專題7半角模型（相似模型）2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型專項復(fù)習(xí)講義

專題7半角模型（相似模型）【知識梳理】半角模型問題大家都遇到很多了，一個角與另一個角共頂點(diǎn)，且該角的大小是另一個角大小的一半，常見的是直角與45°角的組合。半角模型通常用“旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)”看待圖形的幾何變換，即將這個半角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或通過截長補(bǔ)短的方法，使得兩個分散的角變換成為一個三角形，相當(dāng)于構(gòu)造出兩個三角形全等或相似。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ头治觥磕Ｐ?.半角模型（相似模型）半角模型概念：過多邊形一個頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。模型特征：等線段，共端點(diǎn)，含半角思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論?！灸Ｐ驼故尽空叫伟虢悄Ｐ蜅l件：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AE，AF分別與BD相交于點(diǎn)M，N。結(jié)論一：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；【證明】∵正方形ABCD，∴∠ABN=45°∵∠ABN＝∠MAN＝45°，∠BNA＝∠ANM，∴△AMN∽△BAN，同理可證△AMN∽△DMA，結(jié)論二：△AMN∽△AFE；【證明】∵正方形ABCD∴∠MBE=∠MAN=45°∵∠BME＝∠AMN（對頂角），∴△BME∽△AMN，∴∠BEM=∠ANM∵EA平分∠BEF（見專題六半角模型全等模型證明）∴∠BEM=∠AEF∴∠ANM=∠AEF∴△AMN∽△AFE結(jié)論三：△BAN∽△DMA；【證明】∵正方形ABCD∴∠ABN=∠ADM=45°∵∠AMD=∠ABM+∠BAM∠BAN=∠MAN+∠BAM∴∠AMD=∠BAN∴△BAN∽△DMA結(jié)論四：；【證明】連接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA∽△NDA，又∵△AMN∽△AFE，∴.【補(bǔ)充】通過面積比是相似比的平方比亦可得到S△AEF=2S△AMN結(jié)論五：△BME∽△AMN∽△DFN；【證明】∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN（對頂角），∴△BME∽△AMN，同理可證△DFN∽△AMN結(jié)論六：【證明】由結(jié)論三可得△DAM∽△BNA，∴,即.結(jié)論七：【證明】設(shè)DF=a，BE=b，AB=c，則CE=cb，CF=ca，EF=a+b，在Rt△CEF中，（a+b化簡得2ab∴.結(jié)論八：則當(dāng)BE＝DF時，EF最小，最小，最大.【證明】如圖，作△AEF的外接圓，點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)，連接OA、OE、OF、PC，過點(diǎn)A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45o，∴∠EOF＝90o，設(shè)OP=PC=EF=x，則，，，∴當(dāng)點(diǎn)A、O、P、C四點(diǎn)共線時，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.結(jié)論九：則BNDN=BE,DMBM=DF【證明】由結(jié)論8可得△△ECA∽△NDA，∴,,∵,∴,同理可得.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型條件：已知∠BAC＝90°，；結(jié)論一：△ABE∽△DAE；△DAE∽△DCA；【證明】∵又∵∠AED=∠BEA∴△ABE∽△DAE同理△DAE∽△DCA結(jié)論二：△ABE∽△DCA；【證明】∵又∵∠ADC=∠ABC+∠BAD∠BAE=∠DAE+∠BAD∴∠ADC=∠BAE∴△ABE∽△DCA結(jié)論三：；【證明】由結(jié)論一可得△ABE∽△DAE；△DAE∽△DCA；∴,∴結(jié)論四：（）【證明】由結(jié)論二可得△ABE∽△DCA；∴∴∵AB=AC∴含60°半角模型條件：已知∠BAC＝120°，；結(jié)論一：△ABD∽△CAE∽△CBA【證明】∵∠BAC＝120°∴∠B+∠C=60°∵∠ADE=60°∴∠B+∠BAD=60°∴∠C=∠BAD∵∴∠BDA=∠CEA=120°∴△ABD∽△CAE∽△CBA結(jié)論二：；【證明】由結(jié)論一可得△ABD∽△CAE∽△CBA∴,∴結(jié)論三：（）【證明】由結(jié)論一可得△ABD∽△CAE∴∴∵∴AD=AE∴【典型例題】例1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N．下列結(jié)論：①AB2＝BN?DM；②AF平分∠DFE；③AM?AE＝AN?AF；④BE+DF=2A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】D．【分析】①轉(zhuǎn)證AB：BN＝DM：AB，因為AB＝AD，所以即證AB：BN＝DM：AD．證明△ABN∽△MDA（根據(jù)兩角相等）；②把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH．證明△AFH≌△AFE（SAS）；③即證AM：AN＝AF：AE．證明△AMN∽△AFE（兩角相等）；④由②得BE+DF＝EF．運(yùn)用特值法驗證．當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合、F與C重合時，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)論成立．【詳解】解：①∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD．又∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴AB：BN＝DM：AD．∵AD＝AB，∴AB2＝BN?DM．故①正確；把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADH．∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°．∴∠EAF＝∠HAF．∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF，∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．故②正確；③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN．又∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE．∴AM：AF＝AN：AE，即故③正確；④由②得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．過A作AO⊥BD，作AG⊥EF．則△AFE與△AMN的相似比就是AG：AO．易證△ADF≌△AGF（AAS），則可知AG＝AD=2故④正確．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等）三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性極強(qiáng)，難度較大．例2．如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），在AC邊上取一點(diǎn)E，使∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；②求y的最小值．【答案】（1）見詳解；（2）①y=12x2?2x+2（0＜x＜22【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝45°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD＝∠EAC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝22，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EAC＝45°+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：①∵△ABD∽△DCE，∴BDEC=∴y=12x2?2②y=12x2?2x+2=12則當(dāng)x=2【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等）三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=5，∠EAF＝45°，則AF的長為210【答案】210【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，則NF=2【詳解】解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，∴NF=2∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE=5∴BE＝1，∴ME=B∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AMFN∴12解得x＝2．∴AF=AD2故答案為：210．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，例4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，∠EDF＝45°，DE、DF分別交AC于點(diǎn)G、H．求證：EF=2【答案】見詳解【分析】連接BD，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，于是得到∠DBC＝∠CAD＝∠ADB＝45°，即∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°，求得∠1＝∠3，∠DBF＝∠DAC，推出△AGD∽△BFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DGDF=AD【詳解】解：連接BD，∵∠EDF＝45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠CAD＝∠ADB＝45°，即∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°，∴∠1＝∠3，∠DBF＝∠DAC，∴△AGD∽△BFD，∴DGDF延長BA到M，使CF＝AM，在△DFC與△AMD中，CF=AM∠MAD=∠DCF=90°∴△DFC≌△AMD，∴∠4＝∠5，DF＝DM，∵∠EDF＝45°，∴∠1+∠4＝45°，∴∠1+∠5＝45°，在△EDF與△MDE中，DF=DM∠EDF=∠MDE∴△EDF≌△MDE，∴∠6＝∠8＝∠7，∴∠8＝∠9，∴∠6＝∠9，∴△DGH∽△DEF，∴GHEF∴EF=2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長是．【答案】【分析】取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長CB至G，使BG＝MH，連接AG，先證出四邊形ABNM是正方形，利用SAS證出△ABG≌△AMH，再利用SAS證出△AEG≌△AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行證出△AHM∽△AFD，列出比例式即可求出結(jié)論．【詳解】解：取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長CB至G，使BG＝MH，連接AG，∵點(diǎn)M，點(diǎn)N是AD，BC的中點(diǎn)，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵AD∥BC，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∵AB＝AM＝4，∴四邊形ABNM是菱形，∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴△ABG≌△AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE∴△AEG≌△AEH（SAS）∴EH＝GE，∴EH＝2+MH，在Rt△HEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝∵M(jìn)N∥CD，∴△AHM∽△AFD，∴∴DF＝×＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，此題難度較大，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．例6．已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠MAN＝45°①求證：MN＝BM+DN；②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點(diǎn)．設(shè)BF＝y(tǒng)，DE＝x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，根據(jù)正方形的性質(zhì)和∠MAN=45°可進(jìn)行證明。（2）證明△BFA∽△DAE,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可列出函數(shù)式?！驹斀狻浚?）將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，根據(jù)正方形的性質(zhì)和且∠MAN=45°可進(jìn)行證明．