高三數(shù)學(xué)（文）黃金考點(diǎn)總動(dòng)員考點(diǎn)23線線、線面、面面的位置關(guān)系含解析

2017屆高三數(shù)學(xué)33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員

考點(diǎn)23線線、線面、面面的位置關(guān)系

【考點(diǎn)剖析】

1.最新考試說(shuō)明：

1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定.

2.以立體凡何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.

3.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.能證明一

些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

2.命題方向預(yù)測(cè)：

1.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).以考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為

主.

2.線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)是命題的熱點(diǎn).著重考查線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化

及應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯推理能力與空間想象能力.

3.線線、線面、面面垂直的問(wèn)題是命題的熱點(diǎn).著重考查垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，同時(shí)考查

邏輯推理能力與空間想象能力.

4.線線、線面、面面的位置關(guān)系問(wèn)題，往往是平行、垂直關(guān)系綜合考查，題型有選擇題、填

空題及解答題.難度中、低檔題兼有.

3.課本結(jié)論總結(jié)：

1.平面的基本性質(zhì)

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有二條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

2.直線與直線的位置關(guān)系

f［平行

共面直線4-------

⑴位置關(guān)系的分類JI相交

、異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。作直線a'Ha,b'//b,把a(bǔ)'與"

所成的銳角（或直角）叫做異面直線a,b所成的角（或夾角）.

②范圍:嗚?

3.直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況.

4.平面與平面的位置關(guān)系有壬紅、相交兩種情況.

5.公理4

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

6.定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

7.直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

a--------b—a-----------

圖形

口目口￡Z7

a//Q,au8,

條件aG(1=0HUa,依a,*/balla

aC8=b

aO4=

結(jié)論a//ob//a-〃b

0

8.面面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

看著//B"/

圖形/d^~7

au￡,buB,a//

a〃￡,aC\y

條件aC\8=0“Gb=P,a〃a,B,a

=a,￡Gy=b

bHau￡

結(jié)論a"Ba〃Ba//ba//a

9.直線與平面垂直

(1)判定直線和平面垂直的方法

①定義法.

②利用判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平

面.

(2)直線和平面垂直的性質(zhì)

①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線.

②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

③垂直于同一條直線的兩平面平行.

10.斜線和平面所成的角

斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角.

11.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的判定方法

①定義法.

②利用判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)

兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

12.二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射

線所成的角叫做二面角的平面角.

4.名師二級(jí)結(jié)論：

(1)異面直線的判定方法：

判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)8的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.

反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.

(2)公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在

平面內(nèi).

(3)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法.

(4)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線：③證明多點(diǎn)共線.

(5)平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

性質(zhì)

到定到定

線〃I~我警線〃面柒面〃面

一定

(6)垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

線線垂直熊線面垂直蔡面面垂直

性質(zhì)

(7)證明直線相交，通常用平面的基本性質(zhì)，平面圖形的性質(zhì)等;

(8)利用公理4或平行四邊形的性質(zhì)證明兩條直線平行.

5.課本經(jīng)典習(xí)題：

(1)必修2第37頁(yè)

用&b,c表示三條不同的直線，7表示平面，給出下列命題：

①若a〃小b//c,則@〃。；

②若a_Lb,bX.c,則a_Lc；

③若a〃y,b//y,則a//b；

④若a_Ly,bX.y,則a//b.

其中真命題的序號(hào)是().

A.①②B.②③C.①④D.③④

解析由公理4知①是真命題.在空間內(nèi)。b_Lc,直線a、c的關(guān)系不確定,

故②是假命題.

由?！?b//y,不能判定a、b的關(guān)系，故③是假命題.④是直線與平面垂直的

性質(zhì)定理.

答案C

【經(jīng)典理由】考查線面、線線的平行和垂直關(guān)系。

(2)必修2第42頁(yè)

已知加、〃為兩條不同的直線，。、￡為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是().

A.miln、加_L。。

B.?！ā?/ua,〃u￡="〃〃

C.zz7±a,m1n=n//a

D.mUa,〃Uci,m//￡,n//￡na〃￡

解析選項(xiàng)A中，如圖①，n//m,m耳_La一定成立，A正確；選項(xiàng)B中,

如圖②，a〃⑶冽<=a,〃仁行冽與那互為異面直線，不正確；選項(xiàng)C中，

如圖③，冽JLa,巾JL?=>?：Ua,「.C不正確；選項(xiàng)D中，如圖④，mUa,

m//jS,"〃。=>a與￡相交，「.D不正確.

