金融時(shí)間序列模型（第二版）全套教學(xué)課件

金融時(shí)間序列模型

第一章：基本統(tǒng)計(jì)概念與數(shù)據(jù)的整理全套可編輯PPT課件ch1-基本統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)整理.pptxch2-平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)回歸模型.pptch3-平穩(wěn)線性ARMA模型.pptch4-波動(dòng)率模型.pptxch5-向量自回歸模型.pptch6-非平穩(wěn)時(shí)間序列和單位根檢驗(yàn).pptch7-協(xié)整和誤差修正模型.pptch8-非線性時(shí)間序列模型.pptx正態(tài)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，通常表示為：X～N(

,

2)其中

是隨機(jī)變量X的期望，

2是X的方差。如果某隨機(jī)變量X求自然對(duì)數(shù)后服從正態(tài)分布，稱該隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，通常表示為：X～LNN(

,

2)其中

是隨機(jī)變量ln(X)的期望，

2是ln(X)的方差。描述統(tǒng)計(jì)對(duì)于隨機(jī)變量需要掌握該隨機(jī)變量的分布，通過隨機(jī)變量的樣本計(jì)算一些數(shù)字特征可以反映隨機(jī)變量分布的特點(diǎn)，常用的描述統(tǒng)計(jì)又下列指標(biāo)：樣本均值：數(shù)據(jù)的典型取值樣本中位數(shù)：位于中間的數(shù)值樣本方差（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）：數(shù)據(jù)離散程度變差系數(shù)：比較均值不同的兩組數(shù)據(jù)的離散程度樣本偏差：分布是否對(duì)稱樣本峰度：與正態(tài)分布相比，陡峭的程度協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的計(jì)算與X和Y的前后順序沒有關(guān)系。所以cov(X,Y)

=

cov(Y,X)。協(xié)方差與數(shù)據(jù)的單位有關(guān)；相關(guān)系數(shù)除以兩個(gè)隨機(jī)變量各自的標(biāo)準(zhǔn)差，相當(dāng)于數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)后再計(jì)算協(xié)方差，與數(shù)據(jù)的單位無關(guān)，是介于－1到

+

1之間的數(shù)值。協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)衡量了兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)的程度。相關(guān)系數(shù)小于0，說明負(fù)相關(guān)；大于0，說明正相關(guān)；等于0，說明不相關(guān)。數(shù)據(jù)整理對(duì)數(shù)據(jù)建立模型之前根據(jù)需要可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一些整理，對(duì)于有季節(jié)性的數(shù)據(jù)通常先進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，對(duì)季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)再建立模型；對(duì)股票趨勢(shì)進(jìn)行研究的時(shí)候，可以使用平滑的方法去掉偶然的擾動(dòng)得到趨勢(shì)部分；在研究經(jīng)濟(jì)周期時(shí)，通常使用HP濾波提取數(shù)據(jù)長(zhǎng)期趨勢(shì)；季節(jié)調(diào)整假設(shè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)由趨勢(shì)項(xiàng)、季節(jié)項(xiàng)和隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)三大部分構(gòu)成。用公式表示如下：

Y

=

f(T,S,e)并且假設(shè)滿足如下的乘法模型：

Y

=

T

×

S

×

e季節(jié)調(diào)整步驟如下：第一步：估計(jì)趨勢(shì)項(xiàng)T，確定趨勢(shì)項(xiàng)后，Y/T得到季節(jié)項(xiàng)和誤差項(xiàng)的乘積Se

=

Y/T；第二步：通過平均去掉隨機(jī)項(xiàng)，得到季節(jié)項(xiàng)S的估計(jì)，把與不同季節(jié)對(duì)應(yīng)的數(shù)字稱為季節(jié)因子，對(duì)季節(jié)因子進(jìn)行規(guī)范化；第三步：從原始數(shù)據(jù)中去掉季節(jié)項(xiàng)，得到季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)Y/S。平滑

平滑

HP濾波

金融時(shí)間序列模型

第2章：平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)回歸模型經(jīng)典線性回歸模型

一個(gè)好的估計(jì)量需要滿足的性質(zhì)：性質(zhì)1：無偏性：如果估計(jì)量的均值等于真值，該估計(jì)量是無偏的。性質(zhì)2：一致性：觀測(cè)值個(gè)數(shù)有限時(shí)，無偏性不一定滿足，如果隨著觀測(cè)值的個(gè)數(shù)趨于無窮，估計(jì)量收斂到真實(shí)值，那么該估計(jì)量滿足一致性。性質(zhì)3：有效性：如果有兩個(gè)估計(jì)量都是無偏的，那么方差小的那個(gè)估計(jì)量更精確地估計(jì)了真實(shí)值，所以這個(gè)估計(jì)量更有效，在所有無偏估計(jì)量中方差最小的那個(gè)估計(jì)量稱為有效估計(jì)量。

性質(zhì)4：估計(jì)量服從正態(tài)分布。經(jīng)典線性回歸模型滿足的假設(shè)

滿足假設(shè)A1

-

A4，OLS估計(jì)量滿足無偏性。滿足假設(shè)A1

-

A5，OLS估計(jì)量是BLUE的。滿足假設(shè)A1

-

A6，OLS估計(jì)量服從正態(tài)分布。經(jīng)典線性回歸模型的假設(shè)A2獨(dú)立隨機(jī)抽樣，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常是不滿足的，因?yàn)闀r(shí)間序列的特點(diǎn)是存在序列相關(guān)，是不獨(dú)立的。因此使用時(shí)間序列數(shù)據(jù)建立回歸模型需要另外的假設(shè)條件。時(shí)間序列數(shù)據(jù)的靜態(tài)回歸模型

分布滯后模型

分布滯后模型動(dòng)態(tài)因果效應(yīng)也被稱為動(dòng)態(tài)乘數(shù)。

j，j

=

0,1,…,k被稱為乘數(shù)，或沖擊效應(yīng)。

0被稱為短期乘數(shù)或即期乘數(shù)，表示當(dāng)期的沖擊效應(yīng)。

0

+

1

+

…

+

h被稱為h期累積乘數(shù)，h是1到k

-

1之間的數(shù)值，表示h期中解釋變量x的變化對(duì)因變量y的累積效應(yīng)。累積效應(yīng)的經(jīng)濟(jì)含義是假設(shè)t期解釋變量改變一個(gè)單位，并且解釋變量的變化是永久的，即今后每期解釋變量都改變一個(gè)單位到t

+

h時(shí)刻y的改變量。

=

0

+

1

+

…

+

k被稱為長(zhǎng)期乘數(shù)，表示x對(duì)因變量在所有時(shí)期沖擊效應(yīng)的總和。

i/

，i

=

0,1,2,…,k被稱為標(biāo)準(zhǔn)化的乘數(shù)。表示解釋變量改變一個(gè)單位后，在t

+

i期時(shí)，沖擊效應(yīng)占總效應(yīng)的百分比。自回歸分布滯后模型

誤差項(xiàng)存在自相關(guān)的分布滯后模型可以看成包括因變量滯后項(xiàng)的自回歸分布滯后模型的特例，自回歸分布滯后模型的系數(shù)滿足一定的約束條件可以等價(jià)于殘差存在自相關(guān)的分布滯后模型。如果誤差項(xiàng)存在自相關(guān)的話可以通過增加自變量和因變量的滯后項(xiàng)來消除誤差項(xiàng)的自相關(guān)。一般的靜態(tài)模型和分布滯后模型的擾動(dòng)項(xiàng)可能存在自相關(guān)，但是增加y的滯后變量當(dāng)做解釋變量，即ADL模型，我們通常認(rèn)為這個(gè)模型的擾動(dòng)項(xiàng)不再存在自相關(guān)。長(zhǎng)期靜態(tài)均衡解

