高數(shù)微分方程考試復(fù)習(xí)資料（計算題）

計算題(150)

1)一階線性微分方程

1、求方程電—/ly=0(4為常數(shù))的通解

dx

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析因?yàn)?為常數(shù)，故方程為一階齊次線性微分方程.

解將方程分離變量，得

-=A,dx

y

積分得到

\ny=A,x+\nC

即y=Ce",其中。為任意常數(shù)。

2、求方程包-2孫=0的通解

dx

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階齊次變系數(shù)線性微分方程.

解將方程分離變量，得

—=2xdx

y

積分得到

Iny=x2+InC

即丁=小,，其中。為任意常數(shù)。

3、求方程包-2肛=e『cosx的通解

dx

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非齊次線性微分方程.

解先求對應(yīng)的齊次方程電-2肛=0,得通解為〉=0’，變動常數(shù)C為x的待

dx

定函數(shù)，設(shè)

y*=C(x)J

代入原方程，有

Cf(x)=cosx

積分得C(x)=|cosxdx=sinx+c

代回:/得y=J(sinx+c),其中c為任意常數(shù)。

4、求方程電+2肛=4x滿足y(0)=2的特解

dx

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析這是一階非齊次線性微分方程的初值問題.

解先求對應(yīng)方程的通解，由公式

丫=「b"'()4刀』~""公+。)=ex(^AxexdxJfc')-e~x(2eA'+c)

即有y=2+ce-*,再代入初始條件解得c=l,故特解為y=2+e*

，1

_xy-----y=x

5、解方程J'x+1

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析這是一階非齊次線性微分方程的初值問題.

解由通解公式得

rdx_r(lx

y=J訴巾/巾公+c)=±(x+[nx+C)

Jx+l

代入初始條件可求得C=1,故原初值問題的解為y(x)=(1n(x)+x+l)x

x+\

6、求方程y=e"+「y?)力的解。

J0

難度等級：1:知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析這是積分方程,兩端求導(dǎo)可化為一階非齊次線性微分方程，但要注意滿足初值y(0)=1.

解在方程的兩端對x求導(dǎo)，得

即y'-y^e'

在方程中取x=0,得y(0)=1,于是得到一階線性微分方程初值問題

y_y=/

」(。)=1

按一階線性方程求定解的公式，得y(x)=(x+l)e1

7、求微分方程◎+y4幽=Q(x)幽包(其中叭x)為已知函數(shù))的通解。

dxdxdx

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析因?yàn)?(幻是已知函數(shù)，故方程為一階非齊次線性微分方程.

解由通解公式可得

y=(J0(xW(x)尸公+C)

ew"）（J。（x）z"%e（x）+c）

6**）（9（?6奴"）_6奴外+0

即y-°(九)一［+Ce~^x)

8、求初值問題xsina/e+(x3-21cose+cos9)"c=0的解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析原方程不是線性方程，需作變換將其化為線性方程.

解將原方程改寫為

xsin9d0+cos6dx

+2cos0dx=xdx

x2

人cos?e,xsinOdO+cosOdx

令y=----，則dy=-于是方程化為

xx2

這是一階線性非齊次方程，由通解公式

12

故cos6=—%+Cre7.

2

9、求微分方程（x+1）電-〃y=e*（x+l）"+i的通解。

dx

難度等級：1；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析這是一階非齊次線性微分方程.

解這是一階線性方程，由通解公式

[―A（＞

y=esx+i（Je*（x+1）"e」t+,dx+Q=（ex+C）（x+l）n

故原方程的通解為y(x)=(C,+e')(x+l)M

10、求微分方程x電一y+3/y—%2=0的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程雖是線性方程，但直接代通解公式計算較繁，可作變量變換簡化.

解將原方程兩端同除以一得

\dyy..

一子--+3孫=1

xdxx~

進(jìn)一步有：且（2）+3/（2）=1

dxxx

令u=2,于是方程化為

X

—+3X2V=1

dx

這是一階線性非齊次方程，則通解公式

v=e~''(Je'dx+C)

故y=xe~x'(J<?''dx+C).

11、求方程siny包=(1一xcosy)cosy的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析原方程不是線性方程，需作變換將其化為線性方程.