（2）證明△BFA∽△DAE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可列出函數(shù)式．試題解析：（1）證明：將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，如圖，∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，∵M(jìn)′AN=∠MAN=45°，AN=AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN=NM′，∴M′N=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN．（2）解：∵∠AED=45°+∠BAE，∠FAB=45°+∠BAE，∴∠AED=∠FAB，∵∠ABF=∠ADE，∴△BFA∽△DAE，∴，∴，∴y=.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．例7．如圖，正方形ABCD邊長為2，BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，點(diǎn)P，Q分別是平分線BM、DN上的點(diǎn)，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結(jié)論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)BM、DN分別是正方形ABCD的兩個外角平分線，即可得結(jié)論，進(jìn)而即可判斷；②結(jié)合以上結(jié)論證明△ABP∽△QDA，對應(yīng)邊成比例即可判斷；③△ABP∽△QDA，對應(yīng)邊成比例，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得,由∠PBC=∠CDQ=45°，可得△PBC∽△CDQ，進(jìn)而可得結(jié)論；④將△ADQ繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使得AB與AD重合，證明△ABF≌△ADQ可得△GBP是直角三角形，最后利用勾股定理可得結(jié)論?！驹斀狻俊咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，∵∠PAQ＝45°，∴∠BAP+∠QAD=45°，∵BM是正方形的外角的平分線，∴∠MBC=135°，∴∠BAP+∠APB=45°，∴∠QAD＝∠APB，∴②正確；∵BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，∴∠ABP=∠QDA=135°，∵∠QAD＝∠APB，∴△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∴BP?DQ＝，∴①錯誤；∵△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∴BP：BC=DC：DQ，∵BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，∴∠PBC=∠QDC=45°，∴△BPC∽△DCQ，∴∠BCP=∠DQC，∴∠PCQ=360°∠BCD∠BCP∠DCQ=270°（∠DQC+∠DCQ）=270°（180°∠CDQ）=135°.∴③正確；如圖，將△AQD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接PF．則△ABF≌△ADQ．∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD∠PAQ=45°．∴∠PAF=∠PAQ．又∵AP=AP，∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BPF中，，∴．∴④正確；【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握翻轉(zhuǎn)變形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵。例8．解答下列各題：（1）【閱讀理解】我們把有一組鄰邊相等的凸四邊形，叫作“等鄰邊四邊形”．正方形是一個特殊的“等鄰邊四邊形”，如圖①，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，我們把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，再通過證明△AEF與△AGF全等，從而發(fā)現(xiàn)BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE+FD（直接寫出答案）．（2）【探究引申】如圖②，在等鄰邊四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD≠90°，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，（1）中的結(jié)論仍成立？請說明理由．（3）【問題解決】如圖③，在等鄰邊四邊形ABCD中，已知AB＝AD=203米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，在BC、CD上分別取點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF＝（30?10【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）當(dāng)∠BAD＝2∠EAF時，（1）中的結(jié)論仍成立；（3）線段EF的長為（30+103）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE，則GF＝BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可；（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；（3）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABE是等邊三角形，則BE＝AB＝203米．把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，只要再證明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD，可得EF的長．