建模策略從一般到特殊倫敦經(jīng)濟(jì)學(xué)院（LSE）學(xué)派認(rèn)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)存在一個(gè)真正的數(shù)據(jù)生成過程，建立模型就是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)生成過程。因此LSE學(xué)派建議使用時(shí)間序列數(shù)據(jù)建立模型時(shí)，要從一般的ADL模型開始，然后逐步簡(jiǎn)化得到最終的模型。該方法也被稱為從一般到特殊，具體建模方法是：（1）首先建立一個(gè)較大的模型，根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論或者人們對(duì)經(jīng)濟(jì)行為的理解，盡量包括進(jìn)所有對(duì)因變量有影響的變量，每個(gè)解釋變量都包括若干滯后變量，同時(shí)包括因變量的滯后變量作為解釋變量。（2）LSE學(xué)派建議一個(gè)好的模型應(yīng)該滿足下面六個(gè)條件：a.邏輯上可行b.與經(jīng)濟(jì)理論一致c.解釋變量與誤差項(xiàng)不相關(guān)d.參數(shù)估計(jì)量在整個(gè)樣本區(qū)間上穩(wěn)定e.誤差項(xiàng)是白噪聲過程f.可以解釋已有的相關(guān)競(jìng)爭(zhēng)模型能夠解釋的內(nèi)容，并且可以解釋更多內(nèi)容在建模過程中，強(qiáng)調(diào)對(duì)模型的誤差項(xiàng)進(jìn)行大量假設(shè)檢驗(yàn)，以保證誤差項(xiàng)是白噪聲過程，這些檢驗(yàn)包括異方差、條件異方差、自相關(guān)、函數(shù)形式設(shè)定是否正確、參數(shù)是否存在結(jié)構(gòu)性變化等。因此，這個(gè)建模方法也被稱作“檢驗(yàn)檢驗(yàn)再檢驗(yàn)”。（3）如果誤差項(xiàng)不滿足第（2）步的某一項(xiàng)或幾項(xiàng)，首先說明模型有問題需要修改。例如需要增加滯后長(zhǎng)度，需要增加新的解釋變量，改變函數(shù)形式等，而不是修改估計(jì)方法。由于模型包括很多滯后項(xiàng)，因此容易存在多重共線性，導(dǎo)致許多變量的系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上不顯著，因此可以去掉在統(tǒng)計(jì)上不顯著的變量。每次去掉某個(gè)變量后，都要保證模型的誤差項(xiàng)仍然滿足（2）的條件，直到最后所有的解釋變量在統(tǒng)計(jì)上都顯著。從特殊到一般除了從一般到特殊的建立模型的方法，更早、更傳統(tǒng)的建立模型的方法是從特殊到一般，因?yàn)榇蠖鄶?shù)經(jīng)濟(jì)研究都采用該方法。這種方法從一個(gè)特定模型開始，逐漸把越來越多的變量增加進(jìn)來。模型由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，最后模型滿足要求的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，并且有良好的經(jīng)濟(jì)解釋。具體建模方法如下：（1）確定回歸中感興趣的解釋變量，該變量被稱為關(guān)鍵變量。該變量是我們唯一關(guān)注的內(nèi)容，只要該變量的系數(shù)正確估計(jì)出來可以進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)則模型設(shè)定正確。（2）根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，考慮還有哪些變量對(duì)因變量有影響，這些變量被稱為控制變量。這樣就得到了一個(gè)初始模型，被稱為基準(zhǔn)模型。我們認(rèn)為這個(gè)模型是正確的。增加控制變量的原因是擔(dān)心遺漏變量，造成關(guān)鍵變量與擾動(dòng)項(xiàng)存在相關(guān)性導(dǎo)致內(nèi)生性問題。這些控制變量的系數(shù)不是模型關(guān)注的內(nèi)容。（3）估計(jì)基準(zhǔn)模型，對(duì)參數(shù)和殘差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。如果存在異方差或者自相關(guān)，則修改估計(jì)方法，或者使用異方差自相關(guān)一致的標(biāo)準(zhǔn)誤來估計(jì)方差；如果系數(shù)符號(hào)與理論或常識(shí)相反，往往意味著存在遺漏變量，須擴(kuò)展基準(zhǔn)設(shè)定。檢驗(yàn)新增變量系數(shù)是否等于0，如果額外變量的系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，或者如果感興趣的系數(shù)發(fā)生了明顯的變化，那么應(yīng)該把新變量增加進(jìn)來。（4）用表格的形式把增加、去掉變量的過程都列出來。提供一種“完全的披露”，使讀者可以自己進(jìn)行判斷。金融時(shí)間序列模型

第3章平穩(wěn)線性ARMA模型ARMA模型-1隨機(jī)過程基本概念基本概念幾個(gè)重要的概念(Somefundamentalconcepts)隨機(jī)過程stochasticprocesses均值函數(shù)Meanfunction自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)autocovarianceandautocorrelationfunction白噪聲過程Whitenoiseprocess平穩(wěn)過程Stationaryprocesses遍歷性或漸進(jìn)獨(dú)立（ergodic））基本概念

fundamentalconcepts隨機(jī)過程stochasticprocess

設(shè)T是某個(gè)集合，俗稱足標(biāo)集（或者下標(biāo)），對(duì)任意固定t

T，Yt是隨機(jī)變量，t

T的全體{Yt

；t

T}稱為T上的隨機(jī)過程，記為{Yt}通常T取為：1)

T=[-

,

]；T=[0,

]2)T=…-2,-1,0,1,2,…

；T=1,2,3,…離散時(shí)，隨機(jī)過程又稱隨機(jī)序列、時(shí)間序列。對(duì)每個(gè)固定的t，Yt是隨機(jī)變量。時(shí)間序列數(shù)據(jù)與隨機(jī)過程的關(guān)系——樣本（實(shí)現(xiàn)）從時(shí)間序列數(shù)據(jù)中獲取結(jié)論。必須建立表示數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。把觀測(cè)值視為某個(gè)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)或樣本。一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的例子date

exchangerate1976Q4295.511977Q1281.531977Q2272.441977Q3266.881977Q4240.531978Q1230.631978Q2211.151978Q3190.3Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8基本概念隨機(jī)過程的樣本(Sample)或?qū)崿F(xiàn)(Realization)stochasticprocess：Y1,Y2,Y3,…Ynsample1：y11,y12,y13,…y1nsample2：y21,y22,y23,…y2n

…samplem:ym1,ym2,ym3,…ymn

樣本記為(denotedby){yt}經(jīng)濟(jì)中隨機(jī)過程只有一個(gè)樣本，因?yàn)闀r(shí)間是不能重復(fù)的。

基本概念均值函數(shù)meanfunction{

t}自協(xié)方差函數(shù)autocovariancefunction：{

st}

自相關(guān)函數(shù)autocorrelationfunction：{

st}

基本概念平穩(wěn)隨機(jī)過程

（weaklystationary,covariancestationary,secondorderstationary）如果隨機(jī)序列二階矩有界，并且滿足以下條件Ifaseriessatisfiesthenexttwoconditions（1）對(duì)任意整數(shù)t，E(Yt)=

，

為常數(shù)；Themeanfunctionisconstantovertime（2）對(duì)任意整數(shù)t和s，自協(xié)方差函數(shù)

ts僅與t-s有關(guān)，同個(gè)別時(shí)刻t和s無關(guān)。即

ts=

t-s=

kAutocovariancefunctiondon’tdependontimebutonlyontimelag.

