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文檔簡介
考研數(shù)學(xué)一-一元函數(shù)積分學(xué)(一)(總分37.5,做題時(shí)間90分鐘)一、選擇題1.
曲線y=x2與直線y=2x圍成的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V等于
A
B
C
D
2.
下列函數(shù)不可積的是
(A)f(x)=xa,x∈[0,1],a>0.
(B)x∈[0,2].
(C)x∈[-1,1].
(D)x∈[0,1].A
B
C
D
3.
下列結(jié)論正確的是
(A)若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上必有界;反之,若函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,則f(x)在[a,b]上必可積.
(B)若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]內(nèi)必定有原函數(shù);反之,若函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)有原函數(shù),則f(x)在[a,b]上必定可積.
(C)若函數(shù)f(x)在任何有限區(qū)問上可積,則對(duì)任一點(diǎn)c,有
(D)若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則必存在ξ∈[a,b],使得A
B
C
D
4.
設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)=maxx,x2的一個(gè)原函數(shù).則
(A)F(x)可能在x=0,x=1兩點(diǎn)處間斷.
(B)F(x)只可能在x=1處間斷.
(C)F(x)的導(dǎo)函數(shù)可能在x=1處間斷.
(D)F(x)的導(dǎo)函數(shù)處處連續(xù).A
B
C
D
5.
設(shè)有一橢圓形的薄板,長半軸為a,短半軸為b,薄板垂直立于液體巾,而其短半軸與液面相齊,液體的比重為γ,則液體對(duì)薄板的側(cè)壓力為
A
B
C
D
6.
下列反常積分發(fā)散的是
A
B
C
D
7.
下列關(guān)于反常積分的命題
①設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的連續(xù)奇函數(shù),則
②設(shè)f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),且存在,則必收斂,且
③若都發(fā)散,則不能確定是否收斂
④若都發(fā)散,則不能確定是否收斂
中是真命題的個(gè)數(shù)有
(A)1個(gè).
(B)2個(gè).
(C)3個(gè).
(D)4個(gè).A
B
C
D
8.
下列命題正確的是
(A)設(shè)f(x)為(-∞,+∞)上的偶函數(shù)且在[0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),則,f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo).
(B)設(shè)f(x)為(-∞,+∞)上的奇函數(shù)且在[0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo).
(C)設(shè)
(D)設(shè)x0∈(a,b),f(x)在[a,b]除x0外連續(xù),x0是f(x)的第一類間斷點(diǎn),則f(x)在[a,b]上存在原函數(shù).A
B
C
D
9.
設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù),則
(A)F(x)必是初等函數(shù)且有界.
(B)F(x)必是初等函數(shù),但未必有界.
(C)F(x)在I上必連續(xù)且有界.
(D)F(x)在I上必連續(xù),但未必有界.A
B
C
D
10.
設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù),則下列敘述正確的是
(A)若f(x)為偶函數(shù),則
(B)若f(x)為奇函數(shù),則
(C)若f(x)為非奇非偶函數(shù),則
(D)若f(x)為以T為周期的周期函數(shù),且是奇函數(shù),則是以T為周期的周期隔數(shù).A
B
C
D
11.
設(shè)
(A)為反常積分,且發(fā)散.
(B)為反常積分,且收斂.
(C)不是反常積分,且其值為10.
(D)不是反常積分,且其值為.A
B
C
D
12.
下列結(jié)論不正確的是
(A)若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則定積分表示一個(gè)常數(shù)值,且該值與區(qū)間[a,b]、函數(shù)f(x)及積分變量的記號(hào)均有關(guān).
(B)若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,將[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間△xi上任取一點(diǎn)ξi,則必定存在,且
(C)設(shè)有常數(shù)I,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,總存在一個(gè)正數(shù)δ,使得對(duì)于區(qū)間[a,b]的任何分法,不論ξi在[xi-1,xi]中怎樣選取,只要λ>δ,總有
(D)若函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足下列條件之一:(ⅰ)在[a,b]上連續(xù);(ⅱ)在[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn);(ⅲ)在[a,b]上單調(diào),則f(x)在[a,b]上可積.A
B
C
D
13.
設(shè),則根據(jù)定積分的幾何意義可知下列結(jié)論正確的是
(A)I是由曲線y=f(x)及直線x=a、x=b與x軸所圍圖形的面積,所以I>0.
(B)若I=0,則上述圖形面積為零,從而圖形的“高”f(x)=0.
(C)I是曲線y=f(x)及直線x=a、x=b與x軸之間各部分而積的代數(shù)和.
(D)I是曲線y=|f(x)|及直線x=a、x=b與x軸所圍圖形的面積.A
B
C
D
14.
設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,把[a,b]任意分成n個(gè)小區(qū)間,ξi為每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取的一點(diǎn),則所表示的和式極限是
A
B
C
D
15.
設(shè)f(ex)=x,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的平均值等于
(A)ln2+1.
(B)ln2-1.
(C)2ln2+1.
(D)2ln2-1.A
B
C
D
16.
下列等式或結(jié)論正確的是
(A)[∫f(x)dx]'=∫f(x)dx=f(x).
(B)∫d[∫f(x)dx]=f(x).
(C)d[∫f(x)dx]=f(x)dx.
(D)若∫f(x)dx]'=[∫g(x)dx]',則∫f(x)dx=∫g(x)dx.A
B
C
D
17.
