2019年河南省中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年河南省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。

1.（3分）（2019?河南）的絕對值是（）

2

A.」B.1C.2D.-2

22

【考點】15：絕對值.

【分析】根據(jù)一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進(jìn)行解答即可.

【解答】解：|-1|=1,

22

故選：B.

【點評】本題考查的是絕對值的性質(zhì)，掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕

對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?河南）成人每天維生素。的攝入量約為0.0000046克.數(shù)據(jù)“0.0000046”

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.46X10-7B.4.6X10-7C.4.6X10-6D.0.46X105

【考點】1J：科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】本題用科學(xué)記數(shù)法的知識即可解答.

【解答】解：0.0000046=4.6X106.

故選：C.

【點評】本題用科學(xué)記數(shù)法的知識點，關(guān)鍵是很小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時負(fù)指數(shù)與0

的個數(shù)的關(guān)系要掌握好.

3.（3分）（2019?河南）如圖，AB//CD,ZB=75°,ZE=27°,則/。的度數(shù)為（）

A.45°B.48°C.50°D.58°

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

AE

【解答】1￥：'JAB//CD,BA

.\ZB=Z1,

VZ1=ZD+ZE,

:./D=/B-/E=75°-27°=48°,

故選：B.

【點評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

4.（3分）（2019?河南）下列計算正確的是（）

A.2。+3。=6。B.（-3。）=6〃

C.（x-y）2=/一y2D.372-^2=272

【考點】35：合并同類項；47：幕的乘方與積的乘方；4C：完全平方公式；78：二次根

式的加減法.

【專題】512：整式.

【分析】根據(jù)合并同類項法則，完全平方公式，幕的乘方與積的乘方的運算法則進(jìn)行運

算即可；

【解答】解：2a+3a=5a,A錯誤；

（-3a）2=9/,B錯誤；

（x-y）1—x-2xy+/，C錯誤；

圾~\^=26，。正確；

故選：D.

【點評】本題考查整式的運算；熟練掌握合并同類項法則，完全平方公式，塞的乘方與

積的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2019?河南）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體

平移后得到圖②.關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（）

/正面

圖①圖②

A.主視圖相同B.左視圖相同

C.俯視圖相同D.三種視圖都不相同

【考點】Q2：平移的性質(zhì)；U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)三視圖解答即可.

俯視圖

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體,解題的關(guān)鍵是學(xué)生的觀察能力和對幾何體三

種視圖的空間想象能力.

6.（3分）（2019?河南）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【考點】AA：根的判別式.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】先化成一般式后，在求根的判別式.

【解答】解：原方程可化為：/_2x-4=0,

二〃=1,b--2,c=-4,

；.△=(-2)2-4X1X(-4)=20>0,

?,?方程由兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

【點評】本題運用了根的判別式的知識點，把方程轉(zhuǎn)化為一般式是解決問題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?河南）某超市銷售A,B,C,。四種礦泉水，它們的單價依次是5元、3

元、2元、1元.某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（）

A.L95元B.2.15C.225元D.2.75JE

【考點】VB：扇形統(tǒng)計圖；W2：加權(quán)平均數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算可得.

【解答】解：這天銷售的礦泉水的平均單價是5X10%+3X15%+2X55%+1X20%=2.25

（元），

故選：C.

【點評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.

8.（3分）（2019?河南）已知拋物線-x+bx+4經(jīng)過（-2,n）和（4,n）兩點，則n

的值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

【考點】H5：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】根據(jù)（-2,”）和（4,〃）可以確定函數(shù)的對稱軸x=l,再由對稱軸的x=k即

2

可求解；

【解答】解：拋物線y=-，+a+4經(jīng)過（-2,ri'）和（4,w）兩點，

可知函數(shù)的對稱軸x=1,

.也=1,

2

：.b=2；

2

?'?y=-x+2x+4,

將點（-2,71）代入函數(shù)解析式，可得”=-4；

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的對稱性是解

題的關(guān)鍵.

