上海市閘北區(qū)2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

上海市閘北區(qū)2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．3．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，4．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知集合A，B=,則A∩B=A． B． C． D．6．已知函數(shù)（，）的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）7．新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動(dòng)優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一8．設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是()A．任意，使方程無實(shí)根B．任意，使方程有實(shí)根C．存在，使方程無實(shí)根D．存在，使方程有實(shí)根9．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為（）A． B． C． D．10．已知為一條直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（）附：若，則，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.14．現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．15．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓Г的上頂點(diǎn)，延長AF2交橢圓Г于點(diǎn)B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.16．曲線在處的切線方程是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍．18．（12分）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.19．（12分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，且為正三角形．（1）求點(diǎn)，的極坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的最大值．22．（10分）如圖，⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點(diǎn)，為⊙上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．求證：~．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.2、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題．3、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果4、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.5、A【解析】

先解A、B集合，再取交集。【詳解】,所以B集合與A集合的交集為，故選A【點(diǎn)睛】一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對稱軸，得出，求出的最小值與對應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn)，在對稱軸處取得最值，對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.7、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：，正確；對于選項(xiàng)C：，故C不正確；對于選項(xiàng)D：，正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.8、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實(shí)根改成無實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實(shí)根”的否定是“任意，使方程無實(shí)根”.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個(gè)方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.10、D【解析】A.若，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，則或故B錯(cuò)誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.11、B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得，，將所求概率轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，，則，，所以，.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意容積，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.15、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，①②②①得，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）∴，∴，，.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．18、（1）（2）【解析】

(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值，進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、、，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、中點(diǎn)，且，則四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，則，，，，，因此，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，由，進(jìn)而，由，得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由已知得，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平?（2）（方法一）由（1）知，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角為.又計(jì)算得，，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計(jì)算能力，是中檔題21、（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，為正三角形，所以點(diǎn)在曲線上．又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是，從而，點(diǎn)的極坐標(biāo)是．（2）由（1）可知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，