【詳解】（1）EF＝BE+FD，理由是：如圖①，∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BAE＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，∵∠ADG＝∠B＝∠ADF＝90°，∴F、D、G三點(diǎn)共線，在△GAF和△FAE中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF；故答案為：EF＝BE+FD；（2）當(dāng)∠BAD＝2∠EAF時，（1）中的結(jié)論仍成立；理由如下：如圖②，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠ABM=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，∵AF=AM∠FAE=∠MAE∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF；（3）如圖③，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，連接AF，過A作AH⊥GD，垂足為H，∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝203．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即點(diǎn)G在CD的延長線上．由旋轉(zhuǎn)得：△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝203×32=30，HF＝HD+DF＝10故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°，從而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°，又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF，∴根據(jù)上述推論有：EF＝BE+DF＝203+30﹣103=30+10即線段EF的長為（30+103）米．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【課后專題練】練1．如圖，點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，滿足∠EDF＝45°．連接DE、DF分別交正方形對角線AC于點(diǎn)H、G，再連接EG，有如下結(jié)論：①AE+CF＞EF；②ED始終平分∠AEF；③△AEH∽△DGH；④DE=2DG；⑤S△DGH【答案】②③④【分析】在BA的延長線上截取AM＝CF，連接DM，如圖，先證明△ADM≌△CDF得到∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，則可證明∠FDM＝90°，所以∠EDF＝∠EDM＝45°，于是可判斷△DEM≌△DEF，所以∠MED＝∠FED，EM＝EF，AM＝CF，則可對①②進(jìn)行判斷；由于∠BAC＝∠DAC＝45°，所以∠EAH＝∠HDG，則可證明△AEH∽△DGH，于是可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠AED＝∠HGD，AHDH=EHGH，利用比例性質(zhì)得到AHEH=DHGH【詳解】解：在BA的延長線上截取AM＝CF，連接DM，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，在△ADM和△CDF中，AD=CD∠DAM=∠DCF∴△ADM≌△CDF（SAS），∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠ADM+∠ADF＝90°，即∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠EDM＝45°，在△DEM和△DEF中，DE=DE∠EDM=∠EDF∴△DEM≌△DEF（SAS），∴∠MED＝∠FED，EM＝EF，∴ED平分∠AEF，所以②正確；∵AM＝CF，∴AE+CF＝EF，所以①錯誤；∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠EAH＝∠HDG，∵∠AHE＝∠DHG，∴△AEH∽△DGH，所以③正確；∴∠AED＝∠HGD，AHDH∴AHEH∵∠AHD＝∠EHG，∴△AHD∽△EHG，∴∠DAH＝∠GEH＝45°，∴△DEG為等腰直角三角形，∴DE=2∵∠AED＝∠HGD，∠AED＝∠FED，∴∠HGD＝∠FED，∵∠HDG＝∠FDE，∴△DGH∽△DEF，∴S△DGHS△DEF=（DGDE）2＝（【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．練2．如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF．延長CD至G，使GD＝EB，連接AG，易證△AFG≌△AFE．所以EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為EF＝DF+BE．（1）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD的延長線上，∠EAF＝45°，連接EF．試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系；（直接寫出結(jié)果，不需證明）（2）如圖3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊CB，DC的延長線上，∠EAF＝45°，連接EF．試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖4，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線BD上，∠EAF＝45°，若BE＝2，DF＝1，請直接寫出EF的長．【答案】（1）BE＝EF+DF；（2）DF＝EF+BE；（3）EF的長為5【分析】（1）在BE上截取BG＝DF，連接AG；先由SAS證明△ABG≌△ADF，得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證出∠EAG＝∠EAF，由SAS證明△AEG≌△AEF，得出EG＝EF，即可得出結(jié)論；（2）在CD上截取DG＝BE，連接AG；先由SAS證明△ABE≌△ADG，得出∠EAB＝∠GAD，AE＝AG，再證出∠GAF＝∠EAF，由SAS證明△AEF≌△AGF，得出EF＝GF，即可得出結(jié)論；（3）作BM⊥BD，并在BM上截取BG＝DF＝1，連接AG、EG；先由勾股定理求出EG，求出∠ABG＝∠ADF，由SAS證明△ABG≌△ADF，得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，證出∠EAG＝∠EAF，證明△AEG≌△AEF，得出EF＝EG即可．