9.（3分）（2019?河南）如圖，在四邊形ABCZ）中，AD//BC,/。=90°,AO=4,BC=3.分

別以點A,C為圓心，大于L1C長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線8E交于點凡

2

交AC于點。.若點。是AC的中點，則的長為（）

A.2版B.4C.3D.V10

【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理；N2：作圖一基本作圖.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】連接尸C,根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出AF

=FC.再根據(jù)ASA證明△FQ4絲△BOC,那么AF=2C=3,等量代換得到FC=AP=3,

利用線段的和差關(guān)系求出FD=AD-AF=1.然后在直角△FOC中利用勾股定理求出CD

的長.

【解答】解：如圖，連接FC,則Ab=PC.

VAD//BC,

：.ZFAO=ZBCO.

在△尸。4與△80C中，

fZFA0=ZBC0

<0A=0C，

,/A0F=NC0B

/.△FOA^ABOC（ASA）,

，AF=2C=3,

：.FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.

在△F￡）C中，VZD=90°,

:.CD1+DF2=FC2,

.\CD2+12=32,

:.CD=2?

故選：A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，難度適中.求出CP與。尸是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2019?河南）如圖，在△048中，頂點。（0,0）,A（-3,4）,B（3,4）,

將△OA8與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,則第70次旋

轉(zhuǎn)結(jié)束時，點。的坐標(biāo)為（）

C.(10,-3)D.(3,-10)

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標(biāo)；R7：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】先求出A8=6,再利用正方形的性質(zhì)確定。（-3,10）,由于70=4X17+2,

所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)

2次，每次旋轉(zhuǎn)90°,此時旋轉(zhuǎn)前后的點。關(guān)于原點對稱，于是利用關(guān)于原點對稱的點

的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點D的坐標(biāo).

【解答】解：VA（-3,4）,B（3,4）,

???A3=3+3=6,

???四邊形A5CD為正方形，

.\AD=AB=6,

：.D（-3,10）,

770=4X17+2,

???每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△0A8與正方形ABCD組成的圖形繞

點。順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°,

.?.點。的坐標(biāo)為（3,-10）.

故選：D.

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖

形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo).常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.

二、填空題（每小題3分，共15分。）

11.（3分）（2019?河南）計算：V4-2-1=.

一2一

【考點】2C：實數(shù)的運算；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)暴.

【分析】本題涉及二次根式化簡、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕兩個考點.針對每個考點分別進(jìn)行計算,

然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果.

【解答】解：V4-21

=2-—

2

2

故答案為：1L.

2

【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題

目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、二次根式等考點的運算.

^<-1

12.（3分）（2019?河南）不等式組2?的解集是xW-2.

\.-x+7>4

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式三W-1,得：xW-2,

2

解不等式-x+7>4,得：尤<3,

則不等式組的解集為尤W-2,

故答案為：xW-2.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

13.（3分）（2019?河南）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝

有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同.從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸

出的兩個球顏色相同的概率是A.

—3―

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式

計算可得.

【解答】解：列表如下：

黃紅紅

紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）

紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）

白（黃，白）（紅，白）（紅，白）

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結(jié)果,

所以摸出的兩個球顏色相同的概率為必，

9

故答案為：—.

9

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖的知識，解題的關(guān)鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所

有等可能的結(jié)果列舉出來，難度不大.

14.（3分）（2019?河南）如圖，在扇形A08中，ZAOB=120°,半徑OC交弦AB于點D,

MOCXOA.若。4=2近，則陰影部分的面積為在+TT.

D

B

O

【考點】MO：扇形面積的計算.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算.

【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△AO。的

面積與扇形02C的面積之和再減去△2。。的面積，本題得以解決.