解將原方程兩端同乘以一—得

cosy

sinydy1

x

cos-ya，xcosy=~

人1e小siny由'十口

令口=-----，則,=—二?一，于是

cosydxcosydx

dv

---v=-x

dx

這是一階線性非齊次方程，則通解公式

故-----=Cex+元+1.

cosy

12、求方程電+1=4小氣缶》的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析原方程不是線性方程，需作變換將其化為線性方程.

解將原方程變形為

ey—+ey=4sinx

dx

令v=則方程化為

dv..

—+v=4sinx

dx

這是一階線性非齊次方程，則通解公式

故ey='(2靖(sinx-cosx)+C).

13、求微分方程方程立一芻>=*6，(>2°，工/°)的通解。

dxx

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析原方程不是線性方程，需作變換將其化為線性方程.

解將方程兩端同除以6得

了4_

邛導(dǎo)rx

令u=代入上式，得

dv21

----v=—x

dxx2

、1

這是一階線性非齊次方程，通解為v=x2(-ln|x|+C)

2

,1,

故有y=x4(§]n|x|+C)2,此外，方程還有特解y=0.

14、求微分方程電-丁=孫5的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為貝努利方程，可作變換化為線性方程.

解將方程改寫為

令口=尸，則型=-4yf◎，代入上式，得

dxdx

1dv

-----v=X

4dx

這是一階線性非齊次方程，由通解公式

V=1"(J(―4x)g4x公4-0=(一W3+；e4x+C)

故有一^=Ce"4"-x+:，此外，方程還有特解y=0.

y4

15、求微分方程X包+丁=92]11%的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為貝努利方程，可作變換化為線性方程.

解將方程改寫為

y~2—+—y''=lnx

'dxx'

令丫=/\則包=一廠2包，代入上式，得

dxdx

這是一階線性非齊次方程，由通解公式

J(j(-lnx)eJ'iZx+C)=x(-g(lnx)2+C)

故有工=x(。一」(lnx)2),此外，方程還有特解y=0.

y2

16、求方程包=-~1-----的通解。

axxsiny-Ay

難度等級：3；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性方程，需先變形為貝努利方程，再化為線性微分方程求解.

解把方程改寫成

dx,.

—=-yx+xsiny

dy

這是〃=2的伯努利方程。

今2=三、代入上式，化簡得線性方程

dz.

—=yz-siny

dy

兩邊同乘J1■并整理得

e2(----yz)=-e2siny,

dy

得

(ze2y,=-e2siny

兩邊積分得通解

y2y2y2

z=-e2\e2sinydy+Ce2

原方程的通解為x=e~^(C-jersinydy)-1

17、求微分方程??的通解。

dxx+y

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性方程，需變形為一階線性方程求解.

解方程改寫為

dyy

這是關(guān)于x=x(y)的一階線性非齊次方程，故通解為

1,

x^eiy(jy2eSydy+C)-y(-y2+c)

即x=、+Cy.

18、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)0(x)滿足°(x)cosx+2,9⑺sin3=x+1,求0(x).

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程兩端求導(dǎo)可化為一階線性微分方程，但要注意初值條件到0)=1.

解在方程的兩端對x求導(dǎo)，得

夕'(無)cosx+夕(x)sinx=1,

即(p+tanx(p=secx

在方程中取x=0,得以0)=1,于是得到一階線性微分方程初值問題

f

(P+tanx°=secx

g(0)=1

按一階線性方程求定解的公式，得(p{x}=sin%+cosx.

19、求微分方程孫'-y=尸滿足初始條件)>|日=1的解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為〃=2的貝努利方程的初值問題.

解這是〃=2的貝努利方程，在原式兩邊同除以孫2得

1dy1_1

y2dxxyx

人1dz1dy-、，

令z=一、則二=一一，方程化為

ydxydx

dz11

---1—z=—

dxxx

12—x

這是一階線性方程，且有X=l,z=—=1,其解為z=二三

yx

Y

故原方程的解為y(x)=———o

x-2

20、求方程丁-x=2肛/的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性微分方程，需作變換將其化為一階線性微分方程.

