性

(3)證明函數(shù)/(%)=%+(在％e［2,+8)上是增函數(shù).

21.設(shè)函數(shù)/(%)=loga(3+x)+loga(3-比)，(a>0,且a力1),『(1)=3.

(1)求a的值及/'(X)的定義城；

(2)判斷/Q)的奇偶性，并給出證明；

(3)求函數(shù)/(%)在［1,2］上的值域.

22.已知誦,紀(jì)盛;.函數(shù)“四磁=警--怎翁,-H-期？普&題;.K；,€：.<

(1)已知任意三次函數(shù)的圖像為中心對稱圖形，若本題中的函數(shù)..奠礴圖像以.翼幻喊:為對稱中心，求

實(shí)數(shù)堿和微的值

(2)若圈>1,求函數(shù),翼域:在閉區(qū)間『網(wǎng)看Mil上的最小值

參考答案及解析

1.答案：C

解析:

先由復(fù)數(shù)是是純虛數(shù)求得sine和cos。，再運(yùn)用同角關(guān)系式和兩角和差公式可得答案.

34

解：由于z=(cos6-彳)+(sin6-彳》是純虛數(shù),

34I.........-4

：.cos^=—,sin:.sin6=一《1-cos&---

555

c7T

tank-=tand-tan一

------------1■

\4)7T~'

1+tan^tan—

4

故選c.

2.答案：A

解析：解：由題意曲線y=4siri3x+a(4>0,3>0)的圖象關(guān)于直線y=a的對稱

又截直線y=2及y=-1所得的弦長相等

所以，兩條直線y=2及y=-1關(guān)于y=a對稱

a=——2-1=-1

22

又弦長相等且不為0

故振幅4大于等=|

故有a=&>|

故應(yīng)選A.

曲線y=Asinatx+a{A>0,a>>0)的性質(zhì)知，在一個周期上截直線y=2與y=-1所得的弦長相等

且不為0,可知兩條直線關(guān)于y=a對稱，由此對稱性可求出a,又截得的弦長不為0,故可得振幅大

琮

本題考點(diǎn)y=Asin^x+9)中參數(shù)的物理意義，考查三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)及其與相應(yīng)參數(shù)的關(guān)系,

考查對三角函數(shù)圖象的特征理解的能力.

3.答案：C

解析：

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是

解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論.

解：是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-8,0］上是減函數(shù)，

?1?/(X)在且在［0,+8)上是增函數(shù)，

b=/(log13)=/(log23)=/(log49)>/(log47)=a,

2

06

???log47>1,0<O.2<1,

06

log47>O.2,

則f(log47)>/(0.20-6),

即c<a<b,

故選C.

4.答案:C

解析：試題分析：由兇與兇可得兇，而回，選C

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

5.答案：A

解析：解：因?yàn)閙cosa—sina=V5sin(a+9)=y/Scoscpsina+y/Ssincpcosa?

所以尸=*°SQ所以癥+1=5,所以m=2,

\jn=\5sin(p

tancp=—m=—2.

故選A.

利用兩角和的正弦函數(shù)展開等式的右側(cè)，列出方程組，然后求出tern?即可.

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計算

能力.

6.答案：B

I:?,,

解析：試題分析：易知：新■斕，域:麻廁所以X>0時,圖象與y=臚在第一象限的圖象一樣,X<0

'ME

時，圖象與y=a久的圖象關(guān)于x軸對稱，故選2.

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；圖像的變化；分段函數(shù)。

點(diǎn)評：本題考查識圖問題，利用特值或轉(zhuǎn)化為比較熟悉的函數(shù)，利用圖象變換或利用函數(shù)的性質(zhì)是

識圖問題常用的方法.

7.答案：C

解析：解：函數(shù)所修；段…，LI

當(dāng)x<0時，f(x)=3-/(-%)=3-/__L/

作出f(x)的圖象，,

令/(無)=t,teR,JX

???/?)=。只有一個交點(diǎn)，

???當(dāng)C22時，對應(yīng)的％只有一個解；此時/?)24,即a24.

當(dāng)tV—1時，對應(yīng)的二只有一個解；此時f(t)VL即a<l,

綜上可得實(shí)數(shù)。的取值范圍(-8,1)U[4,+00).

故選：C.

根據(jù)函數(shù)7"(>)=12>汽、v一n，作出/(x)的圖象，令=求解t的范圍，根據(jù)/(t)=a只

有一個交點(diǎn)，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，難度適中.

8.答案：B

解析：

本題考查滿足正弦值的角的取值范圍的求法，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.利

用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)直接求解.

解：??,aG[0,2TT),sina>

-7TV_a<_—57r.

66

?,?設(shè)ae[0,271),則使sina>：成立的a的取值范圍是邑9).