【解答】解：作于點F,

:在扇形A02中，120°,半徑OC交弦A8于點。，>OC±OA.。4=2?,

/.ZAOD=90°,ZBOC=90°,OA=OB,

AZOAB=ZOBA=30°,

.,.O￡）=QVtan30°=2愿X江=2,A￡>=4,AB=2AF=2義2aX?=6,0F=M，

32

：.BD=2,

2

.陽此期公的面和日V+cc-2^3X2,3QXn(2V3)2*我

??陰修司S勿的回枳TH:3/V10O+3扇形OBC~o/^BDO-----------------+-----------------------------------------------

23602

=V^+Tt,

故答案為：

【點評】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

15.（3分）（2019?河南）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,BC=a,點E在邊BC上，且

BE=，.連接AE,將△ABE沿AE折疊，若點8的對應(yīng)點2,落在矩形A8C。的邊上,

5

則a的值為5或返.

―3一3一

D

B'

BEC

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】分兩種情況：①點夕落在邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得即

可求出。的值；②點8'落在邊上，證明sXb'CE,根據(jù)相似三角形對

應(yīng)邊成比例即可求出。的值.

【解答】解：分兩種情況：

①當(dāng)點夕落在邊上時，如圖1.

:四邊形是矩形，

：.ZBAD=ZB=90°,

:將△ABE沿AE折疊，點2的對應(yīng)點正落在AD邊上，

；.NBAE=NB'AE=L/3AD=45。，

2

：.AB=BE,

②當(dāng)點8,落在CO邊上時，如圖2.

?.?四邊形ABC。是矩形，

AZBAD=ZB=ZC=ZZ)=90°,AD=BC=a.

:將AABE沿AE折疊，點8的對應(yīng)點3'落在C。邊上，

：.ZB=ZAB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=，,

5

?**DB'=JB'A2—AD2=4]**3,2，EC—BC~BE—a~?

55

在△AO夕與△夕CE中，

[NB'AD=NEB'C=900-ZAB7

[ZD=ZC=90°

/.AADB's^B'CE,

Vl-a2_1

,號告即

"-2一歹

鏟鏟

解得ai=Y￡，＜72=0（舍去）.

3一

綜上，所求。的值為反或返.

33

故答案為反或YE.

33

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理,

相似三角形的判定與性質(zhì).進(jìn)行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

16.（8分）（2019?河南）先化簡，再求值：（史L-i）jF,其中

x-2x~4x+4

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】513：分式.

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得.

【解答】解：原式=（再-三2）廠,-2）

2

x-2x-2（x-2）

3.x-2

x-2x

3

當(dāng)x=?時，原式=3=43

V3

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和

運算法則.

17.（9分）（2019?河南）如圖，在△ABC中，BA=BC,ZABC^90°,以A3為直徑的半

圓。交AC于點。，點￡是加上不與點8,。重合的任意一點，連接AE交8。于點R

連接BE并延長交AC于點G.

（1）求證：AADF^ABDG；

（2）填空：

①若48=4,且點E是命的中點，則。F的長為4-2亞；

②取會的中點"當(dāng)NEA8的度數(shù)為30°時,四邊形02EH為菱形.

【考點】MR：圓的綜合題.

【專題】11：計算題；14：證明題；152：幾何綜合題.

【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得,再應(yīng)用同角

的余角相等可得易得AD=BD,/絲△80G得證；

（2）作FHLAB,應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得/BAE=/D4E,再應(yīng)用角平分線性質(zhì)

可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得8E=QB,結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得N￡AB=30°.

【解答】解：（1）證明：如圖1,：54=夙7,ZABC=90°,

；.NBAC=45°

,：AB是O。的直徑，

ZADB=ZAEB=90°,

：.ZDAF+ZBGD=ZDBG+ZBGD=90°

:./DAF=NDBG

??ZABD+ZBAC=90°

???ZABD=ZBAC=45°

：.AD=BD

:?AADF咨ABDG(ASA)；

(2)①如圖2,過尸作打于H,,?,點E是前的中點，

：.ZBAE=ZDAE

*：FD±ADfFH±AB

：.FH=FD

=sinZABD=sin45°=返，

BF2

...FD二后,即BF=MFD

BF2

,.,A3=4,

4cos45°=242,BPBF+FD=2y/2^(V2+DFD=242

:.FD==4-2A/2

V2+1

故答案為4-2^.