A與

答案A

【經(jīng)典理由】考查線面、線線、面面的平行和垂直關(guān)系。

6.考點(diǎn)交匯展示：

(1)立體幾何與函數(shù)交匯

【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在△4BC中，AB=BC=2,N4BC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P

和線段AC上的點(diǎn)Q,滿足尸D=D4,PB=BA,則四面體尸BCQ的體積的最大值是.

AB

【答案】一

2

【解析】Al5c中，因?yàn)?5=3C=2,//4C=120°,

所以440==30°.

由余弦定理可得AC1=AB2+BC2-2ABBCCOSB

=22+22-2X2X2COS1204=12,

所以/C=2道一

設(shè)疝)=x,則0<￡<2有，DC=2^/3-x.

在SABD中，由余弦定理可得BD1=AD1+AB1-2ADABcosA

—x1+22-2x-2cos30*=J?一2君x+4.

故即=舊-2任+4.

在AP8D中，PD=AD=x,PB=BA=2.

PD2+PB2-BD2x+22-(x2—2任+4)_白

由余弦定理可得8sNfi尸D=

2PDPB2x2=T

所以NJBPD=30°.

P

EC

D

AB

過(guò)P作直線8。的垂線，垂足為。.設(shè)PO=d

則S"BD=gBDxd=；PDPBsinNBPD,

即;Jf-2島+4xd=；x-2sin30",

解得d=

J龍2—2y[^)x+4

而ABC。的面積S=gCO-BCsinN8CQ=g(2百一x)?2sin30"=；(26—x).

設(shè)P。與平面ABC所成角為e,則點(diǎn)P到平面ABC的距離〃=dsin夕

故四面體P6CO的體積

x

v=!S"cDX〃=!SABcDdsinew?SSBcDJ=1x|(2V3-x).?一1----

33332&_2氐+4

；1x(2百-x)

6&一2岳+4

設(shè)1=1/一2百*+4=J(x—6y+l,因?yàn)?4xW2ji,所以1W/W2.

則|*一向=必］.

(1)當(dāng)時(shí)，有石|=百_%=J?_1,

故X=y/3-yir-1.

此時(shí)y_1(G-J：—1)[2行一(百一J1)]

'~6T

14T214、

=--=-(一0-

6t6t

14

V,(r)=-(---1),因?yàn)?〈才<2,

141

所以V'(f)<0,函數(shù)V。)在[1,2]上單調(diào)遞減，故V(f)<V(l)=—(—一1)=-.

612

(2)當(dāng)y/i<工《時(shí),有|x—|=%—J戶—[>

故X=y/3+《產(chǎn)—1.

1(73+#-1)[2^-(73+7?-1)]

141

由（1）可知，函數(shù)［（。在（L2］單調(diào)遞減，故4r）vP（i）=w（；-1）=不

612

綜上，四面體MCD的體積的最大值為2.

2

（2）立體幾何與基本不等式交匯

如圖，在三棱錐P—A8C中，NPA8=NPAC=NACB=90°.

（1）求證：平面P8C，平面PAC；

（2）若PA=1,AB=2,當(dāng)三棱錐P—ABC的體積最大時(shí)，求6c的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)三棱錐P—ABC的體積最大時(shí)，BC=V2.

【解析】(D證明：因?yàn)?P4B=/H4C=90°,所以尸4_L4B,PA1AC.1分

因?yàn)锳finKC=d,所以尸4_L平面JSC........................................................................2分

因?yàn)锽Cu平面&C,所以笈CJLH4...............................................................................3分

因?yàn)镹NCB=90。，所以BCJ_a......................................................................................4分

因?yàn)樗訠C工平面2/c.........................................................................5分

因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面EBCJ■平面PAC................................................................6分

(2)方法1：由已知及(1)所證可知，PA_L平面ABC,BC1CA,

所以PA是三棱錐P—ABC的高.......................7分

因?yàn)镻A=1,AB=2,設(shè)8C=x(0<x<2),.................8分

所以AC==J22-Y=J4—犬.........9分

因?yàn)閂P-ABC=]^AABCXPA

2

—x\J4-x????10分

6

<上八(4一"2).........................................................八分

62

=-....................................................................................................................12分

