2023-2024學年北京理工大附中高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學年北京理工大附中高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定2.已知正方體的棱長為,,,分別是棱,,的中點,給出下列四個命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個數(shù)為()A. B. C. D.3.已知六棱錐各頂點都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.125.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.已知復數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.7.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.設(shè)為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,若,則().A.9 B.6 C. D.9.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.10.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-111.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.12.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.14.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點Q,已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k,且動點Q的軌跡是拋物線,則當二面角平面角的大小為時,k的值為______.15.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點,則__________.16.的展開式中的常數(shù)項為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點,求.18.(12分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位,建立極坐標系.(1)設(shè)直線l的極坐標方程為,若直線l與曲線C交于兩點A.B,求AB的長;(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.20.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線段的中點,平面,,為線段上一點(不與端點重合).(1)若,(?。┣笞C:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實數(shù)滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請說明理由.21.(12分)在直角坐標平面中,已知的頂點,,為平面內(nèi)的動點,且.(1)求動點的軌跡的方程;(2)設(shè)過點且不垂直于軸的直線與交于,兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.22.(10分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點睛】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.2、C【解析】

畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關(guān)點的線段,為的中點,連接,因為是中點,可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點,所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.3、D【解析】

由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因為,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.4、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項,列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項.對于等差數(shù)列,一般用首項和公差將已知量表示出來,繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計算量大大減少.5、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.6、A【解析】

對復數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.7、B【解析】

畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計算得到答案.【詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】

設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.9、C【解析】

由,,利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

,,,

因為,

所以

,

,所以,故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則,屬于中檔題.向量的運算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).10、D【解析】試題分析:因為an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點:數(shù)列的通項公式.11、D【解析】

依次將選項中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當時,在上不單調(diào),故A不正確;當時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當時,在上不單調(diào),故C不正確;當時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導公式的應(yīng)用,是一道容易題.12、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為414、【解析】

二面角平面角為,點Q到底面的距離為,點Q到定直線得距離為d,則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k,可得,由此可得,則由可求k值.【詳解】解:如圖,設(shè)二面角平面角為,點Q到底面的距離為,點Q到定直線的距離為d,則,即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k,∴,則,∵動點Q的軌跡是拋物線,∴,即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得:().故答案為:.【點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值,屬于中檔題.15、【解析】

作出圖形,設(shè)點為線段的中點,可得出且,進而可計算出的值.【詳解】設(shè)點為線段的中點,則,,,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算,涉及平面向量數(shù)量積運算律的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計算能力,屬于中等題.16、【解析】

寫出展開式的通項公式,考慮當?shù)闹笖?shù)為零時,對應(yīng)的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為:,令,所以,所以常數(shù)項為.

故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應(yīng)的取值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,可得△ABC為直角三角形,然后可計算b,可得結(jié)果.(2)計算,然后根據(jù)余弦定理,可得,利用平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以;所以△ABC的面積為.(2)設(shè)D靠近點B,則BD=DE=EC=1.,所以所以.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取的中點,連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點,,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點,以,,為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì),考查空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.19、(1);(2)1.【解析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可;(2),,由(1)通過計算得到,即最大值為1.【詳解】(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為,即;再將,,代入上式,得,故曲線C的極坐標方程為,顯然直線l與曲線C相交的兩點中,必有一個為原點O,不妨設(shè)O與A重合,即.(2)不妨設(shè),,則面積為當,即取時,.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化,三角形面積的最值問題,是一道容易題.20、(1)(?。┳C明見解析(ⅱ)(2)存在,【解析】

(1)(i)連接交于點,連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由此能證明PC∥平面(ii)推導出,以為原點建立空間直角坐標系,利用向量法求解;(2)設(shè),求出平面的法向量,利用向量法求解.【詳解】(1)(?。┳C明:連接交于點,連接,,因為為線段的中點,所以,因為,所以因為∥所以四邊形為平行四邊形.所以又因為,所以又因為平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如圖,在平行四邊形中因為,,所以以為原點建立空間直角坐標系則,,,所以,,,平面的法向量為設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,設(shè)平面和平面所成的銳二面角為,則所以銳二面角的余弦值為(2)設(shè)所以,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得,因為直線與平面所成的角的正弦值為,所以解得所以存在滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明,考查銳二面角的余弦值的求法,考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系等知識,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.21、(1)();(2)證明見解析.【解析】

(1)設(shè)點,分別用表示、表示和余弦定理表示,將表示為、的方程,再化簡即可;(2)設(shè)直線方程代入的軌跡方程,得,設(shè)點,,,表示出直線,取,得,即可證明直線過軸上的定點.【詳解】(1)設(shè),由已知,∴,∴(),化簡得點的軌跡的方程為:();(2)由(1)知,過點的直線的斜率為0時與無交點,不合題意故可設(shè)直線的方程為:(),代入的方程得:.設(shè),,則,,.∴直線:.令,得.直線過軸上的定點.【點睛】本題主要考查軌跡方程的

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