②連接0E,EH,：點H是窟的中點，

0HLAE,

:ZAEB=90°

：.BE±AE

J.BE//OH

?.?四邊形為菱形，

BE=OH=OB=—AB

2

.人苗/胡3=巫=!

AB2

：.ZEAB=30°.

故答案為：30°

圖3

圖1

【點評】本題主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，

解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等，關(guān)鍵在靈活應(yīng)用性質(zhì)定理.

18.（9分）（2019?河南）某校為了解七、八年級學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況，

從七、八年級各隨機抽取50名學(xué)生進(jìn)行測試，并對成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分

析.部分信息如下：

七年級成績頻數(shù)分布直方圖:

b.七年級成績在70Wx<80這一組的是：

7072747576767777777879

c.七、八年級成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

年級平均數(shù)中位數(shù)

七76.9m

八79.279.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有23人;

（2）表中機的值為77.5；

（3）在這次測試中，七年級學(xué)生甲與八年級學(xué)生乙的成績都是78分，請判斷兩位學(xué)生

在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由；

（4）該校七年級學(xué)生有400人，假設(shè)全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數(shù)

76.9分的人數(shù).

【考點】V5：用樣本估計總體；V8：頻數(shù)（率）分布直方圖；W2：加權(quán)平均數(shù)；W4：

中位數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)條形圖及成績在70W尤<80這一組的數(shù)據(jù)可得；

（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；

（3）將各自成績與該年級的中位數(shù)比較可得答案；

（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)所占比例可得.

【解答】解：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有15+8=23人，

故答案為:23；

（2）七年級50人成績的中位數(shù)是第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第25、26個數(shù)據(jù)分別

為78、79,

."2=77+78=77.5,

2

故答案為：77.5；

（3）甲學(xué)生在該年級的排名更靠前，

???七年級學(xué)生甲的成績大于中位數(shù)78分，其名次在該年級抽查的學(xué)生數(shù)的25名之前，

八年級學(xué)生乙的成績小于中位數(shù)79.5分，其名次在該年級抽查的學(xué)生數(shù)的25名之后，

甲學(xué)生在該年級的排名更靠前.

（4）估計七年級成績超過平均數(shù)76.9分的人數(shù)為400X^12=224（人）.

50

【點評】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)及樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直

方圖得出解題所需數(shù)據(jù)及中位數(shù)的定義和意義、樣本估計總體思想的運用.

19.（9分）（2019?河南）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的

高度.如圖所示，炎帝塑像。E在高55,〃的小山EC上，在A處測得塑像底部￡的仰角

為34°,再沿AC方向前進(jìn)21機到達(dá)3處，測得塑像頂部。的仰角為60°,求炎帝塑

像。E的高度.

（精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin34°—0.56,cos34°=0.83,tan34°-0.67,存《1.73）

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】由三角函數(shù)求出AC=―空「弋82.1相，得出8C=AC-A2=6Ll〃z,在RtA

tan%

BCD中，由三角函數(shù)得出。="①。仁105.7〃2,即可得出答案.

【解答】解：VZACE=90°,NCAE=34°,CE=55m,

：.tanZCAE^—,

AC

；.AC=-典——=.55.=82.1"Z,

tan%0.67

'：AB=2lm,

：.BC^AC-

在中，tan60°=業(yè)=，/5，

BC

C￡)=L73X61.1心105.7〃z,

：.DE=CD-EC=105.7-55^51/77,

答：炎帝塑像。E的高度約為51〃z.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角

三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中.

20.(9分)(2019?河南)學(xué)校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品.已知購買3個A

獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元.

(1)求A,B兩種獎品的單價；

(2)學(xué)校準(zhǔn)備購買A,B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的工.請

3

設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由.