3

當(dāng)且僅當(dāng)丁=4一即無(wú)=立時(shí)等號(hào)成

立?...........................................13分

所以當(dāng)三棱錐尸-ABC的體積最大時(shí)，

BC=42...................................................................14分

(3)立體幾何與三角函數(shù)交匯

如圖，已知A4BC,。是的中點(diǎn)，沿直線CO將A4CO折成A4'CO,所成二面角

A'—CD—3的平面角為a,則()

A.ZArDB<aB.ZArDB>aC.ZAfCB<aD.ZArCB<a

【答案】B.

【解析】設(shè)NAOC=e，設(shè)48=2,則由題意AD=BD=1,在空間圖形中，設(shè)=

『+12-2

在AA,CB中，。一加=吟舞嚴(yán)2-尸

2x1x12

在空間圖形中，過(guò)A'作ANJ.OC,過(guò)B作3MJ.DC,垂足分別為N,M,

過(guò)N作NP'MB,連結(jié)A'P,NPJ.OC,

則NA'NP就是二面角A-CD-B的平面角，NA'NP=a,

在MAA'NQ中，Z）N=A'OcosZA'OC=cose,A'N=4'。sinZA'QC=sin6,

同理，BM=PN=sin。,DM=cos。,故BP=MN=2cos6,

顯然BP,面A'NP,故BPJ.A'P,

在Rt/^BP中，A/?=AfB2-BP2=Z2-（2COS0）2=/2-4cos26,

AN+NPAPsin2夕+sin?夕一（「一4cos2&）

在AA'NP中，cosa=cosZA'NP='1~'.

2A'NxNP2sin6xsin。

2+2cos~e—廠2-t2cos'61._cos20

----------1-------=-------+—=-cosZADB+——

2sin202sin20sirr0sin~0sin20

^>0,竺ACOSa>COSZA：DB（當(dāng)。=工時(shí)取等號(hào)）,

sin26sin262

,：a,ZA/DBe[0,^],而4=85%在[0,同上為遞減函數(shù)，二口444力5,故選B.

【考點(diǎn)分類】

熱點(diǎn)1線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的判定

1.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】a,夕是兩個(gè)平面，加，〃是兩條直線，有下列四個(gè)命題：

（1）如果〃?_L〃,m,那么aJ■夕.

（2）如果zn_La,〃//a,那么”_L〃.

（3）如果a//2,〃?ua,那么zn//夕.

（4）如果加//〃,。//0,那么加與a所成的角和〃與夕所成的角相等.

其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號(hào)）

【答案】②③④

【解析】對(duì)于①，min3mla加⑹則鬼尸的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)椤ā╝,所以

過(guò)直線篦作平面y與平面齊相交于直線C,則因?yàn)榧覬_a，二加_Lc,二M_L〃，故②正確；對(duì)于③，

由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③

④.

2.如圖，在直三棱柱ABC-A/Ci中，已知AC_L8C,BC=CC1,設(shè)A片的中點(diǎn)為。，

B|CcBG=E.求證：（1）DE〃平面A41G。；（2）BC,±ABt.

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】（1）由題意知，E為B￡的中點(diǎn),

又D為AB】的中點(diǎn)，因此DE//AC.

又因?yàn)镈E（Z平面AAC。，ACu平面AA|GC,

所以DE〃平面AA|C￡.

（2）因?yàn)槔庵鵄BC—A]B1G是直三棱柱，

所以CGJ?平面ABC.

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AC_LCJ.

又因?yàn)锳C_LBC,CGu平面BCQB],BCu平面BCGS，BCC|CC1=C,

所以AC_L平面BCGS.

又因?yàn)锽Gu平面BCGB],所以BC\_LAC.

因?yàn)锽C=CG，所以矩形BCGB1是正方形，因此BG_LB1c.

因?yàn)锳C,B1cu平面B1AC,ACf|B]C=C，所以BG，平面B）AC.

又因?yàn)锳^u平面B1AC,所以BG-LAB..

【方法規(guī)律】

1.證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定

理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件.

2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的

性質(zhì)定理：（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明

這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直.

