高中數(shù)學(xué)的基本解題方法

高中數(shù)學(xué)的基本解題方法根據(jù)“江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求”，高考數(shù)學(xué)既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，又考查進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所具備的基本能力，突出數(shù)學(xué)基本技能和數(shù)學(xué)思想方法的考查。在解題過程中，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得，以下重點(diǎn)介紹幾種高考必考的數(shù)學(xué)方法：配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等?！臼纠吭O(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。【解】方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。又∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－或者≤k≤。【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等?！臼纠吭O(shè)a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值?！窘狻吭O(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝∴f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0），t∈[-,]t＝-時(shí)，取最小值：－2a－2a－當(dāng)2a≥時(shí)，t＝，取最大值：－2a＋2a－；當(dāng)0<2a≤時(shí)，t＝2a，取最大值：?！鄁(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為?！咀ⅰ看祟}屬于局部換元法，設(shè)sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t∈[-,]）與sinx＋cosx對(duì)應(yīng)。待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程；由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；利用定義本身的屬性列方程；利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程?！臼纠吭O(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸較近的端點(diǎn)距離是－，求橢圓的方程。yB’

x

AFO’F’A’

B【解】設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a∴解得：∴所求橢圓方程是：＋＝1也可有垂直關(guān)系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質(zhì)推證出等腰Rt△B’O’F’，再進(jìn)行如下列式：，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ恳话愕兀馕鰩缀沃星笄€方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉(zhuǎn)換成方程→求解→已知系數(shù)代入。定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡單地說，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或n≥n且n∈N）結(jié)論都正確”。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。七、反證法反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知