ts=

t-s=

k

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程

遍歷性隨著時(shí)間的推移總可以得到以前沒有的新的信息，或者說{yt,yt+1,…,yt+k}與{yl+t,yl+t+1,…,yl+t+k}是漸近獨(dú)立的。即當(dāng)l趨于無窮時(shí)，兩組隨機(jī)變量相互獨(dú)立。這時(shí)時(shí)間序列的一個(gè)樣本就足以代表整個(gè)時(shí)間序列。滿足遍歷性才可以通過隨機(jī)過程的一個(gè)樣本對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)。假設(shè)需要估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值，理論上應(yīng)該得到Y(jié)t的N個(gè)樣本，在截面上求平均，得到均值的估計(jì)量。由于時(shí)間的不可逆性，只能得到Y(jié)t一個(gè)樣本，無法估計(jì)。隨機(jī)過程滿足遍歷性時(shí)，可以證明只使用一個(gè)樣本沿時(shí)間平均隨著T的增加趨于總體的均值。遍歷性很難證明，一般假設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程滿足遍歷性。白噪聲過程

whitenoiseprocess

隨機(jī)過程滿足Adefinitionofawhitenoiseprocessis1）E(

t)=0，forallt2）E(

t2)=

2forallt3）E(

t

s)=0,foranyt

s弱白噪聲隨機(jī)過程（Weaklywhitenoiseprocess），簡(jiǎn)稱白噪聲。記為{

t}~WN(0,

2)白噪聲過程4）不同時(shí)刻隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且同分布,稱為獨(dú)立同分布白噪聲，記為{

t}~I.I.D.(0,

2)[independentlyandidenticallydistributed(iid)randomvariables]

如果再增加一個(gè)條件5）服從正態(tài)分布,該過程為高斯白噪聲（ifdistributionisnormal,thisprocessisknownasGaussianwhitenoiseprocess）。線性ARMA模型-2ARMA模型的概念A(yù)RMA模型的性質(zhì)滑動(dòng)平均模型MA(q):t=c+

t+

1

t-1+…+

q

t–qq階滑動(dòng)平均模型，記為MA(q)（MovingAverage)例如MA(1):t=c+

t+

1

t-1MA(2):t=c+

t+

1

t-1+

2

t–2滑動(dòng)平均模型

自回歸模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

tP階自回歸模型（AutoRegression)，簡(jiǎn)記為AR(p)

例如：AR(1):t=c+

1

t-1+

tAR(2):t=c+

1

t-1+

2

t-2+

tAR(4):t=c+

4

t-4+

tARMA模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q該模型即包括自回歸部分又包括滑動(dòng)平均部分，稱為自回歸滑動(dòng)平均混合模型，記為ARMA(p,q)模型線性ARMA模型ARMA(p,q)

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q當(dāng)p=0時(shí)，ARMA模型退化成MA模型當(dāng)q=0時(shí)，ARMA模型退化成AR模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

tARMA模型的性質(zhì)均值函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)MA(1)參數(shù)特點(diǎn)

t=

+

t+

t-1均值函數(shù)：E（

t）=

自協(xié)方差函數(shù)：

0=(1+

2)

2

1=

2

k=0,k>1

k=

k/

0自相關(guān)函數(shù)：

1=

/(1+

2)，

k=0,k>1MA(q)的參數(shù)特點(diǎn)E（

t）=

0=(1+

12+…+

q2)

2

k=0,k>q

，

k=0,k>qMA過程例下面是一個(gè)MA(2)模型,計(jì)算它的自相關(guān)函數(shù)，并畫圖

t=

t+0.2

t－1＋0.1

t－2

1＝（

1＋

2

1）/（1＋

12＋

22）＝（0.2+0.2*0.1）/(1+0.12+0.22)=0.2

2＝（

2）/（1＋

12＋

22）＝0.1/(1+0.12+0.22)=0.095MA(2)過程ACF圖(AutoCorrelationFunction)基本結(jié)論MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)q步截尾AR(1)過程的參數(shù)

t=c+

t-1+

tE(

t)=E(c+

t-1+

t)=c+

+0=c/(1-

)

t=c+

t-1+

t

t=(1-

)+

t-1+

t

t-

=

(

t-1-

)+

t

j=E(

t-

)(

t-j-

)=E[((

t-1-

)+

t)(

t-j-

)]

j=j-1

j/0=1

j-1/0

j=j-1

0=E(

t-

)(

t-

)=E[((

t-1-

)+

t)(

t-

)]=1+E[(t

(

t-

)]E[(t

(

t-

)]=2（請(qǐng)自己證明）

1=0帶入上式，整理得：AR(1)過程的參數(shù)AR過程的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。幾何收斂到0AR(1)參數(shù)

t=0.1+0.5

t-1+

t

t=0.1-0.5

t-1+

t

=0.1/(1-0.5)=0.2=0.1/(1+0.5)

j=0.5j

j=(-0.5)j

AR(p)自回歸過程的參數(shù)特點(diǎn)

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t均值函數(shù)(mean)E(

t)=

=c/(1-

1-

2+…-

p)自協(xié)方差函數(shù)(autocovariance)

0=

1

1+

2

2+…+

p

p+

2

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj=1,2,3,…自相關(guān)函數(shù)(autocorrelation)

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj=1,2,3,…Yule-walker方程

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj=1,2,3,…,p例如AR(2)的前兩個(gè)方程：

1=

1

0+

2

1

2=

1

1+

2

0是Yule-walker方程。ARMA(p,q)過程參數(shù)

=c/(1-

1-

2+…-

p)

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj>q

j=

1

j-1+

2

j-2+…+

p

j-pj>qARMA和AR模型的自相關(guān)函數(shù)是幾何衰減到0，是拖尾的。偏自相關(guān)函數(shù)

(partialautocorrelationfunction)

三種隨機(jī)過程偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)

白噪聲MA(1)Yt

＝

t

＋0.5

t－1MA(1)的ACF和PACFAR(1)Yt=0.6Yt-1+

tAR(1)的ACF和PACFARMAYt=-0.7Yt-1+

t-

0.7

t-1ARMA過程的ACF和PACFARMA模型的性質(zhì)平穩(wěn)條件可逆條件模型間相互變換線性ARMA(p,q)模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q（1）

p0，

q0（2）滿足平穩(wěn)條件(stationary)（3）滿足可逆條件(invertible)（4）沒有公共因子(nocommonfactor)(5)滯后算子滯后算子(Lagoperators),用L表示,代表滯后運(yùn)算:LYt=Yt-1

滯后算子(1)L(LYt)=L(Yt-1)=Yt-2,記為L(zhǎng)2Yt=Yt-2,一般的LkYt=Yt-k(2)與乘法可交換L(aYt)=a(LYt)(3)加法可分配L(Yt+Xt)=LYt+LXt(4)對(duì)常數(shù)列的運(yùn)算等于他自身Lc=c(5)1Yt=Yt(6)