解令丁=〃，則2y@=包，代入方程得

dxdx

du

U—X—x—

dx

這是一階線性方程，由通解公式可得〃-(C—lnx)x=(,故原方程的通解為

y(x)2-(C-ln(x))x=()

xX

21、求方程y'=--^-―滿足初始條件yli)=1的特解。

2(x-1)2y

難度等級：3；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性微分方程的初值問題，需作變換化為線性微分方程.

解將方程兩邊同乘以2y得

2也=2xy2T

dxx2-1

令丁=〃，則2丁包=包，代入方程得

dxdx

dux

--=""z---U-X

dxx2-1

這是一階線性方程，且有〃(0)=/(0)=1,由通解公式可得“=1—故原方程的通

解為y(x)=A/1-X2

x(\+x2)dy=(y+x2y+i)dx

22、求初值問題《乃的解。

沖日4

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性微分方程的初值問題，需作變形化為線性微分方程.

解將方程改寫為

dy=y+f)，+i=y(l+-2)+i=2+]

dxX(l+X2)X(l+》2)Xx(l+x2)

這是一階線性方程，易得其解為y(x)=(-arctan(x)----^+―^+l)x

x44

23、求微分方程(Vcosx-y)力;+My=O的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性微分方程的初值問題，需作變換化為線性微分方程.

解將方程改寫為

dyy

—=--xcosx

dxx

這是一階線性方程，其通解為y(x)=—xsin(x)+Cr

24、求微分方程*-2孫-*6+產(chǎn)公=o的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：一階線性微分方程.

分析方程為一階非線性微分方程的初值問題，需作變換化為線性微分方程.

解將方程改寫為

這是關(guān)于x=x(y)的一階線性方程，其通解為一C/e.v=。

2)齊次微分方程

y

25、求微分方程(xe，+y)dx-的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析方程為一階齊次微分方程.

解方程兩端同除以x,得

-V

(ex+-)dx-dy=0

x

令、="：,則辦=wir+xdu,代入上式，得

z/r

evdx—xdv=0即----e~vdv=0

x

積分之，得lnx+e~=C,故原方程的通解為

y

lnx+ex=C

26、求微分方程，-y2My_2孫公=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析方程為一階齊次微分方程.

解將方程改寫為

dy_2xy

dxx2-y2

令y=ur,則蟲=u+x變，代入上式，得？+%◎=2\

dxdxdx1-v2

分離變量得xdv=(一^-r-V)cbc

1-v

積分之，得lnu-ln(l+y)=lnx-lnC,再以v=上代入可得原方程的通解為

X

+y2=Cy

27、求微分方程(x+y)dfy+(x-y)dr=O的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析方程為一階齊次微分方程.

解將方程改寫為

dy_y-x

dxy+x

dy小八、、?/ndvv-1

令A(yù)y=vx,則==u+x——，代入上式，得u+x—=----

dxdxdxv+1

八f.*日/口v+l.—dx

分離變重得二——dv=----

v2+lX

積分之，得，ln(l+/)+arctanu=—Inx+’C,再以丫=上代入可得原方程的通解

22x

為

28、求初值問題｛‘一％的解。

jL=i

難度等級：2；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析方程為一階齊次微分方程的初值問題.

解令y=的則蟲=u+x型，代入上式，得v+x生=ef'+v

dxdxdx

分離變量得e'dv=—

X

積分之，得d'=lnx+C,又由已知有x=l,v=l,可解得C=e，再以u=2代入可得

X

原方程的通解為

y(x)=xln(ln(x)+e)

29、求微分方程x@^=yQny-Inx)的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析方程為一階齊次微分方程.

解將方程改寫為

手=%(馬

dxxx

.dy小八/口dv1

令y=uv,則==u+x—，代入上式，得u+x—=vlnv

dxdxdx

分離變量得--dv—■dx

v(lnv-1)x

積分之，#x=Celn(,nv-'\再以u=)代入可得原方程的通解為

X

x=C(ln2-1)

X

30、求微分方程(/-3x2)dy+Ixydx=0的通解。

難度等級：3；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析作變換可將方程化為全微分方程.