線面平行的證明思考途徑：線線平行Q線面平行Q面面平行.

3.面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面

面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)平

面平行；④向量法：證明兩個(gè)平面的法向量平行.

4.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面

面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、

面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過(guò)程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的

多樣性.

5.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的

性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行.線面垂直的

證明思考途徑：線線垂直=線面垂直=面面垂直.

6.面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個(gè)平面的法

向量垂直.解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，

關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)

行垂直之間的轉(zhuǎn)化.

【解題技巧】

1.利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來(lái)確定

交線的位置，對(duì)于最值問(wèn)題，常用函數(shù)思想來(lái)解決.

2.立體幾何中的探索性問(wèn)題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開放性

問(wèn)題的探究，解決這類問(wèn)題一般根據(jù)探索性問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在

這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè).

3.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判

定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.

4.線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直.

5.在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

6.垂直關(guān)系綜合題的類型及解法

（1）三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

（2）垂直與平行結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.

（3）垂直與體積結(jié)合問(wèn)題，在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積.

7.線面平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使

用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；

8.線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證題中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平

行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

1.在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平

行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要

注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”.

3.解題中注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.

4.在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定

理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.

5.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是

先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可.

6.證明過(guò)程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件、步驟書寫要規(guī)范.

例.已知加和〃是兩條不同的直線，1和月是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一

定能推出加_L￡的是

A.a_L￡,且B.??〃"，且〃J.￡

C.a_L￡,且加〃aD.且〃〃￡

【答案】B

【解析】?「mln,/?_!_產(chǎn)，并上尸故選B.

【易錯(cuò)點(diǎn)】沒(méi)有掌握線面垂直的條件

熱點(diǎn)2空間線線、線面及面面關(guān)系中的角度問(wèn)題

1.12016高考新課標(biāo)1文數(shù)】平面a過(guò)正方體ABCD—ABCD的頂點(diǎn)A,&〃平面CgA,

eCl平面ABCO=〃z,an平面45片4=〃，則m,n所成角的正弦值為（）

(A)也

(C)(D)

22T

【答案】A

【解析】如圖,設(shè)平面CBpm平面ABCD=朋',平面CBQi平面加為4=療，因?yàn)閍〃平面CBR,所

以旭〃Mw"療,則m,?所成的角等于m\n，所成的角.延長(zhǎng)加，過(guò)凸作〃用C,連接C瓦及口,則

CE為,同理用及為才，而AD〃C瓦與耳HA.B,則/??'所成的角即為卒迎所成的角,即為60。，

故/初所成角的正弦值為坐，故選A.

2

2.【2016高考天津文數(shù)】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED_L平面ABCD,EF||AB,

AB=2,BC=EF=1,AE=V6,DE=3,ZBAD=60°,G為BC的中點(diǎn).

(I)求證：FG〃平面BED；

(II)求證：平面BED_L平面AED；

(111)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

【答案】(I)詳見解析(H)詳見解析(III)—

6

【解析】(I)證明：取5。的中點(diǎn)為。，連接OE,OG,在ABCD中，因?yàn)镚是的中

點(diǎn)，所以O(shè)G〃。。且OG=；OC=1,又因?yàn)镋FHAB,ABHDC,所以EFV/OG且

EF=OG

,即四邊形。GEE是平行四邊形，所以FG//OE,又/G<Z平面BE。，OEu平面BED,

所以FG〃平面BED.

(H)證明：在A4B。中，AO=LAB=2,NBA。=60°,由余弦定理可8。=百，進(jìn)而

可得乙4。3=90°,即BDJ.A。，又因?yàn)槠矫鍭EO_L平面ABCD,B￡)u平面A8CQ；平

面AEOD平面A6CD=AQ,所以8。_L平面AE￡>.又因?yàn)?。u平面BED,所以平面

BED±平面AED.

（Ill）因?yàn)镋F//AB,所以直線EF與平面BE。所成角即為直線AB與平面BE。所成角.

過(guò)點(diǎn)A作A”_LOE于點(diǎn)“，連接84,又因?yàn)槠矫鍮EOn平面AEO=E。，由（II）知

AH上平面BED,所以直線AB與平面BED所成角即為NAB”.在A4DE中，

/7

AD=\,DE=3,AE=46,由余弦定理可得cosNAOE=—2，所以sinNAOE=也，因此

33

AHADsmZADE^—,在中，sinNAB”=9="，所以直線A3與

3AB6

平面BED所成角的正弦值為—.