下列命題
①若函數(shù)F(x)、Φ(x)是同一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的兩個(gè)原函數(shù),則其差F(x)-Φ(x)等于確定的常數(shù)
②設(shè)F'(x)、Φ'(x),f(x)在集合D上有定義,且滿足F'(x)=Φ'(x)=f(x),則F(x)-Φ(x)≡C
③若取積分常數(shù)C=0,則可積函數(shù)f(x)的原函數(shù)唯一
④若f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù),則f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之和必為2f(x)的原函數(shù)
中正確的是
(A)①、②.
(B)②、③.
(C)①、④.
(D)③、④.A
B
C
D
18.
設(shè)F(x)是f(x)在(a,b)上的一個(gè)原函數(shù),則f(x)+F(x)在(a,b)上
(A)可導(dǎo).
(B)連續(xù).
(C)存在原函數(shù).
(D)不是分段函數(shù).A
B
C
D
19.
設(shè)f(x)及g(x)在[a,b]上連續(xù),則下列命題
①若在[a,b]上,f(x)≥0,則f(x)≠0,
②若在[a,b]上,f(x)≥0,且,則在[a,b]上f(x)=0
③若f(x)在[a,b]的任意子區(qū)間[α,β]上有,則f(x)=0()
④若在[a,b]上,f(x)≤g(x),且,則在[a,b]上f(x)≡g(x)
中正確的是
(A)①、②.
(B)①、②、③.
(C)①、②、④.
(D)①、②、③、④.A
B
C
D
20.
下列各式成立的是
A
B
C
D
21.
下列命題
①設(shè)∫f(x)dx=F(x)+C,則對(duì)任意函數(shù)g(x),有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C
②設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)、可導(dǎo),且f'(x)≠0.又f-1(x)是其反函數(shù),且∫f(x)dx=F(x)+C,則
∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C
③設(shè)∫f(x)dx=F(x)+C,x∈(-∞,+∞),常數(shù)a≠0,則∫f(ax)dx=F(ax)+C.
④設(shè)∫f(x)dx=F(x)+C,x∈(-∞,+∞),則
中正確的是
(A)①、③.
(B)①、④.
(C)②、③.
(D)②、④.A
B
C
D
22.
設(shè)則下列結(jié)論
①在[-1,1]上f1(x)存在原函數(shù)
②存在定積分
③存在f'2(0)
④在[-1,1]上f2(x)存在原函數(shù)
中正確的是
(A)①、②.
(B)③、④.
(C)②、④.
(D)①、③。A
B
C
D
23.
積分上限函數(shù)(a≤x≤b)是一種由積分定義的新的函數(shù),它的特征是自變量x為積分上限,F(xiàn)(x)與x的對(duì)應(yīng)法則由定積分給出下列對(duì)F(x)的理解不正確的是
(A)若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則F(x)可導(dǎo),且F'(x)=f(x).
(B)若函數(shù)f(x)存[a,b]上連續(xù),則F(x)就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).
(C)若函數(shù)f(x)存[a,b]上(有界,且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn))可積,則F(x)在[a,b]上連續(xù),且可微.
(D)若積分上限是x的可微函數(shù)g(x),則是F(u)與u=g(x)的復(fù)合函數(shù),求導(dǎo)時(shí)必須使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,即
A
B
C
D
24.
下列命題不正確的是
(A)若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的某個(gè)原函數(shù)是常數(shù),則f(x)在(a,b)內(nèi)恒為零.
(B)若f(x)的某個(gè)原函數(shù)為零,則f(x)的所有原函數(shù)為常數(shù).
(C)若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不是連續(xù)函數(shù),則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)必?zé)o原函數(shù).
(D)若F(x)是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù),則F(x)必定為連續(xù)函數(shù).A
B
C
D
25.
下列命題不正確的是
(A)初等函數(shù)在其定義區(qū)間(a,b)內(nèi)必定存在原函數(shù).
(B)設(shè)a<c<b,f(x)定義在(a,b)上,若x=c是f(x)的第一類間斷點(diǎn),則f(x)在(a,b)不存在原函數(shù).
(C)若函數(shù)f(x)在區(qū)間,上含有第二類間斷點(diǎn),則該函數(shù)在區(qū)間,上不存在原函數(shù).
(D)設(shè)函數(shù)x∈(-∞,+∞),則函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上不存在原函數(shù).A
B
C
D
26.
下列等式或結(jié)論正確的是
(A)∫0dx=0.
(B).
(C)
(D)設(shè)等式a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立,則a=0.A
B
C
D
27.
下列計(jì)算
(A)0個(gè).
(B)1個(gè).
(C)2個(gè).
(D)3個(gè).A
B
C
D
28.
下列結(jié)果正確的是
A
B
C
D
29.
設(shè)a>0,f(x)在[-a,a]上連續(xù),則在[-a,a]上
(A)f(cosx)的全體原函數(shù)為奇函數(shù).
(B)x[f(x)-f(-x)]的全體原函數(shù)為偶函數(shù).
(C)f(x2)有唯一原函數(shù)為奇函數(shù).
(D)x[f(x)-f(-x)]的任一原函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).A
B
C
D
30.
設(shè),則F(x)
(A)是零.
(B)是一個(gè)正數(shù).
(C)是一個(gè)負(fù)數(shù).
(D)不是常數(shù).A
B
C
D
31.
下列結(jié)果不正確的是
A
B
C
D
二、填空題32.
33.
已知f(x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),則f(x)=______.34.
擺線的一拱(0≤t≤2π)的弧長為______.35.
36.
曲線y=xsinx(0≤x≤π)與x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積=______.37.
設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且F(0)=0,F(xiàn)(2)=F'(2)=1,則=______.38.
曲線y=ln(1-x2)相應(yīng)于的一段的弧長為______.39.
40.
41.
已知f(x)的一個(gè)
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