解令、=求，則辦="x+xdu,代入上式得

1)dxv2-3

v(v2-X)dx+x(v*--3)dv=0B|J—+——z---Jv=O

xv(v-1)

積分之，得燈3=。(/一1),故原方程的通解為

y3=C(y2-x2)

而當(dāng)丫(丫2-1)=0,即y=0,y=是原方程的特解。

XX

31、求微分方程(1+2/)公+2e，(l一一)辦=0的通解。

y

難度等級：3；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析作變換可將方程化為全微分方程.

Xx

解因方程中出現(xiàn)一，故令v=—，即x=yu,必;代入原方程化為

y>

dyl+2ev,

—+-----dv=0n

yv+2e'

積分之，得lny+ln(v+2e")=lnC

X

再代回變量，故所求通解為x+2y/=C

?一孫'=2

32、求微分方程初值問題x+yy'的解。

川=1

難度等級：3；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析可將方程變形為齊次微分方程的初值問題.

解將方程變形為蟲=上二良，這是齊次方程，其通解為

dxx+2y

1.x2+y21y

—In---------arctan—Inx=C

2x22x

]7T

代入初值條件：y(l)=l，可解得C=一一In2一一，故特解為

28

1,x2+y21,y,]]c乃

—In---------arctan—inx=—In2---

2x22x28

33、求微分方程?=上+(±y的通解。

axxy

難度等級：3；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析作變換可將方程化為可分離變量的微分方程.

解令、=以，則蟲=v+x型，代入上式，WV4-X—=v+

dxdxdxv

dY

分離變量得v2dv=—

X

iv-4

積分之，得上/+inC=lnx,再以u=2代入可得原方程的通解為x=C〃x2

3x

34>求方程?=)_1+1的通解。

dxy+x+5

難度等級：3；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析先作變換將其化為齊次微分方程，再求解.

解先求出y—x+l=O與y+x+5=0的交戰(zhàn)為(一2?。?，于是令

x=X1,y=y-,則原方程化為

"jy這是Y—一X個齊次方程，其通解為

dXY+X

Y

ln(X2+r2)+2arctan—=C

故原方程的通解為ln((x+2尸+(>+3>)+2arctan^2=C

x+2

35>求微分方程序=)x+J的通解。

axy-x+5

難度等級：3；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析先作變換將其化為齊次微分方程，再求解.

解由于直線y—x+l=0與直線y-x+5=0平行，無交點(diǎn)，于是令

z=y—羽包=電—1,代入原方程得

dxdx

dz.z+1

—+1=-----

dxz+5

日n七dz—4

即有丁二----

dxz+5

ir

積分得-Z2+5Z=-4X+-,代回原變量得

22

(y-x)2+10(y-x)+8x=C

36、求微分方程9y◎—18肛+4/=0的通解。

dx

難度等級：3；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析需作變換將其化為齊次微分方程.

解令y=Z?,則方程化為齊次方程

9z3—-9xz2+2x3=0,

dx

再令z=vx，則半=》型+丫，代入上式并分離變量得

dxdx

9v3dvdx八

―;----——+—=0

9V4-9V2+2x

積分之，得

(3V2-2)2X2=C(3V2-1)

y2

再以U=一代入上式得原方程的通解為

X

(3y-2x2)2=C(3y-x2)

3M7、求初值yd問y=(題2x+y，)dx的解。

[兒2=1

難度等級：2；知識點(diǎn)：齊次微分方程.

分析將方程變形為齊次微分方程的初值問題.

解將方程改寫為

力_2x+y

dxy

這是齊次方程，令y=w，則蟲=〃+x叁，代入上式得

dxdx

這是變量分離方程，且有〃(2)=也=J，積分得

22

2]3

x+jln|w-2|+-ln|l+M|+C=0,代入初值可解得C=—2—叱

213

故原方程的特解為》+§1小一2|+/|1+”|—2—嗎=0

3)變量分離微分方程

38、求微分方程包=!(丁—1)的通解。

dx2

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程是可分離變量的微分方程.

解將方程改寫為

積分得到

1+Cex

故可得通解為y=177

1-Ce

39、解方程泣=一A/7.