6

【方法規(guī)律】

求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行

線平移；利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；補(bǔ)形平移.

判定空間兩條直線是異面直線的方法

（1）判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)6的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)6的直線是異面直線.

（2）反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.

3.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)

題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可

以選在其中一條直線上（線面的端點(diǎn)或中點(diǎn)）利用三角形求解.

【解題技巧】

求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”.其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，

經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出

異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，進(jìn)而求解.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

1.正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同?個(gè)平面

內(nèi)”.

2.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”條件.

3.兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90。］.

例.過(guò)正方體/比力一464〃的頂點(diǎn)/作直線使/與棱/況AD,所成的角都相等，這樣

的直線，可以作（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【解析】如圖，連接體對(duì)角線顯然比;與棱幽幽、網(wǎng)所成的角都相等，所成角的正切值都為必.聯(lián)

想正方體的其他體對(duì)角線，如連接班，則典與棱無(wú)、BA、8A所成的角都相等，

AAi,BCUAD,

...體對(duì)角線被與棱出?、心、川?所成的角都相等，同理，體對(duì)角線46&i也與棱助、川、川i所成的角都

相等，過(guò)*點(diǎn)分別作助、4C、笳i的平行線都滿足題意，故這樣的直線/可以作4條.

【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視異面直線所成的角，只找兩條相交直線所成角，沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)正方體中的平

行關(guān)系.

熱點(diǎn)3線線、線面、面面的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題

1.【2016高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC-AIBIG中，D,E分別為A8,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

F在側(cè)棱SB上，且，4C|_LA4.求證：

(1)直線OE〃平面4GF；

(2)平面BQE_L平面4GF.

【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析

【解析】證明：(1)在直三棱柱ABC—ABG中，4C//AC

在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn).

所以O(shè)E//AC,于是DE//AG

又因?yàn)镈E<z平面4GF，AGu平面AGF

所以直線DE〃平面AC/

(2)在直三棱柱ABC—ABC中，A4,_L平面A|B￡

因?yàn)锳Gu平面A4G，所以A4,_LA|C|

又因?yàn)锳GMu平面u平面A5B1A，AB|=A

所以AGJ_平面AB4A

因?yàn)锽Qu平面A3qA，所以AG_L

又因?yàn)槎鷒，AF,AGU平面AGF，AFu平面AGF，acn4F=A

所以4。_L平面AGF

因?yàn)橹本€與。u平面4DE,所以平面4DE_L平面AGE

2.12016高考上海文科】將邊長(zhǎng)為1的正方形AAQQ（及其內(nèi)部）繞001旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,

如圖，3c長(zhǎng)為史，耳4長(zhǎng)為工，其中Bl與C在平面AAQQ的同側(cè).

63

（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；

（2）求異面直線0B與0C所成的角的大小.

【解析】（D由題意可知，圓柱的母線長(zhǎng)1=1,底面半徑廣=1.

圓柱的體積V==兀xP義1=兀，

圓柱的側(cè)面積S=2陋=2兀X1XI=2兀.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B1的母線與下底面交于點(diǎn)B,則O|B//OB,

所以NCOB或其補(bǔ)角為與OC所成的角.

由貝禺長(zhǎng)為可知NAOB=NAQ|B|=四，

11311,3

由MC長(zhǎng)為2,可知NAOC='，ZCOB=ZAOC-ZAOB=-,

662

Jr

所以異面直線0月1與OC所成的角的大小為

【解題技巧】

1.利用線線、線面和面面的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.

2.求線面所成角時(shí)注意垂直關(guān)系的應(yīng)用.

3.結(jié)合向量法進(jìn)行證明和求解

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

(1)在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交，則直線

與交線平行.

(1)證明過(guò)程要規(guī)范

(2)注意角度的取值范圍(線線、線面和面面)

例1.12016高考四川文科】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA±CD,AD〃BC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=-AD.

2

(I)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面PAB,并說(shuō)明理由；

(II)證明：平面PABL平面PBD.

【答案】(I)取棱AD的中點(diǎn)M,證明詳見解析；(H)證明詳見解析.

