數(shù)學(xué)（選修45）練習(xí)階段質(zhì)量評(píng)估1

階段質(zhì)量評(píng)估(一)基本不等式和證明不等式的基本方法A卷(時(shí)間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若a，b為實(shí)數(shù)，則“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)0＜ab＜1時(shí)，若b＞0，則a＜eq\f(1,b)，若b＜0，則b＞eq\f(1,a).反之，a＜eq\f(1,b)?a－eq\f(1,b)＜0?b(ab－1)＜0.當(dāng)b＞0時(shí)，ab＜1；當(dāng)b＜0時(shí)，ab＞1.同理，當(dāng)b＞eq\f(1,a)時(shí)，若a＞0時(shí)，則ab＞1，若a＜0，則ab＜1，所以“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)”或“b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要條件．答案：A2．設(shè)t＝a＋2b，S＝a＋b2＋1，則下列t與S的大小關(guān)系()A．t＞S B．t≥SC．t＜S D．t≤S解析：t－S＝a＋2b－(a＋b2＋1)＝－(b2－2b＋1)＝－(b－1)2≤0，即t≤S.答案：D3．若a＞b，則下列不等關(guān)系必成立的是()A．a(chǎn)2＞b2 B．eq\f(b,a)＜1C．lg(a－b)＞0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：∵a，b正負(fù)不確定，而a＞b?a2＞b2的條件是a，b同正；a＞b?eq\f(b,a)＜1的條件是a＞0；a＞b?lg(a－b)＞0成立條件是a＞b＋1；因此A，B，C均不成立.eq\f(1,2)＜1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x為減函數(shù)，a＞b?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b成立．答案：D4．已知正整數(shù)a，b滿足4a＋b＝30，則使得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值時(shí)的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)是()A．(5,10) B．(6,6)C．(10,5) D．(7,2)解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))eq\f(4a＋b,30)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(b,a)＋\f(4a,b)＋1))≥eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(3,10)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且4a＋b＝30，即a＝5，b＝10時(shí)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值．答案：A5．如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么()A．a(chǎn)b≤c＋d且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c＋d且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c＋d且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c＋d且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a＋b＝cd＝4，又a＋b≥2eq\r(ab)，c＋d≥2eq\r(cd)，∴ab≤4，c＋d≥4.∴ab≤c＋d.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2，c＝d＝2時(shí)取等號(hào)．答案：A6．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，則a＋b的最小值是()A．6＋2eq\r(3) B．7＋2eq\r(3)C．6＋4eq\r(3) D．7＋4eq\r(3)解析：由題意，得ab＞0，且3a＋4b＞0，∴a＞0，b又log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，∴3a＋4b＝ab.∴eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1.∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,b)，即a＝4＋2eq\r(3)，b＝3＋2eq\r(3)時(shí)，等號(hào)成立．答案：D二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)7．設(shè)a，b∈R，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是__________.(填序號(hào)解析：對(duì)于①，a，b均可小于1；對(duì)于②，a，b均可等于1；對(duì)于④⑤，a，b均可為負(fù)數(shù)；對(duì)于③，若a，b都不大于1，則a＋b≤2，與③矛盾，故若③成立，則“a，b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”成立答案：③8．用分析法證明：“若a，b，m都是正數(shù)，且a＜b，則eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).”完成下列證明過(guò)程．證明：∵b＋m＞0，b＞0，∴要證原不等式成立，只需證明b(a＋m)＞a(b＋m)，即只需證明___________．∵m＞0，∴只需證明b＞a.由已知顯然成立．∴原不等式成立．解析：b(a＋m)＞a(b＋m)與bm＞am等價(jià)，因此欲證b(a＋m)＞a(b＋m)成立，只需證明bm＞am即可．答案：bm＞am9．設(shè)常數(shù)a＞0，若不等式9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍為_(kāi)_________.解析：由題意可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝9x＋eq\f(a2,x)≥2eq\r(9x·\f(a2,x))＝6a≥a＋1?a≥eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)9x＝eq\f(a2,x)，即x＝eq\f(a,3)時(shí)等號(hào)成立．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))三、解答題(本大題共3小題，共35分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)10．