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程是可分離變量的微分方程.

解將方程分離變量得

dy_,

--r=——xclx

也

積分得到

故可得通解為y=，(C—V)2

40解方程盯'+y=fy2]nx.

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析需作變換將方程化為可分離變量的微分方程.

解令”=孫，則〃'=y+孫'，代入方程可得

這是變量分離方程，即f半=flnx，a,解得—』=xlnx—x+C,

JuJu

]

故原方程的解為y(x)=-

(ln(x)x+C-x)x

「y?2

41、解方程——T-dx=—dx.

XX

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析需作變換將方程化為可分離變量的微分方程.

解將原方程改寫為

琮4

令丁="，則2y包=包，代入可得

dxdx

du2(〃4-2)

dxx2

2

這是變量分離方程，積分得2+〃-Cl=0,故原方程的通解為

_2

2-Ce"+y(x)2=0

42、解方程(/—I)蟲+/一2町+i=o.

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析需作變換將方程化為可分離變量的微分方程.

解將方程改寫為

(f-l);(y_x)+(y_x)2=0

dx

令"=y-x,則包=半一1,代入原方程得

dxdx

這是一個變量分離方程，分離變量

dudx

=0,

x2-l

積分得-L+'ln|3|=C,再代回原變量得

u2x+1

11?.x—\

=—In------C

y-x2x+1

43、求立=/sinx的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程為可分離變量的微分方程.

解將方程分離變量得

——sinxdx

ey

積分得到

—e~y=—cosx-C.

故可得通解為y=-ln(cosx+C)

44、求微分方程xgy2dx+),Ji+x2辦=o的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程為可分離變量的微分方程.

解將方程分離變量得

積分可得通解為

J1+X?+J1+V=C.

45、求微分方程（1+丁）公+y（無—1）6=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程為可分離變量的微分方程.

解將方程分離變量得

dx

l+y2+x-1=0

積分得到

ln(x—l)+gln(l+)J)=InC.

故可得通解為x=■C-+1

46、求微分方程sinAzfy—ylnM?=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程為可分離變量的微分方程.

解將方程分離變量得

金—也=0

yinysinx

積分得到

x

ln|lny|-ln|tg-hln|C|.

C（fg-）

故可得通解為y=e2

47、求微分方程xjl-產(chǎn)公+），J1--辦=。的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程為可分離變量的微分方程.

解將方程分離變量得

ydy,xdx

-/H—I=0n

J]_y2\ll-x2

積分可得通解為

Ji-/+Jl_y2=C.

z-Ai1

48、求微分方程x絲一上y+2y2=8x,(x>0)的通解。

dx2

難度等級：3；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析需先作變換將其化為可分離變量的微分方程.

解令y=y?，則半=近半+一三，代入原方程，并約去公因子X,得

dxdx2yJx

Vx—+2v2=8

dx

這是一個變量分離方程，分離變量

-Ir\

積分得—^ln匕4=2石+G，再代回原變量得

8v+21

_2&1+C"嗎

Il-Ce~'6^

49、求微分方程(1+%”'+1=20->的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析可將方程變形為可分離變量的微分方程.

解將方程變形為

dy_2e~y-1

dx1+x

八白，口dydx口口-edydx

分罔變量得一—=——，即有丁V二一；一

2ey-11+xe-21+x

C

這是變量分離方程，積分可得盧-2=/一

1+無

50、求解初值問題/蟲=x+VMl)=l的通解。

dx

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析這是可分離變量的微分方程的初值問題.

解將方程分離變量得

eydy-(x+x3)dx

積分可得通解為

代入初值條件可解得C=e—1,故有y=ln(；V+；/+e一?)

51、求微分方程y'=-?1^士當(dāng)?shù)耐ń狻?/p>

1+尤+x

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程為變量可分離的微分方程.

解將方程分離變量變形為

dydx

-JK-j7

1+y+V1+無+；r

即有——華~=——p~,積分可得

(y+)2+(x+)2+

■2424

/1V-3C

蟲=號-2-<—a—nx

52、求微分方程aq'+2y=種'的通解，其中a為實(shí)常數(shù)。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析方程可變形為變量可分離的微分方程.