【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】52：方程與不等式；533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)設(shè)A的單價為無元，8的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組(3x+2尸120,

[5x+4y=210

即可求解；

(2)設(shè)購買A獎品z個，則購買8獎品為(30-z)個，購買獎品的花費為W元，根據(jù)

題意得到由題意可知，(30-z),W=30z+15(30-z)=450+15z,根據(jù)一次函數(shù)

3

的性質(zhì)，即可求解；

【解答】解：(1)設(shè)A的單價為x元，8的單價為y元，

根據(jù)題意，得

f3x+2y=120

l5x+4y=210，

.?卜3。，

ly=15

.?.A的單價30元，8的單價15元；

(2)設(shè)購買A獎品z個，則購買8獎品為(30-z)個，購買獎品的花費為W元，

由題意可知，z'L(30-z),

3

.?.z2里

2

W=30z+15(30-z)=450+15z,

當(dāng)z=8時，W有最小值為570元，

即購買A獎品8個，購買8獎品22個，花費最少；

【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；能夠根據(jù)條件列出方程組,

將最優(yōu)方案轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵.

21.(10分)(2019?河南)模具廠計劃生產(chǎn)面積為4,周長為根的矩形模具.對于根的取值

范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，

過程如下：

(1)建立函數(shù)模型

設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為無，y,由矩形的面積為4,得町=4,即＞=4；由周長為利,

X

得2(x+y)=m,即y=-x+^.滿足要求的(x,y)應(yīng)是兩個函數(shù)圖象在第一象限

內(nèi)交點的坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖象

函數(shù)y=2(x＞0)的圖象如圖所示,而函數(shù)y=-x+2的圖象可由直線y=-x平移得到.請

x2

在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出直線y=-x.

(3)平移直線〉=-心觀察函數(shù)圖象

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y=&(無＞0)的圖象有唯一交點(2,2)時，周長”的值為8；

X

②在直線平移過程中，交點個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點個數(shù)及對應(yīng)的周長根的取值

范圍.

(4)得出結(jié)論

若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長根的取值范圍為優(yōu)28.

【考點】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；523：一元二次方程及應(yīng)用；68：模型思想.

【分析】（1）x,y都是邊長，因此，都是正數(shù)，即可求解；

（2）直接畫出圖象即可；

（3）①把點（2,2）代入y=-■即可求解；②在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0

個、1個、2個三種情況，聯(lián)立y=?和y=-X+&■并整理得：，一工加計4=0,即可求解;

x22

（4）由（3）可得.

【解答】解：（1）x,y都是邊長，因此，都是正數(shù)，

故點（x,y）在第一象限，

答案為：一；

（2）圖象如下所示：

-y

IA

y=（X>c)

X

0￡

4

3\

s

1-5-1>c

-1

-3

y=-x

（3）①把點（2,2）代入尸-x+學(xué)得：

2=-2+—,解得：〃i=8,

2

即：。個交點時，機<8；1個交點時，機=8；2個交點時，m>8；

②在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，

聯(lián)立y=2和y--x+即■并整理得：x-—?u+4=0,

x22

△=L，〃2-4X4、O時，兩個函數(shù)有交點，

4

解得：機28；

（4）由（3）得：相28.

【點評】本題為反比例函數(shù)綜合運用題，涉及到一次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)平移等

知識點，此類探究題，通常按照題設(shè)條件逐次求解，一般難度不大.

22.（10分）（2019?河南）在△ABC中，CA=CB,ZACB=a.點P是平面內(nèi)不與點A,C

重合的任意一點.連接AP,將線段A尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段。P,連接A。，BD,

CP.

（1）觀察猜想

如圖1,當(dāng)a=60。時，毀的值是1,直線與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)

CP

是60°.

（2）類比探究

如圖2,當(dāng)a=90°時，請寫出段的值及直線8D與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并

CP

就圖2的情形說明理由.

（3）解決問題

當(dāng)a=90°時，若點E,尸分別是C4,的中點，點尸在直線所上，請直接寫出點C,

P,。在同一直線上時段的值.

