2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題2.3圓與圓的位置關(guān)系

2.3圓與圓的位置關(guān)系一、單選題1．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能為（

）A．外離 B．外切 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【答案】C【解析】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內(nèi)含.故選：C.2．圓C1：x2+y2＝1與圓C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0（k∈R，k≠0）的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．無法確定【答案】A【解析】圓C1：x2+y2＝1的圓心C1(0,0)，半徑r＝1，圓C2：x2+y2+k(4x+3y)1＝0的圓心C2，半徑R，∴，而，∴兩圓相交．故選：A．3．已知圓與圓交于不同的，兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】兩圓方程相減可得直線的方程為，即，故C不正確；連立可得中點(diǎn)，易知A、B錯(cuò)誤.∴，兩式相減可得，故D正確.故選：D4．若圓與圓外切，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得．故選：C.5．圓和圓的公切線的條數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】∵兩個(gè)圓與，∴圓圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，∴兩圓圓心距為，∵，∴兩圓相交，有條公切線.故選：B.6．已知圓，直線為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)四邊形面積最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。?，即，由，解得．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：A.7．設(shè)，則兩圓與的位置關(guān)系不可能是（

）A．相切 B．相交 C．內(nèi)切和內(nèi)含 D．外切和外離【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為4；圓的圓心為，半徑為．兩圓心之間的距離為，又因?yàn)?，所以兩圓不可能外切和外離．故選：D．8．已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)等于A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【答案】D【解析】設(shè)圓?圓的半徑分別為?.圓的方程可化為，圓的方程可化為.由兩圓相切得，或，∵，∴或或或(舍去).因此，解得a=34或解得故選:D.二、多選題9．圓與圓，下列說法中正確的是（

）A．若，對于任意的，圓與圓始終外切B．若，分別為圓與圓上的動點(diǎn)，則的最大值為C．若，對于任意的，圓與圓的公共弦長為D．若，為圓與圓的交點(diǎn)，則圓上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使【答案】ABCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，圓的圓心，半徑為；圓的圓心為，半徑為；，圓與圓始終外切，A正確；對于B，由A知：，，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，公共弦所在直線方程為：，圓的圓心到公共弦所在直線的距離，公共弦長為：，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，直線方程為：，直線過圓的圓心，即為圓的直徑，圓上異于的點(diǎn)，均可以使，有無數(shù)個(gè)，D正確.故選：ABCD.10．[多選題]當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，圓：與圓：的位置關(guān)系可能是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】ABCD【解析】圓：的圓心為，半徑，圓：的圓心為，半徑，則，，．∵，∴當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓外離；故選：ABCD.11．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．圓的半徑為B．圓截軸所得的弦長為C．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為D．圓與圓相離【答案】BC【解析】對于A：由可得，所以的半徑為，故選項(xiàng)A不正確；對于B：圓心為到軸的距離為，所以圓截軸所得的弦長為，故選項(xiàng)B正確；對于C：圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故選項(xiàng)C正確；對于D：由可得，所以圓心，半徑，因?yàn)?，所以兩圓相外切，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC.12．如圖，點(diǎn)，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線，則（）A．曲線與軸圍成的圖形的面積等于 B．與的公切線的方程為C．所在圓與所在圓的公共弦所在直線的方程為 D．所在的圓截直線所得弦的長為【答案】BCD【解析】由題意得：A選項(xiàng)：、、所在的圓的方程分別為，，.曲線與軸圍成的圖形是一個(gè)半圓，一個(gè)矩形和兩個(gè)圓，其面積為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)與的公切線方程為，則，所以，，所以與的公切線方程為，即，故B正確；C選項(xiàng)：由和兩式相減得，即為公共弦所在的直線方程，故C正確；D選項(xiàng)：所在的圓的方程為，圓心，圓心到直線的距離，則所求的弦長為，故D正確.故選：BCD三、填空題13．已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝________．【答案】1【解析】圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝.因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.故答案為：1．14．寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.15．2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個(gè)圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：是圓的圓心，圓過坐標(biāo)原點(diǎn)；點(diǎn)、均在軸上，圓與圓的半徑都等于2，圓?圓均與圓外切．已知直線過點(diǎn)．（1）若直線與圓、圓均相切，則截圓所得弦長為__________；（2）若直線截圓、圓、圓所得弦長均等于，則__________．【答案】

3

【解析】（1）根據(jù)條件得到兩圓的圓心坐標(biāo)分別為，，設(shè)公切線方程為且存在，則，解得，，故公切線方程為，則到直線的距離，故截圓的弦長；（2）設(shè)方程為且存在，則三個(gè)圓心到該直線的距離分別為：，，，則，即有，①，②解①得，代入②得，則，即，故答案為：3；．16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】由可得，因此圓的圓心為，半徑為1，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)到直線的距離，即，所以，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.四、解答題17．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．(1)若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；(2)若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【解析】(1)聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.若切線的斜率不存在，則切線的方程為，此時(shí)直線與圓相離，不合乎題意；所以，切線的斜率存在，設(shè)所求切線的方程為，即，由題意可得，整理可得，解得或.故所求切線方程為或，即或.(2)解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，由題意可知，圓與圓有公共點(diǎn)，所以，，即，解得.所以，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是.18．已知為圓：上任意一點(diǎn).(1)求的最大值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.【解析】(1)∵的圓心，半徑，設(shè)，將看成直線方程，∵該直線與圓有公共點(diǎn)，∴圓心到直線的距離，解上式得：，∴的最大值為.(2)記點(diǎn)，∵表示直線的斜率，設(shè)直線的方程為：，即，由直線與圓有公共點(diǎn)，∴，可得，∴的最大值為，最小值為；(3)∵設(shè)，等價(jià)于圓的圓心到原點(diǎn)的距離的平方，則，；19．已知圓，圓.(1)試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若過點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程.【解析】(1)把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以圓C與圓M相交，(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題意得，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.20．動圓與軸交于，兩點(diǎn)，且是方程的兩根．（1）若線段是動圓的直徑，求動圓的方程；（2）證明：當(dāng)動圓過點(diǎn)時(shí)，動圓在軸上截得弦長為定值．【解析】（1）是方程的兩根，，．動圓與軸交于，兩點(diǎn)且線段是動圓的直徑，動圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．動圓的方程為：．（2）證明：設(shè)動圓的方程為：，動圓與軸交于，，令，則．由題意可知，．又動圓過點(diǎn)，，即．令，則，解得或．．動圓在軸上截得弦長為．動圓在軸上截得弦長為定值．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過點(diǎn)，，．（1）求圓的一般方程；（2）若圓與圓相切于點(diǎn)，且圓的半徑為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）設(shè)圓的一般方程為：，分別代入點(diǎn)，，的坐標(biāo)可得：，解得，，，故圓的一般方程為：.（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心，所以