專題10 解答壓軸題：幾何綜合（原卷版）

專題10解答壓軸題：幾何綜合1．（2023?上海）如圖（1）所示，已知在中，，在邊上，點(diǎn)邊中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）如果，求證：四邊形為平行四邊形；（2）如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)，如果，，，求邊的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，如果是以為腰的等腰三角形，且，求的值．2．（2022?上海）如圖，在中，是線段中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如果．?。笞C：為菱形；ⅱ．若，，求線段的長(zhǎng)；（2）分別以，為半徑，點(diǎn)，為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)恰好在射線上，如果，求的值．3．（2021?上海）如圖，在四邊形中，，，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊或邊于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在上，①求證：；②若，求的值；（2）若，，求的長(zhǎng)．4．（2020?上海）如圖，中，，是的外接圓，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的大?。唬?）當(dāng)，時(shí)，求邊的長(zhǎng)．5．（2019?上海）如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，如果，且，求的值；（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．6．（2023?徐匯區(qū)二模）已知：如圖1，四邊形中，，．（1）求證：四邊形是等腰梯形；（2）邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，設(shè)長(zhǎng)為，試用表示的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，求的值．7．（2023?楊浦區(qū)二模）已知是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在直徑上（與、不重合），，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的度數(shù)；（2）連接交弦于點(diǎn)，如果，求的值；（3）當(dāng)四邊形是梯形時(shí)，且，求的長(zhǎng)．8．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖1，已知菱形，點(diǎn)在邊上，，交對(duì)角線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)．①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的大?。虎谌鐖D3，聯(lián)結(jié)．當(dāng)時(shí)，求的值．9．（2023?浦東新區(qū)二模）已知：的直徑，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、、重合），射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接、，中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出這個(gè)角并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求與面積的比值．10．（2023?楊浦區(qū)一模）已知在正方形中，對(duì)角線，點(diǎn)、分別在邊、上，．（1）如圖，如果，求線段的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．①求證：；②設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，如果，求的值．11．（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，在菱形中，，是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接，分別交、于點(diǎn)、．（1）已知，①當(dāng)時(shí)，求的面積；②以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，以點(diǎn)為圓心，半徑為1作圓，圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)設(shè)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的值．12．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，滿足．點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．13．（2023?嘉定區(qū)二模）在中，，點(diǎn)在線段上，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）如果，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，問(wèn)：①中的“”仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；（2）如果，如圖3，已知為常數(shù)），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄康闹担ㄓ煤氖阶颖硎荆?，并寫出你的探究過(guò)程．14．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，在矩形中，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，與矩形對(duì)角線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如果，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，①求的值；②如果，求的余切值．15．（2023?寶山區(qū)一模）如圖1，在中，．點(diǎn)、分別在邊、上（不與端點(diǎn)重合），和交于點(diǎn)，滿足．（1）求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．16．（2023?靜安區(qū)二模）如圖1，扇形的半徑為，圓心角，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)、分別在半徑、上，四邊形為矩形，點(diǎn)在線段上，且．（1）求證：；（2）如圖2，以為頂點(diǎn)、為一邊，作，射線交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．①當(dāng)時(shí)，求與的面積之比；②把沿直線翻折后記作，當(dāng)時(shí)，求的正切值．17．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、．（1）當(dāng)時(shí)，求的正切值；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域；（3）聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，與邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若與相似，求的值．18．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知：在中，，，點(diǎn)、分別在射線、射線上，且滿足．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1．①如果，求的長(zhǎng)；②設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．（直接寫出結(jié)論，不必給出求解過(guò)程）19．（2023?楊浦區(qū)三模）已知在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)與直線相切時(shí)，求半徑的長(zhǎng)；（2）當(dāng)與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求半徑的取值范圍；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，如果以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與相切，求的正切值．20．（2023?金山區(qū)一模）已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，作，射線交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，證明：；（2）如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．21．（2023?松江區(qū)一模）已知梯形中，，，，，是線段上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，如果，且，求的正切值；（2）如圖2，如果，且，求的長(zhǎng)；（3）如果，且是等腰三角形，求的面積．22．（2023?虹口區(qū)二模）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)在對(duì)角線上，，是的外接圓，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離記為．（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，聯(lián)結(jié)，求證：；（2）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，如果是直角三角形，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)圓心在菱形外部時(shí)，用含的代數(shù)式表示的半徑，并直接寫出的取值范圍．23．（2023?松江區(qū)二模）如圖1，是半圓的直徑，是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，射線交半圓于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．（1）如圖2，恰好落在半圓上，求證：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的長(zhǎng)．24．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在邊、上，且，設(shè)．過(guò)點(diǎn)作，與直線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)．25．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖1，在中，，以點(diǎn)為圓心、為半徑的交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，滿足，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖2所示，求的值；（3）以點(diǎn)為圓心、為半徑作，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．（2023?寶山區(qū)二模）如圖，已知半圓的直徑，是圓外一點(diǎn)，的平分線交半圓于點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．27．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，交對(duì)角線于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如果．①求的長(zhǎng)；②如果，求值．28．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，①如果為經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓的一條弦，當(dāng)弦恰好是正十邊形的一條邊時(shí)，求的值；②經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)，，時(shí)，求的半徑長(zhǎng)．29．（2023?崇明區(qū)一模）已知中，，，．點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)，求證：；（2）在（1）的情況下，射線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．30．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，半圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、．（1）當(dāng)是圓的內(nèi)接正六邊形的邊時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）定義：三角形一邊上的中線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中有一個(gè)小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個(gè)小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個(gè)三角形的中腰線．分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．是的中腰線，求的長(zhǎng)．31．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)．（1）若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，求的值；（2）連接交半徑于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)．①用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；②分別以點(diǎn)為圓心為半徑、點(diǎn)為圓心為半徑作圓，當(dāng)這兩個(gè)圓相交時(shí)，求取值范圍．32．（2023?奉賢區(qū)二模）在梯形中，，，，，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖，如果是的中點(diǎn)，求的值；（3）聯(lián)結(jié)，如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．33．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在等腰直角中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以為腰且在的右側(cè)作等腰直角，，射線與射線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①求證：；②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．34．（2023?浦東新區(qū)模擬）已知：如圖，在半徑為2的扇形中，，點(diǎn)在半徑上，的垂直平分線交于點(diǎn)，交弧于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．