專題65 三個分布的期望、方差與性質(zhì)的運用-2023年高考數(shù)學優(yōu)拔尖核心壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題65三個分布的期望、方差與性質(zhì)的運用【方法點撥】1.如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．如果X～H(n，M，N)時，E(X)＝eq\f(nM,N)．如果X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.2.E(aX＋b)＝aE(X)＋b.D(aX＋b)＝a2D(X)．【典型題示例】例1購買某種意外傷害保險，每個投保人年度向保險公司交納保險費20元，若被保險人在購買保險的一年度內(nèi)出險，可獲得賠償金50萬元.已知該保險每一份保單需要賠付的概率為，某保險公司一年能銷售10萬份保單，且每份保單相互獨立，則一年度內(nèi)該保險公司此項保險業(yè)務需要賠付的概率約為____________；一年度內(nèi)盈利的期望為___________萬元.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】0.63，150【分析】根據(jù)題意知，保險公司此項保險業(yè)務就是概率為，試驗次數(shù)為10萬的獨立重復實驗，設隨機變量X為一年度內(nèi)出險的人數(shù)，則.一年度內(nèi)該保險公司此項保險業(yè)務需要賠付的概率即求，轉(zhuǎn)化為對立事件，再結合貝努力概型公式即可.一年度內(nèi)盈利的期望轉(zhuǎn)化為求隨機變量X的期望再使用數(shù)學期望的性質(zhì)立得.【解析】設隨機變量X為一年度內(nèi)出險的人數(shù)，則所以故一年度內(nèi)該保險公司此項保險業(yè)務需要賠付的概率約為設，隨機變量Y為一年度內(nèi)盈利的金額（萬元），則因為所以根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)得故保險公司一年度內(nèi)盈利的期望為150萬元.例2為預防新冠肺炎，需做好個人的防護與自我檢測，倡導個人每天做好體溫檢測工作．我國某體溫儀生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的過程中，嚴格管控質(zhì)量，隨機做好體溫儀質(zhì)量抽檢工作．該廠質(zhì)檢人員從某天所生產(chǎn)的體溫儀中隨機抽取了100個，依據(jù)質(zhì)檢指標值分成，，，，五組，并制成如下的頻率分布直方圖．為節(jié)省檢測成本，現(xiàn)采用混裝的方式將所有的體溫儀按200個一箱包裝．已知一個一級體溫儀的利潤是20元，一個特等體溫儀的利潤是15元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱體溫儀的利潤為．【答案】3750元.【分析】設一箱體溫儀中一級體溫儀有個，每箱體溫儀的利潤為元，利用二項分布的期望公式，期望的性質(zhì)計算作答.【解析】設每箱產(chǎn)品中一級體溫儀有個，每箱體溫儀的利潤為元，則每箱特等體溫儀有個，因此，由頻率分布直方圖知，質(zhì)量指標值低于40的頻率為0.75，質(zhì)量指標值不低于40的頻率為0.25，任抽一個體溫儀，為一級體溫儀的概率是，故，則，所以（元），即每箱體溫儀的利潤大約為3750元．【鞏固訓練】1.有9本不同的書，其中語文書2本，英語書3本，數(shù)學書4本.現(xiàn)從中隨機拿出2本，記拿出數(shù)學書的本數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，2.袋中有大小完全相同的7個白球，3個黑球.若甲每次抽取1個球，一共抽取4次，記錄好球的顏色后再放回袋子中，等待下次抽取，且規(guī)定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，記為甲總得分，則=..3.袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案或提示】1.【答案】C【解析】由題意知，，，故選：C2.【答案】52【解析】設4次取球取得黑球數(shù)為，則，且3.【答案】ACD【分析】利用超幾何分布的性質(zhì)，及超幾何分布的