滯后算子的逆運(yùn)算|<1時(shí)(1-

L)-1=1+L+2L2+…+kLk

…,|||>1時(shí),(1-

L)-1=--1L-1(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)一個(gè)例子Yt=0.5Yt-1-0.04Yt-2+

t-0.6

t-1+0.05

t-2Yt=0.5LYt-0.04L2Yt+

t-0.6L

t+0.05L2

tYt-0.5LYt+0.04L2Yt=

t-0.6L

t+0.05L2

t(1-0.5L+0.04L2)Yt=(1-0.6L+0.05L2)

tARMA模型：用滯后算子表示

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q用滯后算子表示為：在這種表達(dá)式下，討論公因子，平穩(wěn)條件和可逆條件ARMA模型：沒有公因子例如下面的模型Yt=0.5Yt-1-0.04Yt-2+

t-0.6

t-1+0.05

t-2（1－0.1L）(1-0.4L)Yt=（1－0.1L）(1-0.5L)

t有公共因子，去掉公共因子，得到簡(jiǎn)化后的模型(1-0.4L)Yt=(1-0.5L)

t

Yt-0.4Yt-1=

t-0.5

t-1Yt=0.4Yt-1+

t-0.5

t-1平穩(wěn)條件例題下面的AR（2）模型是否滿足平穩(wěn)條件？

t=0.6

t-1-0.08

t-2+

t(1-0.6L+0.08L2)

t=

t特征方程:1-0.6z+0.08z2=0解方程，(1-0.2z)(1-0.4z)=0得到根為5和2,都在單位圓外，所以滿足平穩(wěn)條件。

或者，特征方程修改如下：令

z=1/

,代入剛才的特征方程：1-0.6(1/

)+0.08(1/

2)=0

兩邊乘以2

2-0.6

+0.08=0根為0.4和0.2,都在單位圓內(nèi)，滿足平穩(wěn)條件。ARMA模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q用滯后算子表示為：ARMA模型：平穩(wěn)條件特征方程如下：

(z)=1-

1z-

2z2-…

pzp=0特征方程的根在單位圓外，滿足平穩(wěn)條件?；蛘撸卣鞣匠瘫硎緸椋?/p>

p-

1

p-1-

2

p-2+…-

p=0如果特征方程的根在單位圓內(nèi)，則模型平穩(wěn)。使得模型滿足平穩(wěn)條件的參數(shù)所在的范圍為平穩(wěn)域.注：平穩(wěn)性只與自回歸系數(shù)

1,…，

p有關(guān)，與滑動(dòng)平均系數(shù)無關(guān)。為什么要滿足平穩(wěn)條件？MA(q)有限階數(shù)的MA模型一定滿足平穩(wěn)條件,因?yàn)槭怯邢迋€(gè)白噪聲的線性組合，根據(jù)平穩(wěn)定義很容易證明滿足平穩(wěn)條件。

t=

t+

1

t-1+…+

q

t–q為什么要滿足平穩(wěn)條件？AR(p)模型與AR(p)過程的區(qū)別：模型是表達(dá)式本身，例如隨機(jī)差分方程：

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t該方程或者表達(dá)式就是模型。把一個(gè)隨機(jī)過程帶入上面的方程，使得左右兩邊相等的隨機(jī)過程稱為該隨機(jī)差分方程的解，所以隨機(jī)過程是模型的解，一個(gè)模型可能有無窮個(gè)解。為什么要滿足平穩(wěn)條件？

t=

t-1+

t觀察如下的隨機(jī)過程：a

t+

t+

t-1+2

t-2+…表示為t期前確定量和白噪聲的線性組合。帶入AR(1),可以使得方程左右相等，是方程的解。對(duì)任意a，結(jié)論都成立，a取不同的值對(duì)應(yīng)不同的隨機(jī)過程，因此AR(1)模型對(duì)應(yīng)著無窮多個(gè)解。我們希望一個(gè)模型對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)過程。|

|<1時(shí)存在一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程是隨機(jī)差分方程的解，即a=0的時(shí)候，而且可以證明滿足該模型平穩(wěn)隨機(jī)過程是唯一的?？赡鏃l件

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q用滯后算子表示為：

(L)Yt=(L)t可逆指的把模型表示成AR模型的形式，因此AR模型一定可逆。ARMA模型可逆條件模型可逆條件

(z)=1＋

1z＋

2z2＋…＋

qzq=0方程的根在單位圓外，滿足可逆條件。同樣另外的判斷方程

q＋

1

q-1

＋

2

q-2＋…＋

q=0該方程的根在單位圓內(nèi)，滿足可逆條件?？赡嫘灾慌c滑動(dòng)平均部分的系數(shù)有關(guān)，與自回歸部分的系數(shù)無關(guān)。為什么要滿足可逆條件？

t=

t-0.5

t-1

t=

t-2

t-1以上兩個(gè)模型有完全相同的自相關(guān)函數(shù)。

0=1

1=

/(1+

2)=(1/)/(1+(1/)2)

k=0,k>1滿足可逆條件時(shí)，可以利用歷史觀測(cè)計(jì)算得到擾動(dòng)項(xiàng)的值

t=(1-0.5L)t(1-0.5L)-1

t=

t(1-

L)-1=1+L+2L2+…+kLk

…,||<1時(shí)(1-

L)

(1+L+2L2+…+kLk

…)=1+L+2L2+…+kLk

…-L-2L2-…-kLk-k+1Lk+1…(1+0.5L+0.52L2+…)

t=

t

t+0.5

t-1+0.52

t-2+…=

t

t=(1-2L)t(1-2L)-1

t=

t||>1時(shí),(1-

L)-1=--1L-1(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)(--1L-1)(1-

L)

(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)=1--1L-1(1+-1L-1+-2L-2+…+-kL-k

…)

t=

t-0.5

t+1-0.25

t+2-…=

t無窮階滑動(dòng)平均過程MA（q）可以用求和的形式表示

無窮階滑動(dòng)平均過程，記為MA(

)無窮階滑動(dòng)平均過程無窮階滑動(dòng)平均過程是否一定平穩(wěn)呢?不是.何時(shí)平穩(wěn)呢?下面是一個(gè)充分條件:無窮階自回歸過程AR（p）可以用求和的形式表示

無窮階自回歸過程，記為AR(

)

ARMA模型表示成MA(

)

t=c+

1

t-1+

t+

1

t-1(1-

1L)

t=c+(1+

1L)

t

t=(1-

1L)-1c+(1-

1L)-1(1+

1L)

t

t=+(1+1L+21L2+…)(1+

1L)

tARMA模型表示成AR(

)

t=c+

1

t-1+

t+

1

t-1(1-

1L)

t=c+(1+

1L)

t(1+

1L)-1(1-

1L)

t=(1+

1L)-1c+

t三個(gè)模型的關(guān)系MA,AR,和ARMA滿足平穩(wěn)可逆條件時(shí)，三者可以相互轉(zhuǎn)化AR（p）——MA（

）:Yt=

(L)-1c+

(L)-1

t

t前的系數(shù)稱為格林函數(shù)或記憶函數(shù)MA（q）——AR（

）:

(L)-1Yt=

(L)-1c+

tYt前的系數(shù)稱為逆函數(shù)ARMA（p，q）——MA（

）:Yt=

(L)-1c+

(L)-1

(L)

t=

(L)-1c+

(L)/

(L)

tARMA（p，q）——AR（

）:

(L)-1

(L)Yt=

(L)-1c+

t線性ARMA(p,q)模型

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t+

1

t-1+…+

q

t–q（1）

p0，

q0（2）滿足平穩(wěn)條件(stationary)（3）滿足可逆條件(invertible)（4）沒有公共因子(nocommonfactor)(5)ARIMA（p,d,q)過程和模型

隨機(jī)過程不平穩(wěn)時(shí)對(duì)不平穩(wěn)的隨機(jī)過程差分d次后平穩(wěn)，注意不要過渡差分，差分以后滿足一個(gè)ARMA(p,q)模型，則沒有差分前的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型，滿足該模型的隨機(jī)過程稱為ARIMA過程。AutoRegressionIntegratedMovingAverage（自回歸滑動(dòng)平均求和模型或過程）線性ARMA模型-3建立ARMA模型WOLD分解定理(1938)任意完全非確定平穩(wěn)隨機(jī)過程，可以表示成線性濾波的形式：其中系數(shù)絕對(duì)可和：Yt=

t+1Lt-1+1L2

t-2+…Yt=(1+1L+2L2+….)tYt=(1+1L+2L2+….)tBox-Jenkins假設(shè)有理滯后算子多項(xiàng)式的比率去近似無窮階的滯后算子多項(xiàng)式它F(L)-1

