第13講 數(shù)列的綜合應用 講義-2022屆高三數(shù)學二輪復習專題

第13講數(shù)列的綜合應用一、學習目標1.掌握數(shù)列的通項與求和問題.2.掌握常見的數(shù)列與不等式問題；3.學會用函數(shù)觀點看數(shù)列問題.二、典例分析例1．（1）已知數(shù)列的前n項和，若數(shù)列單調遞減，則λ的取值范圍是（）A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)【答案】A（2）若無窮數(shù)列的通項公式為，，則數(shù)列的項中（

）A．有最小項，無最大項 B．有最大項，無最小項C．既有最小項，也有最大項 D．既無最小項，也無最大項【答案】C變式：1．已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．【答案】D例2．設數(shù)列的前項和為，．（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得.若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）當時，，則；當時，，則；①，則時，舍去；當時，，故，符合條件；而時，，，則不可能為整數(shù)；②，則時，；當時，，則都符合條件；當時，，舍去；而時，，則不可能為整數(shù)，綜上所述，存在，.變式：1．已知數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若是數(shù)列的前項和，求滿足的所有正整數(shù)．【答案】（1），故，因為，故，故，故，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得．由，得，則，所以因為為減數(shù)列，為減數(shù)列，故遞減，當時，，滿足；時，，所以時，總成立，不滿足要求，舍，又，同理，當且僅當時，，綜上所述，滿足的所有正整數(shù)為1和2．例3．已知數(shù)列中，，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設為數(shù)列的前項和，若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.(2)，若對于恒成立，即，可得即對于任意正整數(shù)恒成立，所以，令，則，所以，可得，所以，所以的取值范圍為.變式：1．已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.例4.（1）已知兩個等比數(shù)列，，滿足，，，若數(shù)列唯一，求的值；（2）是否存在兩個等比數(shù)列，，使得成公差不為的等差數(shù)列？若存在，求，的通項公式；若不存在，說明理由．【答案】（1）要唯一，當公比時，由且，，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根），此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合．當公比時，等比數(shù)列首項為a，其余各項均為常數(shù)0，唯一，此時由，可推得符合，綜上，．假設存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質得，整理得，要使該式成立，則=或此時數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列．變式：1．已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，（1）設，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，，且是等比數(shù)列，求和的值．【答案】（1）∵，∴．∴．∴．∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．（2）∵，∴．∴．（﹡）設等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，∴當時，，與（﹡）矛盾．若則，∴當時，，與（﹡）矛盾．∴綜上所述，．∴，∴．又∵，∴是公比是的等比數(shù)列．若，則，于是．又由即，得．∴中至少有兩項相同，與矛盾．∴．∴．∴例5．如圖，已知曲線：及曲線：，上的點的橫坐標為．從上的點作直線平行于軸，交曲線于點，再從點作直線平行于軸，交曲線于點，點（，2，3……）的橫坐標構成數(shù)列．（1）試求與之間的關系，并證明：；（2）若，求證：．【答案】（1）由已知，，從而有，∵在上，∴，得，由及，知，下證：，∵，∴與異號，注意到，知，，即；（2）∵，∴，∵，∴，∴有，從而可知，故，∴，∴．變式：1．如圖，曲線上的點與軸正半軸上的點及原點構成一系列正（記為）,記.(1)求數(shù)列的通項公式；(3)證明：當時，.【答案】(1)，設，則直線的方程為，所以.直線的方程為，所以.因此,所以，由得,即數(shù)列成等差數(shù)列，得.，所以.(2)證明：當時,.課外作業(yè)1．已知數(shù)列滿足，則（）A． B．C． D．【答案】C2．數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C設△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,…，若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則（）A．{Sn}為遞減數(shù)列B．{Sn}為遞增數(shù)列C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列【答案】B4．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440B．330C．220 D．110【答案】A5．設正整數(shù)，其中，記．則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B6．數(shù)列滿足，則的前項和為_____.【答案】18307．已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，.若，則的值是.【答案】8．已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．【答案】279．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：，；，，…；，，記點的坐標為（k=1，2，…，n）．則________．【答案】10．如圖，拋物線與x軸的正半軸交于點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為，過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為，，…，，從而得到n－1個直角三角形△，△，…,△，當n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為____________.【答案】11．數(shù)列滿足，，（1）求，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，，，求使的所有的值，并說明理由．【答案】（1）因為，，所以，一般地，當時，即所以數(shù)列是首項為0、公差為4的等差數(shù)列，因此當時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故，（）；（2）由（1）知，于是.下面證明:當時，事實上,當時，即又，所以當時，故滿足的所有k的值為3,4,5.12．已知數(shù)列與滿足，，，且．（1）求，的值；（2）設，，證明：是等比數(shù)列（3）設為的前項和，證明：，.【答案】（1），；（2）證明：，所以是等比數(shù)列．（3）證明：，由（2）知，當k∈N*且k≥2時，，故對任意的k∈N*，．由①得，所以k∈N*，因此，于是，．故==所以，對任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）===n﹣≤n﹣﹣=n﹣.13．在數(shù)列中，，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）證明存在，使得對任意均成立．【答案】（1）由，，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以；（2）設，①，②當時，①式減去②式，得，，這時數(shù)列的前項和，當時，，故；（3）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明