【詳解】（1）解：BE＝DF+EF；理由如下：在BE上截取BG＝DF，連接AG；如圖2所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠B=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∴∠GAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，在△AEG和△AEF中，AG=AF∠EAG=∠EAF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∴EG+BG＝EF+DF，即BE＝EF+DF；（2）解：DF＝EF+BE；理由如下：在CD上截取DG＝BE，連接AG；如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝∠ABE＝90°，在△ABE和△ADG中，BE=DG∠ABE=∠D∴∠EAB＝∠GAD，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝45°，∴∠GAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝GF，∵DF＝GF+GD，∴DF＝EF+BE；（3）解：EF的長為5，理由如下：作BM⊥BD，并在BM上截取BG＝DF＝1，連接AG、EG；如圖4所示：則∠EBG＝90°，∴EG=B∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADF＝45°，∴∠ABG＝45°，∴∠ABG＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，BG=DF∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∴∠GAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，在△AEG和△AEF中，AG=AF∠EAG=∠EAF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∴EF=5【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；每小題都需要通過作輔助線證明兩次三角形全等才能得出結(jié)論．練3．在菱形ABCD中，∠B＝60°．點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝CF．連接AE，AF．（1）如圖1，連接EF，求證：△AEF是等邊三角形；（2）AG平分∠EAF交BC于點(diǎn)G．①如圖2，AG交EF于點(diǎn)M，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，當(dāng)BE＝4時，求MN的長．②如圖3，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AG上一動點(diǎn)（點(diǎn)H與點(diǎn)A，點(diǎn)G不重合），當(dāng)AB＝12，BE＝4時，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請直接寫出AHAG【答案】（1）見詳解；（2）①M(fèi)N=23；②AHAG的值為12【分析】（1）根據(jù)菱形四條邊都相等的性質(zhì)及∠B＝60°，證明△ABC和△ADC都是等邊三角形，再證明△ABE≌△ACF，得到AE＝AF，再證明∠EAF＝60°，即可證明△AEF是等邊三角形；（2）①連接AN，先證明△AEM∽△ABN，再證明△NAM∽△BAE，由相似三角形的性質(zhì)得到MN與BE的比，求出MN的長；②分兩種情況，即OH∥CE和OH∥AE，第一種情況由三角形的中位線定理可直接求出結(jié)果，第二種情況，連接EF交AG于點(diǎn)M，作EL⊥AB于點(diǎn)L，證明△GEM∽△EAL，求出EG的長，即可求得結(jié)果．【詳解】證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，∵∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝∠BAC＝60°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，∴△AEF是等邊三角形．（2）①如圖2，連接AN，∵點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴AN⊥BC；∵AG平分∠EAF，∴AM⊥EF，∴∠AME＝∠ANB＝90°，∵∠AEM＝∠B＝60°，∴△AEM∽△ABN，∴AEAB∴AMAE∵∠EAM＝∠BAN＝30°，∴∠NAM＝∠BAE＝30°﹣∠EAN，∴△NAM∽△BAE，∴MNBE=AN∴MN=32BE=3②存在．如圖3，OH交AE于點(diǎn)P，連接OE，∵S△AOP：S四邊形OPEC＝1：3，∴S△AOP：S△ACE＝1：4，∵OA＝OC，且△AOE與△COE的高相等，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOP：S△AOE＝1：2，∴S△AOP＝S△EOP，∵△AOP與△EOP的高相等，∴PA＝PE，∴OH∥CE，∴AHAG如圖4，OH交CE于點(diǎn)Q，連接EF交AG于點(diǎn)M，作EL⊥AB于點(diǎn)L，同理可得EQ＝CQ，OH∥AE，∵∠ELB＝90°，∠B＝60°，AB＝12，BE＝4，∴∠BEL＝30°，∴BL=12BE∴AL＝AB﹣BL＝12﹣2＝10，EL＝BL?tan60°＝23，∴EF＝AE=AL2∴EM＝FM=12EF=12×∵∠GEM＝180°﹣60°﹣∠AEB＝120°﹣∠AEB，∠EAL＝180°﹣60°﹣∠AEB＝120°﹣∠AEB，∴∠GEM＝∠EAL，∵∠EMG＝∠ALE＝90°，∴△GEM∽△EAL，∴EGAE∴EG=EM?AE∵BC＝AB＝12，BE＝4，∴EC＝12﹣4＝8，∴EQ＝CQ=12EC∴AHAG綜上所述，AHAG的值為12或【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、解直角三角形等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，還應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．練4．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝62，CD⊥AB于D，點(diǎn)E在直線CD上，DE=1（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段CD上，請分別寫出線段AE和CM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：AE＝CM，AE⊥CM；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上，且AF＝2FD時，求證：∠CNE＝45°；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時，在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得∠CNE＝45°？若存在，請直接寫出AF的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）AE＝CM，AE⊥CM；（2）見詳解；（3）AF＝8【分析】（1）延長AE交CM于點(diǎn)H，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AEC≌△CMB，就可以得出∠CAE＝∠BCM而得出結(jié)論；（2）如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥AB，且AG＝BM，連接CG、FG，延長AE交CM于H．