(L)≈

(L)(1+1L+2L2+….)=[(1+1L+…+qLq)/(1-1L-…-pLp)]Yt=[(1+1L+…+qLq)/(1-1L-…-pLp)]t(1-1L-…-pLp)Yt

=(1+1L+…+qLq)t因此平穩(wěn)隨機(jī)過程可以用ARMA(p,q)模型來表示。建模步驟判斷數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)：如果數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，采用差分的方法得到平穩(wěn)的時(shí)間序列，數(shù)據(jù)平穩(wěn)后進(jìn)行下面的步驟；定階：確定滯后長(zhǎng)度p，q的大??；估計(jì)：估計(jì)模型的未知參數(shù)；檢驗(yàn)：檢驗(yàn)殘差是否是白噪聲過程；預(yù)測(cè)：選擇模型和利用模型對(duì)未來做預(yù)測(cè)。平穩(wěn)化判斷數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)從圖形看不重復(fù)穿越一條水平線，或者有明顯的趨勢(shì)樣本自相關(guān)函數(shù)收斂速度慢正式的單位根檢驗(yàn)（后面章節(jié)介紹）bondrate定階定階兩種方法:根據(jù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)根據(jù)信息準(zhǔn)則

AC

PACMA截尾拖尾AR拖尾截尾ARMA拖尾拖尾定階樣本自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算和判斷定階

定階

t=c+

11

t-1+

1t

t=c+

12

t-1+

22

t-2＋

2t

t=c+

1k

t-1+

2k

t-2＋

3k

t-3+…+

kk

t-k

＋

kt…用OLS法估計(jì)上面的方程

11是1階樣本偏自相關(guān)系數(shù)；

22是2階樣本偏自相關(guān)系數(shù),以此類推。

定階

定階

例題假設(shè)有T=100,計(jì)算得到樣本自相關(guān)系數(shù)如下：123450.207,-0.213,0.086,0.005,-0.022.請(qǐng)判斷自相關(guān)系數(shù)的顯著性。答案：自相關(guān)函數(shù)2步截尾。定階方法二：信息準(zhǔn)則評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣信息準(zhǔn)則AIC和BIC準(zhǔn)則對(duì)自由度進(jìn)行調(diào)整k是模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù),et是估計(jì)出的誤差

Akaike’sinformationcriterion赤池和SchwartzBayesianinformationcriterion(SBC,SC,BIC)施瓦茲

定階：AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則對(duì)AIC和BIC求自然對(duì)數(shù)：AIC（p，q）=ln()+2(p+q)/TBIC（p，q）=ln()+(p+q)ln(T)/TT樣本長(zhǎng)度，如果有常數(shù)項(xiàng)p+q被p+q+1代替，ln表示自然對(duì)數(shù)。在ARMA模型中需要選擇p和q，所以用p+q代替k。是對(duì)噪聲項(xiàng)方差的估計(jì)AIC和BIC判斷步驟（1）給定滯后長(zhǎng)度的上限P和Q，例如取為T/10，ln（T），,或根據(jù)樣本ACF和樣本PACF判斷。（2）假設(shè)樣本區(qū)間1,…,T,把樣本區(qū)間修改到P+1,…,T。（3）對(duì)任意一對(duì)滯后長(zhǎng)度p=0，1，…，P，q=0，1，…，Q，分別估計(jì)模型ARMA（p，q）（4）帶入上面的公式，計(jì)算出AIC(p，q)和BIC(p，q)（5）最小值對(duì)應(yīng)的p，q值作為ARMA模型的階數(shù)。用AIC和BIC準(zhǔn)則確定階數(shù)AIC準(zhǔn)則--------MA(1)

q0123P0-7.415-7.455-7.426-7.3731-7.39-7.395-7.422-7.2722-7.433-7.383-7.174-7.221用AIC和BIC準(zhǔn)則確定階數(shù)BIC--------白噪聲

q0123P0-7.415-7.411-7.338-7.2391-7.346-7.251-6.998-7.0012-7.345-7.251-6.998-7.001AIC和BIC準(zhǔn)則選擇滯后長(zhǎng)度存在以下缺陷：1）選擇不同的準(zhǔn)則具有主觀任意性，不同準(zhǔn)則得出矛盾的結(jié)論。BIC準(zhǔn)則的大樣本(滿足一致性)性質(zhì)比AIC好，小樣本下AIC的性質(zhì)優(yōu)于BIC，一般AIC確定的階數(shù)大于BIC。2）選擇方法是確定一個(gè)滯后長(zhǎng)度的上限P和Q，如果實(shí)際的滯后長(zhǎng)度大于P或Q，那我們就得不到正確的滯后長(zhǎng)度。其他定階方法很多信息準(zhǔn)則，可以使用多種信息準(zhǔn)則定階，采用大多數(shù)原則，選擇大多數(shù)信息準(zhǔn)則確定滯后長(zhǎng)度。例如7個(gè)準(zhǔn)則中有4個(gè)定階3，那么選滯后長(zhǎng)度3.還有一種定階使用t檢驗(yàn)，給出一個(gè)比較大的滯后長(zhǎng)度，檢查最后一個(gè)系數(shù)是否顯著，不顯著則滯后長(zhǎng)度減少1.ARMA模型參數(shù)估計(jì)極大似然估計(jì):以AR(1)為例

t=c+

t-1+

t

假設(shè)

~i.i.d.N(0,

2)估計(jì):

=(c,

,

2)’

已知:y1,y2,…,yTE(

1)=c/(1-

)E(

1-

)2=

2/(1-

2)極大似然估計(jì)當(dāng)

1的觀測(cè)已知時(shí)，

2的條件分布

2=c+

1+

2

（

2|

1=y1）~N(c+

y1,

2)極大似然估計(jì)Y1,Y2的聯(lián)合分布密度函數(shù)，是條件密度和邊際密度相乘f

2，Y1(y2，y1;

)=f

2|Y1(y2|y1;

)f

1

(y1;

)類似的，已知y1,y2，

3的條件分布

3=c+

2+

3~N(c+

y2,

2)

極大似然估計(jì)三者的聯(lián)合分布f

3，

2，Y1(y3，y2，y1;

)=f

3|Y2，Y1(y3|y2，y1;

)f

2|Y1(y2|y1;

)f

1

(y1;

)一般給定y1,y2,…yt-1，

t=c+

t-1+

t~N(c+

yt-1,

2)

t的條件分布只和yt-1有關(guān)

極大似然估計(jì)f

t,Yt-1，…,Y1(yt,yt-1，…,y1;

)=f

1

(y1;

)f

t|Yt-1(yt|yt-1;

)極大似然估計(jì)估計(jì)：滿足下面的條件的解求解未知參數(shù)的方程是非線性的，如果只關(guān)心（

2，…，

T）的條件聯(lián)合分布，得到條件極大似然函數(shù)。極大似然估計(jì)假設(shè)觀測(cè)值是y0,y-1…,y-P+1,y1,…,yT假設(shè)

0＝

－1＝…=

－q+1=0以初始值y0,y-1…,y-P+1和

0，

－1，…，

－q+1為條件，對(duì)t＝1，2，…，T，對(duì)數(shù)條件似然函數(shù)是使用對(duì)數(shù)條件似然函數(shù)對(duì)每個(gè)未知參數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，令其等于0，這時(shí)方程組是線性方程組，易于求解。對(duì)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋z驗(yàn)檢驗(yàn)殘差是否是白噪聲過程1）畫出殘差的SACF,SPACF2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量QBox-PierceQ-檢驗(yàn)LjungandBox

