梧州市重點中學2024年高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

梧州市重點中學2024年高三第二次診斷性檢測數學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐中，是等邊三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知復數滿足，其中為虛數單位，則（）．A． B． C． D．3．若函數在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．34．在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種5．已知復數，則（）A． B． C． D．26．若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．定義域為R的偶函數滿足任意，有，且當時，.若函數至少有三個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知，則（）A． B． C． D．29．已知集合，，若，則實數的值可以為（）A． B． C． D．10．已知函數，若，，,則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．11．已知函數，，則的極大值點為()A． B． C． D．12．在中，，分別為，的中點，為上的任一點，實數，滿足，設、、、的面積分別為、、、，記（），則取到最大值時，的值為（）A．－1 B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于E點，若滿足，且，則橢圓C的離心率為______.14．甲、乙、丙、丁四名同學報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務活動，服務活動共有“走進社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個項目，每人限報其中一項，記事件為“4名同學所報項目各不相同”，事件為“只有甲同學一人報走進社區(qū)項目”，則的值為______.15．已知在等差數列中，，，前n項和為，則________.16．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括兩點），則的最大值是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區(qū)的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.18．（12分）年，山東省高考將全面實行“選”的模式（即：語文、數學、外語為必考科目，剩下的物理、化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試）.為了了解學生對物理學科的喜好程度，某高中從高一年級學生中隨機抽取人做調查.統(tǒng)計顯示，男生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人；女生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人.（1）據此資料判斷是否有的把握認為“喜歡物理與性別有關”；（2）為了了解學生對選科的認識，年級決定召開學生座談會.現從名男同學和名女同學（其中男女喜歡物理）中，選取名男同學和名女同學參加座談會，記參加座談會的人中喜歡物理的人數為，求的分布列及期望.，其中.19．（12分）在本題中，我們把具體如下性質的函數叫做區(qū)間上的閉函數：①的定義域和值域都是；②在上是增函數或者減函數.（1）若在區(qū)間上是閉函數，求常數的值；（2）找出所有形如的函數（都是常數），使其在區(qū)間上是閉函數.20．（12分）某社區(qū)服務中心計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶5元，售價每瓶7元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：攝氏度℃）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫天數414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為（單位：瓶）時，的數學期望的取值范圍？21．（12分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．22．（10分）為響應“堅定文化自信，建設文化強國”，提升全民文化修養(yǎng)，引領學生“讀經典用經典”，某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經典”節(jié)目.工作人員在前期的數據采集中，在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查，統(tǒng)計結果顯示：樣本中男女比例為3:2，而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5，女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系？男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計（2）為做好文化建設引領，實驗組把該校作為試點，和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經從所調查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數，求5的分布列及數學期望附表及公式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據底面為等邊三角形，取中點，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關系，設球心為，即可由球的性質和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.【詳解】設為中點，是等邊三角形，所以，又因為，且，所以平面，則，由三線合一性質可知所以三棱錐為正三棱錐，設底面等邊的重心為，可得，，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設為，如下圖所示：由球的性質可知，平面，且在同一直線上，設球的半徑為，在中，，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的結構特征和相關計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.2、A【解析】

先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點睛】此題考查復數的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.3、B【解析】

根據極值點處的導數為零先求出的值，然后再按照求函數在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數極值的性質以及利用導數求函數在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．4、C【解析】

根據題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理問題，屬于基礎題．5、C【解析】

根據復數模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.6、A【解析】

化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.7、B【解析】

由題意可得的周期為，當時，，令，則的圖像和的圖像至少有個交點，畫出圖像，數形結合，根據，求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數，當時，，當，當，作出圖像，如下圖所示：函數至少有三個零點，則的圖像和的圖像至少有個交點，，若，的圖像和的圖像只有1個交點，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個交點，則有，即，.故選:B.【點睛】本題考查函數周期性及其應用，解題過程中用到了數形結合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.8、B【解析】

結合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.9、D【解析】

由題意可得，根據，即可得出，從而求出結果．【詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【點睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運算．10、D【解析】

根據題意，求出函數的導數，由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據題意，函數，其導數函數，則有在上恒成立，則在上為增函數；又由，則；故選：．【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系，涉及函數單調性的性質，屬于基礎題．11、A【解析】

求出函數的導函數，令導數為零，根據函數單調性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導數求函數的極值點，屬基礎題.12、D【解析】

根據三角形中位線的性質，可得到的距離等于△的邊上高的一半，從而得到，由此結合基本不等式求最值，得到當取到最大值時，為的中點，再由平行四邊形法則得出，根據平面向量基本定理可求得，從而可求得結果.【詳解】如圖所示：因為是△的中位線，所以到的距離等于△的邊上高的一半，所以，由此可得，當且僅當時，即為的中點時，等號成立，所以，由平行四邊形法則可得，，將以上兩式相加可得，所以，又已知，根據平面向量基本定理可得，從而.故選：D【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

采用數形結合，計算以及，然后根據橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡可得：則故答案為：【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關鍵在于根據角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.14、【解析】

根據條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據題意得所以故答案為：【點睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.15、39【解析】

設等差數列公差為d,首項為,再利用基本量法列式求解公差與首項,進而求得即可.【詳解】設等差數列公差為d,首項為,根據題意可得,解得,所以.故答案為：39【點睛】本題考查等差數列的基本量計算以及前n項和的公式,屬于基礎題.16、【解析】

以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，，，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設切點的坐標為，利用導數的幾何意義求出切線的方程為，根據兩點間距離得出，構造函數，利用導數求出單調性，從而得出極值和最值，即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設點的坐標為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標軸交點為：，則，故，設，則.令，解得=10.當時，是減函數；當時，是增函數.所以當時，函數有極小值，也是最小值，所以，此時.故當時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點睛】本題考查利用導數解決實際的最值問題，涉及構造函數法以及利用導數研究函數單調性和極值，還考查正余弦定理的實際應用，還考查解題分析能力和計算能力.18、（1）有的把握認為喜歡物理與性別有關；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據題目所給信息，列出列聯(lián)表，計算的觀測值，對照臨界值表可得出結論；（2）設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人，女同學有人，則，確定的所有取值為、、、、．根據計數原理計算出每個所對應的概率，列出分布列計算期望即可．【詳解】（1）根據所給條件得列聯(lián)表如下：男女合計喜歡物理不喜歡物理合計，所以有的把握認為喜歡物理與性別有關；（2）設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人，女同學有人，則，由題意可知，的所有可能取值為、、、、．，，，，.所以的分布列為：所以.【點睛】本題考查了獨立性檢驗、離散型隨機變量的概率分布列．離散型隨機變量的期望．屬于中等題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）依據新定義，的定義域和值域都是，且在上單調，建立方程求解；（2）依據新定義，討論的單調性，列出方程求解即可?！驹斀狻浚?）當時，由復合函數單調性知，在區(qū)間上是增函數，即有，解得；同理，當時，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數，則在上是單調函數，①當在上是單調增函數，則，解得，檢驗符合；②當在上是單調減函數，則，解得，在上不是單調函數，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數只有?！军c睛】本題主要考查學生的應用意識，利用所學知識分析解決新定義問題。20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）X的可能取值為300,500,600，結合題意及表格數據計算對應概率，即得解；（2）由題意得，分，及，分別得到y(tǒng)與n的函數關系式，得到對應的分布列，分析即得解.【詳解】（1）由題意：X的可能取值為300,500,600故：六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列為300500600（2）由題意得.1°.當時，利潤此時利潤的分布列為.2.時，利潤此時利潤的分布列為.綜上的數學期望的