(本小題滿分10分)已知ab≠0，求證：lgeq\f(|a|＋|b|,2)≥eq\f(lg|a|＋lg|b|,2).證明：∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.由基本不等式，得eq\f(|a|＋|b|,2)≥eq\r(|a||b|)＞0.∵函數(shù)y＝lgx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴l(xiāng)geq\f(|a|＋|b|,2)≥lgeq\r(|a||b|)＝eq\f(lg|a|＋lg|b|,2).當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)，等號(hào)成立．故lgeq\f(|a|＋|b|,2)≥eq\f(lg|a|＋lg|b|,2).11．(本小題滿分12分)已知a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＞c.求證：eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋1)＞eq\f(c,c＋1).證明：假設(shè)eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋1)≤eq\f(c,c＋1)，則1－eq\f(1,a＋1)＋1－eq\f(1,b＋1)≤1－eq\f(1,c＋1)，即1＋eq\f(1,c＋1)≤eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1).∵(1＋a)(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋b)≤(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋c)，即(c＋2)(1＋a)(1＋b)≤(1＋c)·(a＋b＋2)，∴2ab＋abc＋a＋b≤c.①又∵a＋b＞c，a，b，c＞0，∴a＋b＋2ab＋abc＞c.與①矛盾，∴假設(shè)不成立．∴eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋1)＞eq\f(c,c＋1)成立．12．(本小題滿分13分)某工廠去年生產(chǎn)的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬(wàn)只，每只產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬(wàn)元(科技成本)，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元(科技成本)，預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬(wàn)只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)＝eq\f(k,\r(n＋1))(k＞0，k為常數(shù)，n∈N)．設(shè)產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)保持不變，第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元．(1)求k的值，并求出函數(shù)f(n)的表達(dá)式．(2)從今年算起第幾年利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？解：(1)∵g(n)＝eq\f(k,\r(n＋1))，g(0)＝8，∴k＝8.∴f(n)＝(100＋10n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(8,\r(n＋1))))－100n.(2)f(n)＝(100＋10n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(8,\r(n＋1))))－100n＝1000－eq\f(80n＋10,\r(n＋1))＝1000－80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n＋1)＋\f(9,\r(n＋1))))≤1000－80×2eq\r(9)＝520，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(n＋1)＝eq\f(9,\r(n＋1))，即n＝8時(shí)取等號(hào)．∴第8年工廠的利潤(rùn)最高，最高為520萬(wàn)元．B卷(時(shí)間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，則a與b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b解析：∵a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex＜1(x＜0)，∴a＞b.答案：A2．設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()A．(a＋3)2＜2a2＋6aB．a(chǎn)2＋eq\f(1,a2)≥a＋eq\f(1,a)C．|a－b|＋eq\f(1,a－b)≥2D．eq\r(a＋3)－eq\r(a＋1)＜eq\r(a＋2)－eq\r(a)解析：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2＜0，故A恒成立；在B項(xiàng)中，不等式的兩側(cè)同時(shí)乘a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B項(xiàng)中的不等式恒成立；對(duì)C項(xiàng)中的不等式，當(dāng)a＞b時(shí)，恒成立，當(dāng)a＜b時(shí)，不恒成立；由不等式eq\f(2,\r(a＋3)＋\r(a＋1))＜eq\f(2,\r(a＋2)＋\r(a))恒成立，知D項(xiàng)中的不等式恒成立．答案：C3．已知x＞0，y＞0，則下列關(guān)系式成立的是()A．(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3) B．(x2＋y2)eq\f(1,2)＝(x3＋y3)eq\f(1,3)C．(x2＋y2)eq\f(1,2)＜(x3＋y3)eq\f(1,3) D．(x2＋y2)eq\f(1,2)≤(x3＋y3)eq\f(1,3)解析：(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3)成立，證明如下：要證明(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3)，只需證(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即證3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0.即證3x2＋3y2＞2xy.∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2＞2xy成立．