解將方程變形為

dy=2)，

dxx(y-a)

這是變量分離方程，積分可得ln(x)—gy+￡lny+C=O

r,

r-c…公+ydy=xydy人

53、求初值問題《的解。

、兒2=。

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析這是可分離變量的微分方程的初值問題.

解將方程變形為

dx=y(x2-l)dy

這是變量分離方程，積分可得y(x>+2arctan〃(x)=2arctan〃(2)

54、求微分方程了=上異的通解。

孫+第丁

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析這是變量可分離的微分方程.

解將方程變形為

dy_]+;/_1+-]

dxxy(l+x2)yx(l+x2)

這是變量分離方程，積分可得--J+y(x)2+—1=()

1+±"

X

__-^—dx———dy=0

55、求初值問題｛1+y1+x的解。

jLo=1

難度等級：2；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析這是變量可分離的微分方程.

解將方程變形為

dyxl+x_x(l+x)

dx1+yyy(l+y)

2

這是變量分離方程，積分可得1V+lx-l/--/+C=0,

3232

代入初值可解得c=3,故特解為工r+,/一J.3—j.2+2=O

63232.6

v2_v.

56、求微分方程y'=」——的通解。

2y(x+1)

難度等級：3；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析需先作變換將方程化為可分離的微分方程.

解將方程改寫為

2y包

dxx+1

令y2=〃，則2),@=文，代入上式得

dxdx

du_u-l

dxx+l

這是變量分離方程，積分并代回原變量得Mx/-(—--——ln(x+l)+C)(x+1)=0

x+1

57、求微分方程y'=sin(x+y+l)的通解。

難度等級：3；知識點(diǎn)：可分離變量的微分方程.

分析需先作變換將方程化為可分離的微分方程.

解令〃=x+y+l,則包=1+電，代入方程得

dxdx

dui

——=1+sinu

dx

C-x-2

這是變量分離方程，分離變量積分可得y(x)=-x—l-2arctan(J^一)

C-x

4)全微分方程

58、求微分方程￥二處+皿+y公=0的通解。

Jl+f+y2

難度等級：2;知識點(diǎn)：全微分方程.

分析由全微分方程的判定條件可得方程為全微分方程.

xdx-vydy

解

因?yàn)椤?^二產(chǎn)y1l+x2+y2

因此方程是全微分方程，即八/1+》2+/+的=0,因此原方程的通解為

肛(X)+yjl+x2+y(x)2-C

59、求微分方程cosaxdy+(x-紗sinax)dx=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析由全微分方程的判定條件可得方程為全微分方程.

解因?yàn)閐(ycosox)=cosox辦-紗sinoxNZr,故方程為全微分方程

1

cosaxdy+{x-aysinax)dx-cosax)7)=0

因此通解為y(x)=-J

cos(ax)

60>求微分方程2x(y/一1)公+J辦=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析由全微分方程的判定條件可得方程為全微分方程.

解將方程改寫為

2xyer+exdy=Ixdx-d(x2)

即有d(yJ)=d(x2),這是全微分方程，其通解為y(x)=(x2+C)e*

61>求微分方程ydr+xdy=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析由全微分方程的判定條件可得方程為全微分方程.

解這是全微分方程，因?yàn)?/p>

d(xy)=ydx+xdyy

從而通解為《yy=C

62、求微分方程(d+y)公+(x-y)6=0的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析由全微分方程的判定條件可得方程為全微分方程.

解方程各項(xiàng)經(jīng)過重新組合后，可看出這是全微分方程，即

x3dx_ydy+(ycbc+xdy)=0

X4y?

即d(—)-J(——)+d(xy')=0,

42

從而通解為————Fxy=C

42

63、求微分方程(3_?+6町2)曲：+(6尤2,+4),3)力=o的通解。

難度等級：2；知識點(diǎn)：全微分方程.

分析由全微分方程的判定條件可得方程為全微分方程.

解由已知有M(x,y)=3/+6xy-N(x,y)=6/+4y)

因則y,y)=口町=*川,故由公式可得通解為

dydx

￡(3x2+6xy2)dx+￡(0+4y3)dy=C

即d+3