專題11 有關(guān)三角形的綜合問題（講）-備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（原卷版）

備戰(zhàn)2019年中考二輪講練測專題11有關(guān)三角形的計(jì)算與證明（講案）一講考點(diǎn)——考點(diǎn)梳理（一）三角形中的特殊線段1.三角形的角平分線：三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，且交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.2.三角形的中線：三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部，且交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫三角形的中心，重心把中線分為1：2兩部分（到頂點(diǎn)的距離占2份）.3.三角形的高線：三角形的三條高或高的延長線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫做三角形的垂心.銳角三角形垂心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心即直角三角形的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.4.三角形的中位線：三角形的三條中位線都在三角形的內(nèi)部，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.（二）三角形的性質(zhì)1.三角形的三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.判斷三條線段是否能組成三角形時(shí)，只需要判斷較短的兩條線段長之和是否大于第三遍即可.2.三角形的角（1）三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180°.（2）三角形的外角：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.（3）三角形的外角和為360°.（三）全等三角形的判定條件（1）邊角邊（SAS）：有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（2）角邊角（ASA）：有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（3）角角邊（AAS）：有兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（4）邊邊邊（SSS）：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（5）斜邊、直角邊（HL）（適用于直角三角形）：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（四）等腰三角形與等邊三角形一、等腰三角形1.等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.特別的，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.2等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（2）等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（3）等腰三角形是軸對稱圖形.3.等腰、等邊三角形的判定（1）等角對等邊.（2）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（五）角平分線與線段的垂直平分線1.角平分線（1）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等.（2）角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的平分線上.2.線段的垂直平分線（1）概念：經(jīng)過線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線.（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等.到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.二講題型——題型解析（一）三角形的三邊關(guān)系問題例1、△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中線，設(shè)AD長為m，則m的取值范圍是．（二）有關(guān)角平分線的性質(zhì)綜合問題例2如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1（三）最短路徑和最值問題例3（2017天津第11題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）A．BCB．CEC．ADD．AC（四）三角形中的翻折問題例4如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（）A．2B．C．D．（五）三角形中的規(guī)律探究問題例5設(shè)△ABC的面積為1．如圖1，分別將AC，BC邊2等分，D1，E1是其分點(diǎn)，連接AE1，BD1交于點(diǎn)F1，得到四邊形CD1F1E1，其面積S1=．如圖2，分別將AC，BC邊3等分，D1，D2，E1，E2是其分點(diǎn)，連接AE2，BD2交于點(diǎn)F2，得到四邊形CD2F2E2，其面積S2=；如圖3，分別將AC，BC邊4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分點(diǎn)，連接AE3，BD3交于點(diǎn)F3，得到四邊形CD3F3E3，其面積S3=；…按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，若分別將AC，BC邊（n+1）等分，…，得到四邊形CDnEnFn，其面積S=．（六）三角形中的分類討論問題例6如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為．（七）三角形中的綜合性問題例7在等邊△ABC中，D為射線BC上一點(diǎn)，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上，證明：∠BAD=∠EDC；（2）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上，證明：①AD=DE；②BC=DC+2CF（提示：構(gòu)造全等三角形）；（3）如圖2，若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，直接寫出BC、DC、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．三講方法——方法點(diǎn)睛（一）證明角或線段的關(guān)系：在幾何證明與計(jì)算過程中，若看到邊、角的證明，優(yōu)先考慮證明三角形全等，若告訴兩組對應(yīng)邊相等，則優(yōu)先考慮利用“SAS”找出夾角證明三角形全等；若告訴兩組對應(yīng)角相等，則可以考慮“ASA”、“AAS”；同時(shí)，在證明直角三角形全等時(shí)，在找角相等，通常利用“同角的余角相等”.（二）對于一般三角形中的計(jì)算問題，常用到其性質(zhì)：三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°；外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中，大邊對大角，小邊對小角.四練實(shí)題——隨堂小練1.已知等邊△ABC的邊長為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB于點(diǎn)G．當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長是（）A．3B．4C．8D．92．已知：點(diǎn)A（2016，0）、B（0，2018），以AB為斜邊在直線AB下方作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作圓，交斜邊AB于點(diǎn)E，D為AC的中點(diǎn)．連接DO，DE．則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切線4．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線AE折疊，點(diǎn)D落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D′處，則CD′的最小值是（）A．4 B．45 C．455．如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝8，則PD的長為_____．6．如圖，在中，邊上的中點(diǎn)，MI//CA，且MI與鈭燘AC的平分線AI交于點(diǎn)I，若，則MI的長度為______.7．如圖，等邊三角形ABC的周長為6cm，其中BD是中線，且BD=3cm，E為BC延長線上一點(diǎn)，CE=CD，則△BDE的周長為_______cm.8．如圖，△ABC中，AC=8，BC=10，AC＞AB.(1)用尺規(guī)作圖法在△ABC內(nèi)求作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到兩點(diǎn)A、C的距離相等，又到邊AC、BC的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）.(2)若△ACD的周長為18，求△BCD的面積.9．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，連接DF，BF.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，請直接寫出此時(shí)線段DF，BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(不用證明)；(2)如圖②，將圖①中△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，線段DF，BF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?寫出你的猜想，并給予證明；五練原創(chuàng)——預(yù)測提升1.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，則CE與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE2.在△ABC中，AB=10，AC=，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或103．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則在①3.6②4，③5.5，④7，這四個(gè)數(shù)中AP長不可能是_____（填序號）4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC、BD，若S四邊形ABCD＝18，則BD的最小值為_________．5．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，點(diǎn)D在邊AC上，連接BD，過A作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)E．（1）若M，N分別為線段AB，EC的中點(diǎn)，如圖1，求證：MN⊥EC；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥EC交BD于點(diǎn)F，求證：AE