含參函數(shù)單調(diào)性討論

含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性目錄1.導(dǎo)函數(shù)為一根2.導(dǎo)函數(shù)為兩根且能因式分解3.不能因式分解的導(dǎo)函數(shù)一般步驟求導(dǎo)后變號(hào)函數(shù)為二次函數(shù)或類二次函數(shù)的步驟：（1）最高次數(shù)含參數(shù)a討論{a=0,a≠0→{a>0,a<0（2）最高次數(shù)不含參數(shù)a（注：如果類似x^(2)±a等形式，可按一次函數(shù)做法討論）（i）能因式分解→令y'=0,求出比較再比較兩端點(diǎn)，每討論一次，畫拋物線圖，,根據(jù)圖寫出單調(diào)區(qū)間.,,(ii)不能因式分解→令y'=0→分{△≥0，此時(shí)y'恒正或恒負(fù)，寫出單調(diào)區(qū)間。,△<0，求出,比較,再比較兩端點(diǎn)，每討論一次，,畫拋物線圖，根據(jù)圖寫出單調(diào)區(qū)間.類型1導(dǎo)函數(shù)為一根例1．若定義在上的函數(shù)，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析函數(shù)，求導(dǎo)得到，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得到，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；例2．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解析，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.例3．設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；解析由題意得，.①當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.例4．設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；解析函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.類型2導(dǎo)函數(shù)為兩根且能因式分解例1．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；解析因?yàn)椋?令，解得或.若，當(dāng)即或時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)即時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)在上是增函數(shù).若，當(dāng)即或時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)即時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.例2．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解析因?yàn)?，所以，?由，得，.①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故在為增函數(shù).②當(dāng)時(shí)，，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).③當(dāng)時(shí)，，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).例3．已知函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性；解析.若，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.若，當(dāng)時(shí)，，即在（，上均單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.若，則，即在上單調(diào)遞增.若，當(dāng)時(shí)，即在，上均單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.例4.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析函數(shù)的定義域?yàn)椋簦院瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；若，令，解得，．當(dāng)時(shí)，，的變化情況如下表單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，，的變化情況如下表單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為；，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是例5．設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；解析（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)；當(dāng)時(shí)，；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；例6．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解析函數(shù)的定義域?yàn)?，，①若，則，在單調(diào)遞增.②若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.③若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.類型3不能因式分解的導(dǎo)函數(shù)例1．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解析的定義域?yàn)?，，?duì)于，，當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).例2．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；解析由得：