先由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以得出FG＝FM，就可以得出△CAG≌△CBM，就有CG＝CM，∠ACG＝∠BCM．得出∠MCG＝90°．進(jìn)而證明△FCG≌△FCM就可以得出結(jié)論；（3）如圖2，作BH⊥CN于H，由條件就可以得出∠ANB＝∠NCB，可以得出△ADE∽△CHB，就可以求出BH的值，再得出△CDF∽△BHF就可以求出DF的值，進(jìn)而求出AF的值．【詳解】解：（1）AE⊥CM，AE＝CM理由：延長AE交CM于點(diǎn)H，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝62，CD⊥AB于D，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝BD＝CD=1∵M(jìn)是DB的中點(diǎn)，∴BM=1∵DE=1∴DE＝BM．在△AEC和△CMB中∵AC=CB∠ACE=∠B∴△AEC≌△CMB（SAS），∴AE＝CM，∠CAE＝∠BCM．∵∠ACM+∠BCM＝90°，∴∠ACM+∠CAE＝90°，∴∠ACH＝90°．∴AH⊥CM．∴AE⊥CM，AE＝CM；（2）如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥AB，且AG＝BM，連接CG、FG，延長AE交CM于H．∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝62，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB=C∴∠GAC＝∠MBC＝45°．∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝BD=1∵M(jìn)是DB的中點(diǎn)，∴DM＝BM＝3．∴AG＝3．∵AF＝2FD，∴AF＝4，DF＝2，∴FM＝DF+DM＝2+3＝5．∵AG⊥AF，∴FG=A∴FG＝FM．在△CAG和△CBM中，CA=CB∠CAG=∠CBM∴△CAG≌△CBM．∴CG＝CM，∠ACG＝∠BCM．∴∠MCG＝∠ACM+∠ACG＝∠ACM+BCM＝90°．在△FCG和△FCM中，CG=CMFG=FM∴△FCG≌△FCM（SSS）．∴∠FCG＝∠FCM．∴∠FCM＝45°．∵AE⊥CM，∴∠CHN＝90°∴∠CNE＝45°；（3）存在．理由：如圖2，作BH⊥CN于H，∴∠CHB＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠CHB＝∠ADE．∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝62，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．AB=C∴∠GAC＝∠MBC＝45°．∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝BD=1∵DE=1∴DE＝3．在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝35．∵∠CNE＝45°，∴∠CBA＝∠CNE．∵∠AFN＝∠CFB，∴∠NAF＝∠BCF．∴△ADE∽△CHB，∴DEBH∴3BH∴BH=6設(shè)DF＝x，則BF＝6﹣x．在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF=36+∵∠CDF＝∠BHF＝90°，∠DFC＝∠HFB，∴△CDF∽△BHF，∴CDBH∴66∴x1＝2，x2＝18＞6（舍去），∴x＝2．∴AF＝6+2＝8．答：AF＝8．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等和相似是關(guān)鍵．練5．（1）如圖1，正方形ABCD中，F(xiàn)是邊CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)′是CB延長線上一點(diǎn)，∠FAF′的平分線交邊BC于E．已知DF＝BF'，①求證：∠EAF＝45°②若正方形ABCD邊長是3，BE＝1，求DF的長．（2）如圖2，正方形ABCD中，F(xiàn)是邊CD邊上一點(diǎn)，E為邊AB上一點(diǎn)．以直線EF為對稱軸把正方形折疊，BC的對應(yīng)線段為B'C'，其中點(diǎn)C在邊AD上，B'C交邊AB于點(diǎn)G，記△AGC′周長為x，正方形ABCD周長為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）①見詳解；②DF=32【分析】（1）①證明△ABF'≌△ADF得出AF'＝AF，∠BAF'＝∠DAF，∠EAF'＝∠EAF，EF'＝EF，得出∠FAF'＝∠BAF'+∠BAF＝∠BAD＝90°，即可得出結(jié)論；②設(shè)DF＝x，則CF＝3﹣x，EF＝EF'＝x+1，在Rt△CEF中，CE＝BC﹣BE＝2，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）設(shè)AC′＝a，DF＝b，則DC′y4?a，F(xiàn)C′＝CF=y4?b，證明△DFC′∽△AC′G，由相似三角形的性質(zhì)得出AGDC'=【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠D＝∠C＝90°，∴∠BAD＝∠ABF'＝90°＝∠D，在△ABF'和△ADF中，BF'=DF∠ABF'=∠D∴△ABF'≌△ADF（SAS），∴AF'＝AF，∠BAF'＝∠DAF，∠EAF'＝∠EAF，EF'＝EF，∴∠FAF'＝∠BAF'+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°；②解：設(shè)DF＝x，則CF＝3﹣x，EF＝EF'＝x+1，在Rt△CEF中，CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，由勾股定理得：22+（3﹣x）2＝（x+1）2，解得：x=3即DF=3（2）解：設(shè)AC′＝a，DF＝b，則DC′=y4?∵∠FC′G＝90°，∴∠DC′F+∠AC′G＝90°．∵∠DC′F+∠DFC′＝90°，∴∠DFC′＝∠AC′G，又∵∠D＝∠A＝90°，△DFC′∽△AC′G，∴AGDC'=AC'∴AG=a(y4△AGC′的周長為x＝AC′+AG+C′G=ya在Rt△DFC′中，DC′2+DF2＝FC′2即（y4?a）2+b2＝（y整理得ya2?a2∴x＝AC′+C′G+AG=ya∴y＝2x．【點(diǎn)睛】本題考查翻轉(zhuǎn)變換及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵。練6．如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥BC交AD于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)F是BE上一點(diǎn)，