∴(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).答案：A4．下列函數(shù)中，當(dāng)x取正數(shù)時(shí)最小值為2的是()A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝lgx＋eq\f(1,lgx)C．y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))D．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)(0＜x＜π)解析：y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，lgx≤0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)eq\r(x2＋1)＝eq\f(1,\r(x2＋1))時(shí)，x＝0，不符合題意，∴y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))≥2的等號(hào)取不到，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；y＝sinx＋eq\f(1,sinx)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝1，即x＝eq\f(π,2)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確．答案：D5．若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，則()A．∠B＝eq\f(π,2) B．∠B＜eq\f(π,2)C．∠B＞eq\f(π,2) D．∠B＞eq\f(π,3)解析：假設(shè)∠B≥eq\f(π,2)，則b最大，有b＞a，b＞c，∴eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，eq\f(1,c)＞eq\f(1,b).∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＞eq\f(2,b).與題意中的eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)矛盾，∴∠B＜eq\f(π,2).答案：B6．設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2，a＋eq\r(b)＝4，則eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．4 B．3C．2 D．1解析：依題意得4＝a＋eq\r(b)≥2eq\r(a·\r(b))，則aeq\r(b)≤4，a2b≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a2＝4時(shí)取等號(hào)．∵x＝loga2，y＝logb2，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log2a＋log2b＝log2a2b≤log216＝4，即eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值為4.答案：A二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)7．設(shè)a＞0且a≠1，m＝loga(1＋a)，n＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，則m，n的大小關(guān)系為_(kāi)_________.解析：當(dāng)a＞1時(shí)，1＋a＞1＋eq\f(1,a)，∴l(xiāng)oga(1＋a)＞logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，即m＞n.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＋a＜1＋eq\f(1,a)，∴l(xiāng)oga(1＋a)＞logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，即m＞n.綜上可知，m＞n.答案：m＞n8．若a＞b＞c＞0，ρ1＝eq\r(c＋a2＋b2)，ρ2＝eq\r(b＋c2＋a2)，ρ3＝eq\r(a＋b2＋c2)，則ρ1ρ2，ρ2ρ3，ρeq\o\al(2,2)，ρeq\o\al(2,3)中最小的一個(gè)是__________.解析：利用賦值法比較，令a＝3，b＝2，c＝1可得ρ1＝eq\r(20)，ρ2＝eq\r(18)，ρ3＝eq\r(26)，則ρ1ρ2＝eq\r(360)，ρ2ρ3＝eq\r(468)，ρeq\o\al(2,2)＝eq\r(324)，ρeq\o\al(2,3)＝eq\r(676)，易知ρeq\o\al(2,2)最?。鸢福害裡q\o\al(2,2)9．已知a＞0，b＞0，給出下列四個(gè)不等式：①a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；③eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b；④a＋eq\f(1,a＋4)≥－2.其中正確的不等式有__________.(填序號(hào))解析：∵a＞0，b＞0，∴①a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2\r(ab)·\f(1,\r(ab)))＝2eq\r(2)；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4eq\r(ab)eq\r(\f(1,ab))＝4.③∵eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)，∴a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝(a＋b)eq\f(a＋b,2)≥(a＋b)eq\r(ab).∴eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b.④a＋eq\f(1,a＋4)＝(a＋4)＋eq\f(1,a＋4)－4≥2eq\r(a＋4·\f(1,a＋4))－4＝2－4＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋4＝eq\f(1,a＋4)，即(a＋4)2＝1時(shí)等號(hào)成立，而a＞0，∴(a＋4)2≠1.∴等號(hào)不能取得．答案：①②③三、解答題(本大題共3小題，共35分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)10．(本小題滿分10分)若n∈N*，求證：eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·n＋1)＜eq\f(n＋12,2).證明：∵eq\r(n·n＋1)＜eq\f(n＋n＋1,2)＝eq\f(2n＋1,2)，∴eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·