2024年廣東深圳高三二模高考數(shù)學(xué)卷試題答案詳解（精校打印版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)2024.4本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知n為正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．2．已知正方體，過(guò)點(diǎn)A且以為法向量的平面為，則截該正方體所得截面的形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形3．對(duì)于任意集合，下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．4．已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限5．已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．6．已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（

）A．72種 B．96種 C．144種 D．288種7．P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知m，n是異面直線，，，那么（

）A．當(dāng)，或時(shí)，B．當(dāng)，且時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，，或D．當(dāng)，不平行時(shí)，m與不平行，且n與不平行10．已知函數(shù)（，）的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（

）A．B．函數(shù)為偶函數(shù)C．滿足條件的正實(shí)數(shù)，存在且唯一D．是周期函數(shù)，且最小正周期為11．設(shè)函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與圓（）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知樣本，，的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為．13．已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．14．已知△ABC中，，雙曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則E的兩條漸近線的夾角為；的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．

(1)證明：平面ABC；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．16．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．17．某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn)．經(jīng)過(guò)調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%．(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來(lái)自甲工廠的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為了爭(zhēng)取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)．已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率．設(shè)事件“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知，證明：．18．設(shè)拋物線C：（），直線l：交C于A，B兩點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)O作l的垂線，交直線于點(diǎn)M．對(duì)任意，直線AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列．(1)求C的方程；(2)若直線，且與C相切于點(diǎn)N，證明：的面積不小于．19．無(wú)窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿足．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列，探討該數(shù)列單調(diào)性即得.【詳解】令，顯然，當(dāng)時(shí)，，即，因此當(dāng)時(shí)，，所以n為正整數(shù)，且，有.故選：C2．A【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到⊥平面，故平面即為平面，得到截面的形狀.【詳解】連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證明，因?yàn)?，平面，故平面，故平面即為平面，則截該正方體所得截面的形狀為三角形.故選：A3．B【分析】利用韋恩圖進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于：如圖所知，為區(qū)域①，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于：為區(qū)域①和③；為區(qū)域③，為區(qū)域①，則也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故正確；對(duì)于：為區(qū)域①，為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為），故錯(cuò)誤；對(duì)于：為區(qū)域①和③；而為區(qū)域③，為區(qū)域①，所以為空集，所以錯(cuò)誤；故選：.4．D【分析】由函數(shù)過(guò)點(diǎn)，分類可解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)二、三、四象限；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)三、四象限.故選：D5．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，進(jìn)而，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，所以，所以.故選：B6．C【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種，若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種，所以所有符合條件的可能是種.故選：C.7．C【分析】設(shè)，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于A，由題意知，O為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，又，即，則，又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡(jiǎn)得，即，代入得，即，由所以，所以，.故選：C.8．B【分析】根據(jù)題意，由條件可得，即可得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其最值，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，即，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，且，令，，則，其中，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)同構(gòu)問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題，結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可得到結(jié)果.9．AB【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】A：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，故A正確；B：當(dāng)，時(shí)，又為異面直線，所以，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，由，得或與相交；當(dāng)時(shí)，由，得或與相交，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)不平行時(shí)，可能或與相交，或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：AB10．ACD【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值及求出，由求出的取值，再根據(jù)周期確定的值，即可得到函數(shù)解析式，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲?、），又，解得，又，所以，故A正確；則，又，即，結(jié)合圖象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正確；所以，則為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；是周期函數(shù)，且最小正周期，故D正確.故選：ACD11．ABD【分析】由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，易知該圓過(guò)原點(diǎn)，作出函數(shù)在的圖象，結(jié)合圖形分析，即可求解.【詳解】由，得該圓心為，半徑為，易知該圓過(guò)原點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圓與函數(shù)的對(duì)稱性，后續(xù)交點(diǎn)情況類比即可.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于理解取整函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析圓與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).12．5【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，，所以，由，得，所以.故答案為：513．【分析】借助過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.【詳解】由題過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為，母線長(zhǎng)為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足的位置，再由得到雙曲線中的關(guān)系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)對(duì)所求式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)基本不等式求得范圍即可.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為.設(shè)的內(nèi)心為，過(guò)點(diǎn)向三邊作垂線，垂足分別為.

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，，又因?yàn)殡p曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，所以.而，所以，所以為雙曲線的左頂點(diǎn).所以，所以，即，所以，漸近線的傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為.又因?yàn)?，所以，而，所?故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)作出三角形的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解.15．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得平面，進(jìn)而由得，再證明平面ABC即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，從而得出二面角的平面角再進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、．

因?yàn)?，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因?yàn)椋云矫鍭BC.（2）法一：因?yàn)?，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體．連接，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為P，再過(guò)P作，垂足為Q，連接CQ，

因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又因?yàn)?，由于BD，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因?yàn)椋矫鍯PQ，且，所以平面CPQ，因?yàn)槠矫鍯PQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補(bǔ)角，在中，由等面積法可得,因?yàn)?，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為.16．(1)，；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；（2）設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出最小值大于0，可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕畡t曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即得，．（2）設(shè)函數(shù)，，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．又當(dāng)時(shí)，，綜上在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，所以，當(dāng)時(shí)，．17．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)出甲乙兩廠的零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知X服從二項(xiàng)分布，寫出分布列和期望即可.（2）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即，化簡(jiǎn)變形即可證得.【詳解】（1）設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件，事件“混合放在一起零件來(lái)自甲工廠”，事件“混合放在一起零件來(lái)自乙工廠”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，則，，，計(jì)算得．所以．X的可能取值為0，1，2，3，，，，，，．所以，X的分布列為：X0123P（2）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，所以．即．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋?，所以．即得，所以．即．又因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，，所以．即得證．18．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，分與代入計(jì)算，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，再由等差中項(xiàng)的定義列出方程，即可得到結(jié)果；（2）方法一：聯(lián)立直線與拋物線的方程，表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M，N，E三點(diǎn)共線可得△AMN面積為△ABM面積的，結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可證明；方法二：聯(lián)立直線與拋物線的方程，再由，得，點(diǎn)，即可得到直線MN與x軸垂直，再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）

設(shè)點(diǎn)，，由題可知，當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，