(I)取棱AD的中點(diǎn)M(MG平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:

因?yàn)锳DIIBC,BC=-AD,所以BCIIAM,且BC=AM.

2

所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMIIAB.

又ABu平面PAB,CM（Z平面PAB,

所以CM〃平面PAB.

（說(shuō)明：取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）

（II）由已知，PA1AB,PA1CD,

因?yàn)锳D//BC,BC=-AD,所以直線AB與CD相交,

2

所以PA1平面ABCD.

從而PA1BD.

因?yàn)锳D//BC,BC=iAD,

2

所以BCIIMD,且BC=MD.

所以四邊形BCDM是平行四邊形.

所以BM=CD=』AD,所以BD1AB.

2

又ABAAP=A,所以BD1平面PAB.

又BDU平面PBD,

所以平面PAB1平面PBD.

【易錯(cuò)點(diǎn)】不會(huì)靈活應(yīng)用線線、線面和面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，答題過(guò)程

不規(guī)范。

【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.設(shè)夕是兩個(gè)不同的平面，機(jī)是直線且根ua.“相〃夕”是“a〃尸”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)閍,是兩個(gè)不同的平面，機(jī)是直線且，〃ua.若“m〃，：則平面a、△可

能相交也可能平行，不能推出a〃4，反過(guò)來(lái)若a〃月，勿ua,則有加〃4，則“加〃戶”

是“a〃夕”的必要而不充分條件.

2.（2016高考浙江文數(shù)】已知互相垂直的平面a,°交于直線/.若直線相，〃滿足m//a,n±/3,

則（）

A.m//IB.m//nC.n.LI

D.mA.n

【答案】c

【解析】由題意知aD4=/,.?./<=△，'：n1/3,.-.nil.故選C.

3.已知二面角a—/一4為60。，ABua,ABJL/,A為垂足，CDu。,Cel,

NACO=135。，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為)

A-zB.

【解析】如圖作5EJ.產(chǎn)于E,連結(jié)NE,過(guò)/作NG〃CD,作EG_L4G于G,連結(jié)5G,則EG_LNG

設(shè).4B=2i.在&1BE中，/5，￡=60。：//￡5=90。：；乂5=27:二/￡=已在長(zhǎng)處絲6中，

NG.4E=90°—NaG=45°,4GF=90°..，G=acos45°=注a在&2USG中，

2

也ar

8sN由6=空=屋=申異面直線AB與CD所成角的余弦值為坐，故選B.

AB2a44

4.若/，加是兩條不同的直線，〃z垂直于平面a,則“/，機(jī)”是“///a的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【解析】若/_L/〃，因?yàn)椤?垂直于平面a,則///a或/ua；若///a,又加垂直于平面a,

則/_L加，所以“/J”是“///a的必要不充分條件，故選B.

5.【2016高考山東文數(shù)】已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面a,6內(nèi)，則“直線a和直線

b相交”是“平面a和平面6相交”的（）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不

必要條件

【答案】A

【解析】“直線a和直線〃相交”=>“平面a和平面/相交”，但“平面a和平面夕相交”

X“直線a和直線力相交”，所以“直線。和直線人相交”是“平面a和平面/相交”的充

分不必要條件，故選A.

6.如圖，在正方體ABC?！狝4GA中，點(diǎn)。為線段3。的中點(diǎn)?設(shè)點(diǎn)「在線段CG上，直

線OP與平面43。所成的角為a,貝"sina的取值范圍是（）

A.[y,l]B.停Jc.俘，乎]D.苧1]

【答案】B

E解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,所以

33+Lrr

+9=學(xué)，。，=一衛(wèi):在

cosN/OG=—Lsin4QGcos///3sin/4OC=

2x

l2x—

2

又直線與平面所成的角小于等于90°,而4QC為鈍角，所以sina的范圍為［半刀，選B.

7.【廣東省惠州市2017屆高三第一次調(diào)研】已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等

腰直角三角形，AB=2,SA=SB=SC=2,則三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距

離是（）

V3D.乎

B.1C.V3

【答案】A

【解析】因?yàn)槿忮FS-ABC的底面是以A3為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2,

r.S在面ABC內(nèi)的射影為AB中點(diǎn)"，.。.S"_L平面ABC,.?.S”上任意一點(diǎn)到A,B,C的

距離相等.