N66

故選：B.

9.答案：D

解析：解：:y=2sm(；x-g)

ZO

?27T.

???由三角函數(shù)的周期性及其求法可得：T=—=4n,

2

故選：D.

根據(jù)已知直接利用正弦函數(shù)的周期公式即可求值.

本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識的考查.

10.答案：B

解析：解：直線丫=做％+1)(卜20)的圖象必過點(diǎn)(—1,0),又因?yàn)閗N0,函數(shù)是增函數(shù),

故選：B.

根據(jù)直線y=/c(x+l)(fc>0)的圖象必過點(diǎn)(-1,0)以及函數(shù)的單調(diào)性，即可選出答案.

本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：5

解析：解：由題意，xe(-00,0),F(x)=af(x)+bg(x)+2>-1,

?1?a/(x)+bg(x)>-3,

?1?a/(-x)+bg{—x)=-a/(x)-bg(x)=—[a/(x)+bgQx')]<3.

F(—x)=Gt/(—x)+bg(—x)+2=——bg(x)+2<5

函數(shù)F(x)在(0,+8)上的最大值是5,

故答案為：5

確定a/(x)+bg(x)2-3,利用奇函數(shù)的定義，即可求函數(shù)尸(x)在(0,+8)上的最大值.

本題考查奇函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

12.答案：1

解析：解：,."(2+x)=+(2—x),/(x)為偶函數(shù)

:?f(x+4)=f(—x)=f(x)

由此可知”乃為周期函數(shù)，周期為4,

則。20。8=/(2008)=f(4)=/(0)=2°=1.

故答案為：1

先根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)周期性將2008轉(zhuǎn)化到[-2,0]上的函數(shù)值進(jìn)行求解.

本題主要考了函數(shù)的周期性，以及函數(shù)的奇偶性和函數(shù)求值，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：[|,|]

解析：解：根據(jù)題意，若存在[-2,-1],使得/。)=0,即方程有4-1=a有解，

設(shè)g(x)=2X—3xe[-2,-1],則g(x)在區(qū)間[―2,—1]上為增函數(shù)，

且以-2)=|,g(—l)=|,

若方程有2，—：=a有解，即函數(shù)y=g(x)與直線y=a有交點(diǎn)，必有:WaW|,

即a的取值范圍為1,勺；

故答案為：色|].

根據(jù)題意，原問題可以轉(zhuǎn)化為方程有工—：=a有解，設(shè)g(x)=2X—3xe[-2,-l],進(jìn)而原問題

等價于函數(shù)y=g(%)與直線y=。有交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)y=g(%)的單調(diào)性分析可得答案.

本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系以及應(yīng)用，注意將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線相交的問題，屬于基礎(chǔ)

題.

14.答案：y=86(05)

R

8

解析：解：(1)如圖所示,

設(shè)圓N的半徑為a,根據(jù)題意列方程組得能：黑毛瑞=y

RsinO(l-sinO)其中。e(0,今；

解得y=—(l+sin0)2-

(2)令1+sin。=t(l<t<2),

則sin。=t—1,

所以函數(shù)。=R"?(2-t)=R(_1+|_金,

設(shè)x=p則xe

所以函數(shù)y=(-2%2+3%-1)R；

當(dāng)久=[,即t=q時，

函數(shù)y取得最大值為yma支=(―2X2+3X：—1)R=*

Xo4o

故答案為：⑴y=黑；制;T)，ee(o,5；(2)*

(1)設(shè)圓N的半徑為a,根據(jù)題意列出方程組，消去a求得圓S的半徑y(tǒng)與8的函數(shù)關(guān)系；

(2)利用換元法，把函數(shù)化為二次函數(shù)，再求最值.

本題考查了直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用問題，也考查了利用二次函數(shù)求最值的問題,

是中檔題.

15.答案：百1]

1

[于2]

解析：解：若函數(shù)f(x)是關(guān)于o和1的“倒函數(shù)”，

則X)=l，則f(x)￥0,

且f(1+無)?f(1一%)=1,

BP/(2+x)-/(-x)=1,

即/'(2+x)"(—￡)=1=〃￡)"(一乃,

則f(2+x)=f(x),

即函數(shù)/(x)是周期為2的周期函數(shù)，

若％G[0,1],則一]E[—1,0],2—xG[1,2],止匕時1<f(%)<2

???/(%)?/(-%)=1，

?,?仆)=看小，

???當(dāng)％e[1,2]時，/(%)e[|,1].

即一個周期內(nèi)當(dāng)％e[0,2]時，/(%)e[1,2].

1

.?.當(dāng)xe[-2016,2016]時,f(x)G[-,2].

故答案為：E，l],停,2].

