廣西示范性高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024年廣西示范性高中高一3月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，可得，又由，所以.故選：B.2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得成立，即必要性成立；反之：若，可得或，即充分性不成立，所以是的必要不充分條件．故選：B．3.函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令上的指數(shù)為0即可得到答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，可得，則，所以，函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A4.命題“”的否定是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為全稱量詞命題，其否定是“”．故選：D5.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，所以，由，可得，解得，所以．故選：A6.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，而，所以，所?故選：C.7.已知，且，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：C．8.已知函數(shù)，則（）A.2020 B.2021 C.2022 D.2023【答案】D【解析】【分析】依題意可得，再倒序相加即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．所以．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及特殊值檢驗(yàn)求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，兩邊同乘得，則B正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)，則，顯然成立，則C正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，當(dāng)，所以，則D錯(cuò)誤．故選：.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象讀取周期信息即得A項(xiàng)，根據(jù)周期確定值，根據(jù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)確定，推得函數(shù)解析式，對(duì)于B,C,D項(xiàng)只需將看成整體角，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象逐一驗(yàn)證其對(duì)稱性和單調(diào)性等性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，解得，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，解得，如圖可知：，故．將代入解析式得，因?yàn)?，則，得，故．當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心，即直線不是其對(duì)稱軸，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心，故C選項(xiàng)正確；因當(dāng)時(shí)，取，而在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作和的圖象，結(jié)合圖象可判斷A，由圖可知，且、，再結(jié)合各選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】如圖所示，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作和的圖象，從圖象可知：要使方程有四個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，，且函?shù)關(guān)于對(duì)稱，由圖可得，且，，所以，所以，則，所以令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，所以，故B正確；對(duì)于C，是的兩根，所以，即，所以，所以；由是的兩根，所以，所以，即不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得令，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，所以，即，故D正確．故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是冪函數(shù)，則______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得，，.故答案：13.已知扇形的圓心角為，其周長是，則該扇形的面積是______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長和面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長為，因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，其周長是，所以，解得：，所以該扇形的面積．故答案為：214.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則_________.【答案】【解析】【分析】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可求得的周期為4，由為奇函數(shù)，可得（1），結(jié)合（3），可求得，的值，從而得到，時(shí)，的解析式，再利用周期性和奇偶性推導(dǎo)出，進(jìn)一步求出的值．【詳解】為奇函數(shù)，（1），且，偶函數(shù)，，，即，．令，則，，．當(dāng)，時(shí)，．（2），（3）（1），又（3），，解得，（1），，當(dāng)，時(shí)，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是利用條件推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性與周期性，再求值．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡，求值（1）；（2）若求的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即得；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，再運(yùn)用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得.【小問1詳解】；【小問2詳解】.當(dāng)時(shí)，原式．16.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】（1）；（2）和．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，由即可得解；（2）由配方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可.【小問1詳解】依題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又是奇函數(shù)，，∴的解析式為．【小問2詳解】依題意可知當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，所以在區(qū)間上的最小值和最大值分別為和．17.已知函數(shù)，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期公式可得其周期，將看成整體角，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即得；（2）根據(jù)平移變換求出，取，由求得，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，須使解之即得.【小問1詳解】的最小正周期．由得的單調(diào)遞增區(qū)間是【小問2詳解】把的圖象向右平移個(gè)單位得到，再向上平移2個(gè)單位長度，得到的圖象.由，得，取，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為3，所以在區(qū)間上的最大值為1.作出在區(qū)間上的圖象，可知須使，即，所以的取值范圍為．18.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．（1）求的值，并證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義即可得關(guān)于的恒等式，由此即可求得，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）通過換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可將原問題轉(zhuǎn)換為閉區(qū)間上的二次函數(shù)最值，由此即可得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上為偶函數(shù)，所以，解得恒成立，即．所以，對(duì)任意的，因?yàn)?，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．【小問2詳解】函數(shù)．令，因?yàn)?，所以，所以，令，故函?shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則函數(shù)的值域?yàn)椋?9.已知函數(shù)，(1)判斷的奇偶性并證明；(2)令①判斷在的單調(diào)性（不必說明理由）；②是否存在，使得在區(qū)間的值域?yàn)?？若存在，求出此時(shí)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）①單調(diào)遞減，②【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可證出．(2)①求出，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，在上單調(diào)遞減；②根據(jù)在上單調(diào)遞減，可以得到，然后轉(zhuǎn)化得出：和是方程的兩根，再將其轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象，可求出的取值范圍．【