?;SH=6CH=1,在面S”C內(nèi)作SC的垂直平分線M。，則。為S—ABC的外接球球

心.

v5C=2,.-.SM=1,NOSM=30。，.?.50=逋,0"=立，即為。到平面ABC的距

33

離，故選A.

8.【浙江省金華、麗水、衢州市十二校2017屆高三8月聯(lián)考】如圖，已知矩形ABC。，A￡）=2,

E為A8邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將A4DE沿DE翻折至A4OE,使得點(diǎn)4在平面E3C0上的投影在

CO上，且直線與平面EBC。所成角為30°,則線段AE的長(zhǎng)為

【解析】如下圖所示，過(guò)，作，CD于由題意得，/'“，平面加四一二/^二匕破：下，

設(shè)NE=x,.?.即=必]，在四邊形ZUEH中，可得-/尸=/_]=尢=±抬，故埴：生叵

33

9.【改編自廣東省珠海市2017屆高三9月摸底】在正方體ABC。-44GA中，民尸分別

是棱44，B1G的中點(diǎn)，。是AC與8□的交點(diǎn)，面OEf與面8CC4相交于〃?，面。。也與

面BCC.B,相交于n,則直線加,〃的夾角為.

【答案】0.

【解析】延長(zhǎng)RE，G區(qū)交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)。0,與8交于點(diǎn)N,連接MN.因?yàn)槊袷謩e是

的中點(diǎn)，。是AC與3。的交點(diǎn)，所以面OEF與面3CG4的交線為CF,即旭=。尸；由

作法知面

與面BCC.B,的交線為MN，即〃=MN,因?yàn)镋FIIC。，且Eb=CO，所以四邊形EFCO

為平行四

邊形，所以CTIIEO,所以所II平面。?！?所以CbIIMN,即加II〃，所以直線〃?,〃

的夾角為0.

10.【江西省新余市第一中學(xué)2017屆高三上學(xué)期調(diào)研考試（一）（開學(xué)考試）】如圖，在直三

棱柱ABC—A4G中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜邊A8=20,側(cè)棱AA=3,點(diǎn)

。為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA上，AE=/L44（2為實(shí)數(shù)）.

(1)求證：不論力取何值時(shí)，恒有C￡＞，4E；

當(dāng)4=工時(shí)一求平面CDE與平面ABC所成二面角的余弦值.

(2)

3

川廣

D

【答案】（1）證明見解析；（2）—.

3

【解析】（D證明：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，二CDJ.AB,（1分）

又在直三棱柱KBC-44G中，AA」平面ABC,CDu平面ABC,

二AAiKD,（3分）

又=4=CD_L平面ABB^,（4分）

又不論X取何值時(shí),B]Eu平面,..CDl^E.（6分）

（2）法一：由（1）知，CD_L平面皿44,

.DE±CD,AD±CD

即N/DE為二面角E—CD—A的平面角.（8分）

A=-

?:3,.-.AE=1.

AD=-AB=^2

又2,

DE=ylAD2+AE2=6

二8saIDE=（11分）

DE3

二平面CDE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值大小為也.（12分）

3

法二：分別以CA,CB,CC|所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz,則C（0,0,0）,D

（1,1,0）,E（2,0,1）,4（°，2,3），G（0,03麗=（1,1,0）,在=（2,0,1）

設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為〃=（再>*）,

n-CD=x+y=0,

<

則［〃-CE=2x+z=0,令x=l,得〃=（1,一1,一2）.（9分）

平面ABC的一個(gè)法向量為℃

,中,

\n-CCl\6V6

l?IICC,|3X712+(-1)2+(-2)23

?，?平面CDE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值大小為逅.(12分)

3

11.【江蘇省南京市2017屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研】如圖，在直三棱柱ABC—A歸Ci中，點(diǎn)

N分別為線段A8,4G的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面BBiGC；

(2)若。在邊BC上，AD±DC1,求證：MNLAD.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】證明：（1）如圖，連結(jié)4c.

在直三棱柱池，-/山心1中，側(cè)面為平行四邊形.

又因?yàn)镹為線段/G的中點(diǎn)，

所以小C與NQ相交于點(diǎn)N,

即4C經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,且N為線段4c的中點(diǎn)............2分

因?yàn)閬啚?/p>