Q檢驗(yàn)1）H0：

1=

2=…

m=0，即{

t}是白噪聲過程2）m主觀給定，一般在15到30之間，可令m=T1/23)當(dāng)零假設(shè)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Q漸進(jìn)(asymptoticallydistributed)服從

2（m-p-q），如果模型中包括常數(shù)項(xiàng)，那么Q漸進(jìn)服從

2（m-1-p-q）4)當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的值>臨界值時(shí)，拒絕零假設(shè)。5）Q檢驗(yàn)的缺陷是，經(jīng)常不能拒絕零假設(shè)。把不是白噪聲時(shí)，也誤認(rèn)為是白噪聲。

檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)圖示真實(shí)臨界值計(jì)算值卡方分布臨界例題例m=6，模型中有常數(shù)項(xiàng)，考慮下面的幾個(gè)模型，哪個(gè)模型是合格的模型？給出其它幾個(gè)模型Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的自由度。(p+q)Q自由度P-value(1,0)15.926-1-0-10.019(2,0)11.8230.249(0,1)4.1240.139(0,2)6.9430.21(1,1)7.9430.047預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)－基本概念模擬預(yù)測(cè)事后預(yù)測(cè)事前預(yù)測(cè)樣本內(nèi)樣本外1100110假設(shè)收集到N個(gè)數(shù)據(jù)，使用1到T來估計(jì)模型.對(duì)N時(shí)刻以后預(yù)測(cè)事前預(yù)測(cè)；對(duì)T到N預(yù)測(cè)事后預(yù)測(cè)或樣本外預(yù)測(cè)；對(duì)1到T之間的預(yù)測(cè)是模擬，或擬和。1TN預(yù)測(cè)－基本概念假設(shè)時(shí)刻T之前的所有數(shù)值YT,YT-1,…,Y1,…h(huán)步預(yù)測(cè)：預(yù)測(cè)變量YT+h，h>0，稱為h-步預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)估計(jì)量：用表示基于T時(shí)刻之前的觀測(cè)對(duì)YT+h的預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)誤差估計(jì)量：預(yù)測(cè)均方誤差,記為MSE()預(yù)測(cè)最優(yōu)預(yù)測(cè)：選擇合適的函數(shù)形式，使得預(yù)測(cè)均方誤差最小的預(yù)測(cè)是最優(yōu)預(yù)測(cè)?？梢宰C明求YT+h基于YT,YT-1,…，Y1，…的條件期望是使均方誤差最小的預(yù)測(cè)，條件期望表示為：E（YT+h|YT,YT-1,…，Y1…）=預(yù)測(cè)值的計(jì)算

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+不可能知道T時(shí)刻前的所有觀測(cè)，觀測(cè)值是YT,YT-1,…Y1，所以是近似預(yù)測(cè)。假設(shè)參數(shù)已知，實(shí)際只能用估計(jì)的參數(shù)代替真實(shí)參數(shù)。預(yù)測(cè)是遞推進(jìn)行例題

預(yù)測(cè)值的計(jì)算AR（1）模型的h步預(yù)測(cè)收斂到

t的均值

t=c+

t-1+

t例題

殘差的計(jì)算

t=0.2+

t+0.7

t-1

t=

t-0.2-0.7

t-1

1=

1-0.2-0.7

0

假設(shè)

0=0

2=

2-0.2-0.7

1

…

T-1=

T-1-0.2-0.7

T-2

T=

T-0.2-0.7

T-1

T+1

T+2未知，用條件期望代替預(yù)測(cè)值的計(jì)算MA(q)模型的h步預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)值的計(jì)算計(jì)算殘差的估計(jì)值，假設(shè)0,

-1,…

-q+1=0根據(jù)下面的公式遞推計(jì)算：預(yù)測(cè)值的計(jì)算ARMA（1，1）模型的預(yù)測(cè)收斂到均值

t=c+

1Yt-1+

t+

1

t-1

預(yù)測(cè)值的計(jì)算殘差的計(jì)算與MA模型類似，以ARMA(1,1)為例。

1=

1-c-

1Y0-

1

0假設(shè)

0=0，

0已知。所以實(shí)際用的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為T+1個(gè)；如果

0未知，用樣本均值代替。

2=

2-c-

1Y1-

1

1…

T=

T-c-

1YT-1-

1

T-1預(yù)測(cè)值的計(jì)算1－步預(yù)測(cè)2－步預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)值的計(jì)算一般預(yù)測(cè)公式預(yù)測(cè)置信區(qū)間ARMA模型表示成MA（

）模型

t-

=

t+

1

t-1+

2

t-2+…

T+h-

=

T+h+

1

T+h-1+…+

h-1

T+1

+

h

T+

h+1

T-1+…h(huán)步預(yù)測(cè)是在基于T時(shí)刻前的信息求條件期望，結(jié)果如下：

預(yù)測(cè)置信區(qū)間預(yù)測(cè)誤差：

預(yù)測(cè)方差一步預(yù)測(cè)方差等于殘差的方差。預(yù)測(cè)方差隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增加越來越大。預(yù)測(cè)方差趨于Y的無條件方差預(yù)測(cè)的置信區(qū)間95％置信水平下，h－步預(yù)測(cè)的置信區(qū)間，假設(shè)服從正態(tài)分布

樣本外預(yù)測(cè)靜態(tài)預(yù)測(cè)滾動(dòng)預(yù)測(cè)遞推預(yù)測(cè)靜態(tài)預(yù)測(cè)與動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)

滾動(dòng)預(yù)測(cè)和遞推預(yù)測(cè):假設(shè)收集到數(shù)據(jù)95：1：1到99：12：10。使用95：1：1到99：11：30估計(jì)模型，對(duì)99：12：1－99：12：10日的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。靜態(tài)預(yù)測(cè)在預(yù)測(cè)時(shí)，把99：12：1到99：12：9日的真實(shí)觀測(cè)值帶入預(yù)測(cè)公式即可。

樣本外預(yù)測(cè)滾動(dòng)預(yù)測(cè)是滾動(dòng)估計(jì)區(qū)間，然后進(jìn)行1－步預(yù)測(cè)，遞推預(yù)測(cè)是不斷增加估計(jì)樣本區(qū)間，然后進(jìn)行1－步預(yù)測(cè)，例如：預(yù)測(cè)

滾動(dòng)估計(jì)樣本范圍

遞推估計(jì)樣本范圍195：1：1－99：11：3095：1：1－99：11：30295：1：2－99：12：195：1：1－99：12：1395：1：3－99：12：295：1：1－99：12：2預(yù)測(cè)的評(píng)價(jià)

1)均方根誤差2)均方誤差3)平均絕對(duì)百分比誤差4)建立回歸模型，如果預(yù)測(cè)準(zhǔn)確截距等于0，斜率等于1預(yù)測(cè)的評(píng)價(jià)(5)平均誤差(6)平均絕對(duì)誤差(7)均方根百分比誤差RMSPE=（8）正確預(yù)測(cè)的百分率

與這個(gè)概率接近的一個(gè)指標(biāo)是符號(hào)正確百分率:

%符號(hào)正確百分率=

其中 zt+s=1如果(yt+s.ft,s)>0

zt+s=0否則

預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)MSE=0.079,MAE=0.180,符號(hào)正確百分率=40%預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)的例子對(duì)模型的評(píng)價(jià)總結(jié)殘差是否是白噪聲預(yù)測(cè)是否準(zhǔn)確是否有最小的AIC或BIC是否有更簡(jiǎn)單的模型是否有直觀意義和經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)金融時(shí)間序列模型第4章波動(dòng)率模型自回歸條件異方差模型金融衍生市場(chǎng)，計(jì)算期權(quán)等衍生工具的價(jià)格需要了解股票的波動(dòng)率金融風(fēng)險(xiǎn)管理,度量金融風(fēng)險(xiǎn)的大小，計(jì)算VaR。改進(jìn)參數(shù)估計(jì)量的有效性，提高預(yù)測(cè)區(qū)間的精確度。