CP

【考點】so：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）如圖1中，延長CP交8。的延長線于E,設(shè)交EC于點0.證明

沿ABAD（SAS）,即可解決問題.

（2）如圖2中，設(shè)BZ）交AC于點。，BD交PC于點E.證明即可解

決問題.

（3）分兩種情形：①如圖3-1中，當(dāng)點。在線段PC上時，延長交BC的延長線

于H.證明4D=Z）C即可解決問題.

②如圖3-2中，當(dāng)點P在線段C。上時，同法可證：ZM=OC解決問題.

【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交8。的延長線于E,設(shè)AB交EC于點0.

圖1

,：ZPAD=ZCAB=6Q°,

：.ZCAP=ZBAD,

'：CA=BA,PA=DA,

：./\CAP^/\BAD(SAS),

：.PC=BD,ZACP=ZABD,

,：/AOC=ZBOE,

：.ZBEO=ZCAO=60°,

曲=1,線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60。，

PC

故答案為1,60°.

(2)如圖2中，設(shè)BZ)交AC于點。，BD交PC于點E.

圖2

,：ZPAD=ZCAB=45°,

：.ZPAC=ZDAB,

?.?膽=世=正，

ACAP

:.NPCA=/DBA,毀=膽=&,

PCAC

:/EOC=NAOB,

：.ZCEO=ZOABB=45°,

直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°.

(3)如圖3-1中，當(dāng)點。在線段PC上時，延長交BC的延長線于

H

：CE=EA,CF=FB,

：.EF//AB,

：.ZEFC^ZABC=45°,

VZB4O=45°,

：.ZFAO=ZOFH9

9

：ZPOA=ZFOHf

：.ZH=NAPO,

VZAPC=90°,EA=EC,

:?PE=EA=EC,

：./EM=NEAP=/BAH,

：./H=/BAH,

；?BH=BA,

VZADP=ZBDC=45°,

AZADB=90°,

；.BDLAH,

：.ZDBA=ZDBC=22.5°,

VZADB=ZACB=90°,

???A,D,C,B四點共圓，

ZDAC=ZDBC=22.5°,ZDCA=ZABD=22.5°,

AZDAC=ZDCA=22.5°,

：.DA^DC,設(shè)A￡)=。，則。C=A￡)=a,尸。=返a,

如圖3-2中，當(dāng)點P在線段。上時，同法可證：DA=DC,設(shè)CD=AD

a,PD=-f-=-a,

2

E

圖3-2

2

.AD

,*PC

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角

形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中

考壓軸題.

23.（11分）（2019?河南）如圖，拋物線y=a，+*x+c交x軸于4,8兩點，交y軸于點C.直

線y=--2經(jīng)過點A,C.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點，過點尸作x軸的垂線，交直線AC于點設(shè)點尸的橫坐

標(biāo)為m.

①當(dāng)是直角三角形時，求點尸的坐標(biāo)；

②作點2關(guān)于點C的對稱點8,則平面內(nèi)存在直線/，使點M,B,B/到該直線的距離

都相等.當(dāng)點P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線/：y^kx+b

的解析式.（％,b可用含小的式子表示）

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】537：函數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A,C的坐標(biāo)，根據(jù)點A,C的

坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)解析式；

(2)①由PMLc軸可得出NPMCW90。，分NMPC=90°及NPCM=90°兩種情況考

慮：(力當(dāng)NMPC=90°時，PC//X軸，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點P

的坐標(biāo)；(n)當(dāng)/PCM=90°時，設(shè)PC與x軸交于點。，易證△AOCs/Xc。。，利用

相似三角形的性質(zhì)可求出點。的坐標(biāo)，根據(jù)點C,。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直

線PC的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的

坐標(biāo).綜上，此問得解；

②利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點3,M的

坐標(biāo)，結(jié)合點C的坐標(biāo)可得出點2,的坐標(biāo)，根據(jù)點B,B'的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)

法可分別求出直線B'M和22’的解析式，利用平行線的性質(zhì)可求出直線/的解析

式.