根據(jù)“倒函數(shù)”的定義，建立兩個方程關(guān)系，根據(jù)方程關(guān)系判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性

和函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論.

本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)“倒函數(shù)”，的定義建立方程關(guān)系判斷函數(shù)的周期性是解決本

題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

16.答案：Y

V5

~5~

解析：解：,??cose=--<0,9=(71,271),

sind=—V1—cos20=—p

.6尸3兀、.08c

??—G.—),sin—Fcos—>0,

2k24722

.o,e1.e?m―F「Vs

???sin-+cos-=/(sin-+cos-)z=vl+sinB=-=—.

故答案為：-g,些.

55

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求s出0的值，結(jié)合范圍《6(》乎)，可得sin：+cosg>0,根據(jù)同角

三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計算得解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算

能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：20

7=10s譏生+亨)+20,te[6,14]

解析：

本題主要考查由函數(shù)y=Asin^x+g)+b的部分圖象確定其解析式的基本方法.

(1)由圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，易于求出這段時間的最大溫差；

(2)4、b可由圖象直接得出，3由周期求得，然后通過特殊點(diǎn)求0,則問題解決.

解：(1)由圖示，這段時間的最大溫差是30-10=20冤，

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)T=Asin(a)t+9)+匕的半個周期，

.空=14—6,解得a=p

Z&)o

■\"1

由圖示，A=j(30-10)=10,fa=j(10+30)=20,

這時，T=10sin(-t+^)+20,

8

將(6,10)代入上式，可得sinsX6+p)=-1,

其中3＜勿＜兀，可取0=：兀，

綜上，所求的解析式為T=10si7i《t+亨)+20,tE[6,14].

故答案為：20；T=10sm(^t+y)+20,t6[6J4].

18.答案：解：(1)??,/(%)=sin(7r—a)x)cosa)x+cos26)x,

l+cos2cox

f(x)=sinxcosx+

7

=—sin23x+—cos23x--

222

=—sin(23z-g)±

242

由于3>0,依題意得T=7T,

所以3=1;

(2)由(1)知f(x)=gsin(2x+^)+i,

g(x)=f(2x);正sin(4x+—)+—

242

時，生《4x+工《三，

16442

?二衛(wèi)《sin(4x+—)Cl?

24

1Cg(X)&I9

g(%)在此區(qū)間內(nèi)的最小值為1.

解析：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變形和三角函數(shù)圖象的變換.

(1)由誘導(dǎo)公式，倍角公式化簡函數(shù)解析式，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解;

(2)由函數(shù)y=Asin^x+0)的圖象變換規(guī)律可得函數(shù)g(x)解析式，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求

值.

19.答案：解：(1)?.?函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

???/(x)是奇函數(shù)，

???y(r)=

—x3+(m—4)x2+3mx+(n—6)=-［x3+(m—4)x2—3mx+(n—6)］=—x3—(m—4)x2+

3mx—(n—6),

二二得CT：二。。得m=4,-6,

則/(%)=x3—14%.

22

(2)F(x)=/(%)—(ax+b)=——ax—12x—b,

???F'(x)=3x2—2ax—12%,

又F⑺在［1,2］上是減函數(shù)，得｛眼：0二滑。得雷iU

即卜2—如解得a20,

la>0

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0,+8).

解析：(1)根據(jù)條件判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.

(2)求出函數(shù)F(x)的解析式，和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出小，九的值，以及利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

20.答案：解：(I)、?函數(shù)fO)=x+￡,

.??分母］。0,

???函數(shù)f(%)定義域?yàn)椋?|%。0,%ER｝.

(2)任取久ER,

則有/(f)=_%+?=_(%+》=一/(%),

???函數(shù)f0)=x+:是奇函數(shù).

(3)在［2,+8)上任取第1，%2,且;

44444

則/'(久2)-f。1)=。2+-)-(￡1+『)=。2-%1)+(『一『)=(%2-%1)(1--)=

“242X14I”2

(42一％1)(第1。2-4)

1

X1X2

??.24久1<%2，

???12—%1>0，%1%2—4>0,

中2)-/(修)>。，

fQJ

???f(x2>

???函數(shù)/(%)=無+；在xe[2,+8)上是增函數(shù).

解析：本題(1)直接根據(jù)分式有意義時分母不為0,求出X的取值范圍，得到本小題結(jié)論；(2)利用函

數(shù)奇偶性定義，可證明本小題結(jié)論；(3)利用函數(shù)單調(diào)性定義證明本小題結(jié)論.

本題考查了函數(shù)的定義域、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(1)由￡+可得一3<%<3,

故函數(shù)的定義域(-3,3),

2

因?yàn)閒(久)=loga(3+x)+loga(3-%)=loga(9-x),

由題意f(l)=loga8=3,

故a=