自回歸條件異方差模型

ARCH(1):

t~i.i.d.是獨(dú)立同分布白噪聲過程

0>0,

1

0,1

<1

方差方程：

AR（1）-ARCH（1）模型

自回歸條件異方差模型金融資產(chǎn)收益率的一個(gè)特征是日收益率不存在或只存在微弱的相關(guān)性，但是日收益率的平方存在相關(guān)性，即收益率序列不相關(guān)但是也不獨(dú)立,就是ARCH過程。不相關(guān)也不獨(dú)立

ARCH過程的性質(zhì)該過程表明,如果

t-1異常的偏離他的條件期望0,那么

t的條件方差要比通常情況下大,所以有理由預(yù)期

t會(huì)比較大.這樣使得比較大,反之,如果

t-1異常的小,那么條件方差要比通常情況下小,所以有理由預(yù)期

t會(huì)比較小.這樣使得比較小.雖然方差大或小會(huì)持續(xù)一端時(shí)間,但是不會(huì)一直持續(xù)下去,會(huì)回到無條件方差上去.ARCH過程性質(zhì)無條件期望和無條件方差

一般的ARCH(q)模型

ARCH(q)是加權(quán)平均對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)

ARCH(q):

t~i.i.d.是獨(dú)立同分布白噪聲過程

0>0,

j

0,j=1,…q,1

+…+q<1

ARCH過程缺點(diǎn)總結(jié)不能反應(yīng)波動(dòng)率的非對(duì)稱特點(diǎn)約束強(qiáng)，要求系數(shù)非負(fù)，如果要求高階矩存在，還有更多的約束不能解釋為什么存在異方差，只是描述了條件異方差的行為。建立ARCH模型建立ARCH模型一、建立收益率序列的計(jì)量模型，去掉任何線性關(guān)系，使用估計(jì)的殘差檢驗(yàn)ARCH效果二、估計(jì)模型三、檢驗(yàn)ARCH模型，根據(jù)情況修改模型。

建立模型一、建立均值方程：

建立模型根據(jù)均值方程計(jì)算殘差，然后檢驗(yàn)殘差是否存在條件異方差

觀察殘差平方的偏自相關(guān)函數(shù)，如果q步截尾，則階數(shù)為q對(duì)殘差平方使用Q檢驗(yàn)，判斷是否存在自相關(guān)使用ARCH-LM檢驗(yàn)ARCH-LM檢驗(yàn)

零假設(shè)H0：

1=

2…=

q=0，

即不存在條件異方差性

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

LM=TR2,T是樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),LM服從

2(q)分布

建立模型二、估計(jì)模型

建立模型三、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后的殘差{et/ht1/2}，根據(jù)定義應(yīng)該獨(dú)立同分布N(0,1)使用Q-檢驗(yàn)法檢驗(yàn){et/ht1/2}是否有自相關(guān)使用Q-檢驗(yàn)法檢驗(yàn){e2t/ht}是否有自相關(guān)ARCH模型對(duì)條件方差的預(yù)測(cè)

其他ARCH類模型

GARCHEGARCHTGARCHARCH-M(ARCH-in-Mean)GARCH（p,q）

廣義自回歸條件異方差模型

GARCH(1,1)GARCH模型由來

例ARMA(2,1)-GARCH(1,2)

例ARMA(1,2)—GARCH(2,2)

GARCH性質(zhì)1)GARCH模型的含義是條件方差ht是ht-1,…h(huán)t-p和

t-1,

t-q的函數(shù)。2)當(dāng)p=0時(shí),成為ARCH模型,ARCH模型是GARCH的特例，這也是該模型被稱為廣義的原因。3)參數(shù)

i,i=1,2,…,q和

i,i=1,2,…,p大于零是保證條件方差為正的充分條件,而不是必要條件。4){

2t}平穩(wěn)的條件是

1+…+

q+

1+…+

p<1，這時(shí){

t}也是寬平穩(wěn)的。如果

1+…+

p+

1+…+

p=1則{

t}過程被稱為I-GARCH模型。這時(shí)條件方差的特點(diǎn)，或者說波動(dòng)性的特點(diǎn)為很強(qiáng)的持續(xù)性。5)GARCH（p,q）模型等價(jià)于ARCH(

)，經(jīng)常使用GARCH(1,1)GARCH預(yù)測(cè)GARCH(1,1)的預(yù)測(cè)公式

ARMA和GARCH過程的比較性質(zhì)白噪聲i.i.d.ARMAGARCHARMA-GARCH條件均值條件方差條件分布無條件均值無條件方差無條件分布0常數(shù)正態(tài)0常數(shù)正態(tài)非常數(shù)常數(shù)正態(tài)常數(shù)常數(shù)正態(tài)0非常數(shù)正態(tài)0常數(shù)厚尾非常數(shù)非常數(shù)正態(tài)常數(shù)常數(shù)厚尾EGARCH

指數(shù)廣義自回歸條件異方差模型

>0同等程度的正擾動(dòng)引起條件方差的變化比負(fù)擾動(dòng)要大；

<0同等程度的正擾動(dòng)引起條件方差的變化比負(fù)擾動(dòng)要小;

=0同等程度的正擾動(dòng)引起條件方差的變化與負(fù)擾動(dòng)相等。

EGARCH模型1）重要特征是引入不對(duì)稱性。2）參數(shù)沒有大于0的約束，因?yàn)閷?duì)求對(duì)數(shù)后的條件方差建模，可以保證方差為對(duì)數(shù)。3）可以假設(shè)

t~廣義誤差分布，廣義誤差分布中參數(shù)r=2時(shí)對(duì)應(yīng)正態(tài)分布，r<2時(shí)對(duì)應(yīng)尖峰分布，r>2時(shí)對(duì)應(yīng)扁峰分布。TGARCH模型

新聞響應(yīng)曲線

newsimpactcurveARCHinMean(ARCH-M)

例題

研究臺(tái)灣新臺(tái)幣/美圓匯率。即1美圓=------臺(tái)幣。

數(shù)據(jù)區(qū)間1994：11，16——1995：3，8，每5分鐘記錄一次，共1341個(gè)樣本點(diǎn)。問題：匯率是否是可預(yù)測(cè)的？匯率市場(chǎng)波動(dòng)是否是不對(duì)稱的？是否風(fēng)險(xiǎn)越大，要求的收益率越大？例題要回答問題1，需要采用AR模型，檢驗(yàn)是否是一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)；回答問題2和3要用到EGARCH模型；問題4用到ARCH-M模型。所以采用AR-EGARCH-Mlnpt=lnpt-1+utlnpt-lnpt-1=utrt=ut例題AR-EGARCH-M首先介紹一些符號(hào)用St表示匯率。Rt=(lnSt-lnSt-1)*100是匯率的收益率

00.0080.068H0:

0=0

1-0.625-3.479*H0:

1=0

2-0.1079-4.965*H0:

2=0

3-0.1055-5.37*H0:

3=0

-0.0048-1.916*H0:

=0

10.959463.266*H0:

1=0

-0.3766-1.6553H0:

=0

00.2912-3.291*H0:

0=0

10.1196-2.683*H0:

1=0例題如何利用模型解決問題？

匯率是否是可預(yù)測(cè)的？

H0：

1=0，

2=0，

3=0

匯率市場(chǎng)是否是不對(duì)稱的？

H0:

=0

是否風(fēng)險(xiǎn)越大，要求的收益率越大

H0:

