陜西省西安市交大附中分校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

陜西省西安市交大附中分校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個(gè)圓柱的體積的最大值是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A解：設(shè)圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為V==

(0<h<R),,時(shí)V有最大值為。

2.已知圓C的方程為，點(diǎn)M在直線上，則圓心C到點(diǎn)M的最小距離為A.

B.

C.

D.參考答案：C3.已知函數(shù)，且，則的值是（）A.

B.

C.

D.參考答案：A：因?yàn)?，所以，所以，故選A.4.已知命題：，則是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略5.i是虛數(shù)單位，若(a,b∈R)，則lg(a+b)的值是A．-2 B． -1 C．0 D．參考答案：C6.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)R，都有成立，若，則不等式的解是（▲）。A.

B．

C．

D．參考答案：A略7.若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，，．有下列命題：①在遞減；②和存在唯一的“隔離直線”；③和存在“隔離直線”，且的最大值為；④函數(shù)和存在唯一的隔離直線．其中真命題的個(gè)數(shù)

（A）個(gè)

（B）個(gè)

（C）個(gè)

（D）個(gè)參考答案：C8.經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y=0的圓心且與直線2x﹣y=0平行的直線方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0參考答案：A【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，直線的斜率，然后求解直線方程即可．【解答】解：圓x2+y2﹣2x+2y=0的圓心（1，﹣1），與直線2x﹣y=0平行的直線的斜率為：2，所求直線方程為：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．9.若變量x，y滿足約束條件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n等于A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示，由，得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)有最大值，由，解得，所以，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值，由，解得，所以，所以，故選B.

10.某醫(yī)務(wù)人員說：“包括我在內(nèi)，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護(hù)士共有16名．無論是否把我算在內(nèi)．下面說法都是對(duì)的，在遮些醫(yī)務(wù)人員中：護(hù)士多于醫(yī)生；女醫(yī)生多于女護(hù)士；女護(hù)士多于男護(hù)。士；至少有一名男醫(yī)生，”請(qǐng)你推斷說話的人的性別與職業(yè)是A．男醫(yī)生

B．男護(hù)士

C．女醫(yī)生

D．女護(hù)士參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x，y滿足約束條件的最小值是

.參考答案：12.已知正數(shù)x、y，滿足＝1，則x＋2y的最小值

.參考答案：1813.等比數(shù)列（）中，若，，則

.參考答案：64在等比數(shù)列中，，即，所以，。所以。14.（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，CD⊥AB于點(diǎn)D，且AD＝3DB，設(shè)∠COD＝，則＝＿＿＿參考答案：15.已知，且，則的值是

.參考答案：答案：

16.在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩數(shù)m，n（m≠n），則橢圓的離心率大于的概率是

．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，我們易求出該基本事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的大小，再求了滿足條件橢圓的離心率大于對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．【解答】解：區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)計(jì)為（m，n），則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示的正方形，當(dāng)m＞n時(shí)，橢圓的離心率e=＞，化簡(jiǎn)得，m＞2n；當(dāng)M＜n時(shí)，橢圓的離心率e=＞，化簡(jiǎn)得，n＞2m；故其中滿足橢圓的離心率大于時(shí)，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示：其中正方形面積S=4，陰影部分面積S陰影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，其中計(jì)算出總的基本事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關(guān)鍵．17.在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC=90°，將△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，則C－DAB三棱錐的外接球的體積為-________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知角是的內(nèi)角，分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，且.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)的對(duì)邊，求面積的最大值.參考答案：（1）；（2）.

略19.已知函數(shù).（Ⅰ）若不等式的解集為，，求的取值范圍；（Ⅱ）若為整數(shù)，，且函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)對(duì)任意的x∈，有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）由題知------2分，∈（2，+∞）----4分（Ⅱ）時(shí)，f(x)=－2x+1,零點(diǎn)為，不合，舍去；------1分時(shí)，∵∴

，，∴函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，∴------4分，又，∴

----6分（Ⅲ），，整理得

--------2分令H(x)=，，在（1，+∞）上單調(diào)增，又，>0,-----4分

∴H(x)=在（1，+∞）單調(diào)增，，k≥1,k的最小值為1.----6分略20.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，使成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）寫出函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，列表即可寫出函數(shù)的極值（2）原不等式成立可轉(zhuǎn)化為，而通過換元令，可求其最大值為1，原題轉(zhuǎn)化為存在，，即，利用導(dǎo)數(shù)求，的最小值即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令，得，列表得--0+極小值

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為；無極大值.（2）若，使成立由（1）知，，所以，令，則原式的最大值為1，故存在，，即，化，令，，則.對(duì)于函數(shù)，（），，當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，最小值為，所以，的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式成立的問題，涉及存在性問題，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求其最大最小值問題，換元法，屬于難題.此類問題要注意理解存在性和恒成立的差別，結(jié)合具體問題實(shí)現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值是關(guān)鍵.21..已知為橢圓上兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且斜率為的兩條直線與橢圓M的交點(diǎn)分別為B，C.（Ⅰ）求橢圓M的方程及離心率；（Ⅱ）若四邊形PABC為平行四邊形，求k的值．參考答案：（Ⅰ），離心率；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由題列a,b方程組，即可求解橢圓方程，再由a,b,c關(guān)系，求解離心率；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立消去y,得x的方程，求點(diǎn)B坐標(biāo)，同理求點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得再由，得k方程求解即可【詳解】（I）由題意得解得所以橢圓的方程為.又，所以離心率.（II）設(shè)直線的方程為，由消去，整理得.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，即.將代入，整理得，所以.所以.所以.同理.所以直線的斜率.又直線的斜率，所以.因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?所以，解得或.時(shí)，與重合，不符合題意，舍去.所以四邊形平行四邊形時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，韋達(dá)定理，設(shè)而要求的思想，準(zhǔn)確求得B,C坐標(biāo)且推得是本題關(guān)鍵，是中檔題22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PBC⊥平面ABCD，．（1）證明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若，E為棱CD的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值．參考答案：（1）見解析；（2）分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.

進(jìn)而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點(diǎn)為,連接，，又面面，且面面，所以面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得

所以由題得，解得.

所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.