【解答】解：(1)當(dāng)x—0時，y=--x-2--2,

2

...點C的坐標(biāo)為(0,-2)；

當(dāng)y=0時，-■^?尤-2=0,

解得：尤=-4,

...點A的坐標(biāo)為(-4,0).

將A(-4,0),C(0,-2)代入y=62+上+c,得：

[E+CR,解得：上力，

-2|c=-2

,拋物線的解析式為y=L^+Lx-2.

(2)①：PM_L尤軸，

：.ZPMC^9Q°,

分兩種情況考慮，如圖1所示.

⑴當(dāng)/MPC=90°時，PC〃x軸，

，點尸的縱坐標(biāo)為-2.

當(dāng)y=-2時，—x2+—x-2=-2,

42

解得：x\=2,萬2=0,

點尸的坐標(biāo)為(-2,-2)；

(拓)當(dāng)/PCM=90°時，設(shè)PC與x軸交于點。.

,：ZOAC+ZOCA=90°,ZOCA+ZOCD=90°,

：.ZOAC^ZOCD.

又：/AOC=/COO=90°,

/\AOC^/\COD,

?OD_OC即OD=2

,■QC-OA，T~T

...點。的坐標(biāo)為（1,0）.

設(shè)直線PC的解析式為y=fcc+6（ZW0）,

將C(0,-2),D(1,0)代入y=fcv+6,得:

b=~2,解得:fk=2

k+b=Olb=-2

直線PC的解析式為y=2x-2.

y=2x~2

聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：尸卜2卷x-2

X1=0*2=6

解得：?,

丫1=-2'[y2=10

點P的坐標(biāo)為（6,10）.

綜上所述：當(dāng)△PCM是直角三角形時，點P的坐標(biāo)為（-2,-2）或（6,10）.

②當(dāng)y=0時，—x2+—x-2=0,

42

解得：XI=-4,無2=2,

...點B的坐標(biāo)為（2,0）.

:點C的坐標(biāo)為（0,-2）,點8,B'關(guān)于點C對稱,

點距的坐標(biāo)為（-2,-4）.

:點P的橫坐標(biāo)為m（機＞0且機W0）,

...點Af的坐標(biāo)為（相，-—m-2）.

2

利用待定系數(shù)法可求出：直線的解析式為y=-工匠x+過魚，直線4M的解析式

2m-4m-2

為y=N±lx-包吐魚，直線32'的解析式為y=_r-2.

21rH_4irH-2

分三種情況考慮，如圖2所示：

當(dāng)直線/〃8M且過點C時，直線/的解析式為y=-。也X-2；

21rl-4

當(dāng)直線/〃8'M且過點C時，直線/的解析式為y=*￡x-2；

-2nH-4

當(dāng)直線/〃88,且過線段CM的中點N（聶，-》-2）時，直線/的解析式為尸x-

2.

=jir+4J-2或y=x--m-2.

2nH-44

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、二次

函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以

及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解

析式；（2）①分/MPC=90°及NPCM=90。兩種情況求出點尸的坐標(biāo)；②利用待定系

數(shù)法及平行線的性質(zhì)，求出直線/的解析式.

考點卡片

1.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當(dāng)。是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a；

②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-。；

③當(dāng)。是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù)

用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為。義10一"，其中1(同<10,w為由原數(shù)左邊起第

一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律

x的取值范圍表示方法a的取值n的取值

仇|210aX10，!lW|a|整數(shù)的位數(shù)-1

W<1aXl(r”<10第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)(含小數(shù)點前的0)

3.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進(jìn)行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數(shù)(特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度.

4.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達(dá)到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

5.暴的乘方與積的乘方

（1）塞的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（屋）（如〃是正整數(shù)）

注意：①嘉的乘方的底數(shù)指的是幕的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是塞的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)哥的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的早相乘.

Cab）是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

6.完全平方公式

C1）完全平方公式：（a±b）2=a'±2ab+b1.

可巧記為：''首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2