=0風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值ValueatRisk金融機(jī)構(gòu)通常這樣描述：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值是一定數(shù)額的貨幣，是對(duì)未來的可能損失的估計(jì)。例如某銀行宣布，“在99%的置信水平下，一天內(nèi)他的資產(chǎn)的VaR是350萬(wàn)元”具體說是這樣一個(gè)數(shù)額的貨幣，預(yù)期一個(gè)交易日后，損失超過該數(shù)額貨幣的可能性是1%P(損失>VaR)=

，是顯著水平P(損失<VaR)=1-，1－是置信水平

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值概念要素：置信水平；時(shí)間長(zhǎng)度;損失：用絕對(duì)損失或比率;資產(chǎn)組合損益的可能取值損失的概率密度1％風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量方法歷史模擬法基于ARCH模型進(jìn)行計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算原理初始投資額W0持有期末投資資產(chǎn)的價(jià)值W持有期的收益率RW=W0(1+R)到期財(cái)富小于W*的概率是，即顯著水平下，最低的價(jià)值W*（或相應(yīng)的最小的收益率是R*）W*=W0(1+R*)VaR=W0-W*=-W0R*估計(jì)VaR-單個(gè)股票資產(chǎn)的歷史模擬法假設(shè)有n個(gè)收益率第K個(gè)最小的收益率K=n*

VaR=-S*R(K)如果K不是整數(shù)歷史模擬法例：有6329個(gè)樣本值，估計(jì)5％水平下VaR第一步：由小到大把收益率排序r(1)<r(2)<…<r(6329)第二步：計(jì)算KK=6329*0.05=316.45不是整數(shù)，與它最接近的兩個(gè)整數(shù)是316<K<317歷史模擬法與316對(duì)應(yīng)的概率為p1=316/6329；與317對(duì)應(yīng)的概率為p2=317/6329r(316)=-4.237%;r(317)=-4.22%帶入前面的公式x(0.05)=0.55r(316)+0.45r(317)=-4.229%假設(shè)初始投資100萬(wàn)，VaR=-100*(-4.229%)=42290元單個(gè)股票收益率服從N(,2)與

對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)當(dāng)＝0.05時(shí)，＝－1.65當(dāng)＝0.01時(shí)，＝－2.33與

對(duì)應(yīng)的收益率的分位數(shù)S表示股票的現(xiàn)值風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值＝J.P.MORGAN的RiskMetricsTM

使用連續(xù)日收益率rt

假設(shè)日收益率的條件分布是正態(tài)分布rt|It-1~N(

t,ht)并且近一步假設(shè)rt＝0+

t，h

t＝

h

t－1＋（1－

）r2t－1，1>

>0,h0等于樣本方差.

J.P.MORGAN的RiskMetricsTM該方法的簡(jiǎn)單之處在于容易計(jì)算多期收益率，計(jì)算t+1到t+k的收益率等于rt+1[k]=rt+1+…+rt+k容易證明

rt+1[k]~N(0,kht+1),其中h

t+1=ht＋(1－

)r2t

h

t+2=ht+1＋(1－

)ht+1=h

t+1J.P.MORGAN的RiskMetricsTM5%顯著水平下，一天內(nèi)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR=資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值*1.65*

t+15%顯著水平下，K天內(nèi)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR(K)=資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值*1.65*

t+1*K1/2VaR(K)=K1/2*VaR

例：AR-GARCH模型假設(shè)建立模型如下rt=0.00055-0.0246rt-1+

t

t＝vtht=0.00000289+0.91ht-1+0.0699

2t-1例假設(shè)共有1190個(gè)數(shù)據(jù)r1189=－0.00201，r1190=－0.0128，h1190=0.00033455一步預(yù)測(cè)r1190(1)=0.000865

1190=r1190-0.00055+0.0246r1189=-0.001699h1190(1)=0.0002953例5%顯著水平下，一天的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為10，000，000×[0.000865－1.65*]=-279770多元ARCH類模型多元ARCH類模型例如套期保值問題。購(gòu)買一份現(xiàn)貨價(jià)格用ln(S)表示，由于金融資產(chǎn)價(jià)格是隨機(jī)的具有一定的風(fēng)險(xiǎn)，為了減小風(fēng)險(xiǎn)，可以購(gòu)買

份的期貨價(jià)格用ln(F)表示，該資產(chǎn)組合t期的收益率滿足：Rt=

ln(St)-

ln(Ft)

基于t-1期預(yù)測(cè)收益率為：Et-1(Rt)=Et-1(

ln(St))-

t-1Et-1(

ln(Ft))多元ARCH類模型

VECH模型

VECH模型

VECH模型

BEKK模型

CCC模型

VCC模型

VCC模型

DCC模型

DCC模型

DCC模型

金融時(shí)間序列模型

第5章：向量自回歸模型向量自回歸模型定義Granger因果檢驗(yàn)脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解結(jié)構(gòu)向量自回歸模型的識(shí)別向量自回歸模型

(VectorAutoRegressionmodel)

定義definition平穩(wěn)條件stationarycondition預(yù)測(cè)forecasting

二維VAR(1)模型寫成方程組

二維VAR(1)模型寫成矩陣

更一般地，考慮一組時(shí)間序列變量：我們可以將其定義為一個(gè)n×1維向量Yt：定義：p階向量自回歸模型(過程）（p-orderVARmodelorprocess）一個(gè)p階VAR模型的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式定義為：如果維度是n，C為n×1維常數(shù)向量;為n×n維自回歸系數(shù)矩陣。為n×1維向量白噪生過程，滿足如下關(guān)系：記模型為VAR(p)，滿足上面模型的平穩(wěn)向量隨機(jī)過程稱為p階向量自回歸過程。

標(biāo)準(zhǔn)VAR模型的特點(diǎn)

charactersofstandardVAR（1）每個(gè)分量都是內(nèi)生變量(allvariablesareendogenous)（2）每個(gè)方程的解釋變量都相同，是所有內(nèi)生變量的滯后變量.(everyequationhavethesameexplainvariables,whicharepredeterminedvariables)（3）Yt的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)由它的p階滯后就可以刻畫出來，p時(shí)刻之前的變量對(duì)Yt無影響。(dynamicstructureisdeterminedbyitsplags)VAR模型優(yōu)點(diǎn)所有變量都是內(nèi)生的，不用作者去判斷，哪些變量需要設(shè)置成外生變量。VAR模型比AR模型更靈活。如果模型中只包括滯后項(xiàng)，沒有同期變量出現(xiàn)，估計(jì)方法簡(jiǎn)單，OLS就可以。預(yù)測(cè)比傳統(tǒng)的聯(lián)立方程精確。VAR模型的缺點(diǎn)沒有理論基礎(chǔ)。VAR模型不能用來進(jìn)行理論驗(yàn)證和政策評(píng)價(jià)，模型的系數(shù)缺乏對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)含義，因此往往很難解釋。VAR模型不根據(jù)理論提出，所有有可能通過數(shù)據(jù)挖掘，得到變量間虛假的關(guān)系。參數(shù)太多，模型要估計(jì)的系數(shù)個(gè)數(shù)（n+pn2),n表示變量個(gè)數(shù)，P表示滯后長(zhǎng)度。Sims,Stock,和Watson(1990)提出，非平穩(wěn)序列仍然可以放在VAR模型中，通過估計(jì)結(jié)果分析經(jīng)濟(jì)、金融含義。如果要對(duì)參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，所有變量必需是平穩(wěn)的。非平穩(wěn)時(shí)，需要建立VECM模型。通常建議對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)建立VAR模型。向量自回歸模型平穩(wěn)條件VAR(p)用滯后算子表示

向量自回歸模型平穩(wěn)條件

stationaryconditionfor