湖北省武漢市部分重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2.已知，向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因為，所以，，解得：，所以，所以.故選：B．3.下面關(guān)于函數(shù)敘述中正確的是（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的零點是〖答案〗B〖解析〗由，所以A錯，B對；由，所以，又不是子集，故C錯；由，故D錯.故選：B.4.在中，角的對邊分別為，若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故選：C.5.函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，解得，又，所以，解得，注意到，從而，所以，所以.故選：B.6.函數(shù)的最大值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，根據(jù)輔助角公式，，由，于是，故，當，取得最大值.故選：A.7.在中，若，且，則（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗由，得，，，，由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故選：D．8.設(shè)是的外心，點為的中點，滿足，若，則面積的最大值為（）A.2 B.4 C. D.8〖答案〗B〖解析〗因，，所以，從而，即，所以，所以，所以的面積為，等號成立當且僅當，綜上所述，面積的最大值為4.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.在中，，則角的可能取值是（）A B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由正弦定理有，即，解得，注意到從而，所以角的可能取值是，.故選：BC.10.下面四個命題中的真命題為（）A.若復(fù)數(shù)滿足，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.已知，若，則D.已知，若，則〖答案〗AB〖解析〗對于A，由于，而是實數(shù)的倒數(shù)，所以，故A正確；對于B，若，，則有，則，故B正確；對于C，取，顯然滿足，但不成立，故C錯誤；對于D，，顯然有，但不成立，故D錯誤.故選：AB.11.如圖所示，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為斜坐標系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，而由C選項分析可知，，由A選項分析可知，且注意到，所以在上投影向量為，故D錯誤.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量滿足，則______.〖答案〗1〖解析〗因為，所以，解得.故〖答案〗為：1.13.已知為銳角，，則________.〖答案〗〖解析〗因為為銳角，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗由題意，所以在單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，其中，解得，從而等號不能同時成立，解得，又，所以只能或，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.（1）化簡；（2）已知，求的值.解：（1）依題意得，.（2）依題意得，，得到，于是.16.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且選擇條件______.（1）求角；（2）若為的平分線，且與交于點，求的周長.解：（1）若選①，，則，又因為，所以，即，所以，又因為，所以，所以，解得；若選②，，則，由正弦定理可得，故，又，故；若選擇③，；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，，綜上所述，無論選①②③任何一個，都有.（2），，，因為，所以，又平分，所以，所以，則，即，由余弦定理得，即，所以，解得或（負值舍去），故的周長為.17.如圖所示，在中，是邊的中點，在邊上，與交于點．（1）以為基底表示；（2）若，求的值；（3）若，求的值．解：（1）．（2）連接，則，因為，，所以，，因為三點共線，三點共線，所以，解得．（3）設(shè)，，則，，所以，解得，所以，，又因為，所以，即，所以．18.某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯（米）的點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌.如圖所示，廣告牌底部點正好為的中點，電梯的坡度.某人在扶梯上點處（異于點）觀察廣告牌的視角，當人在點時，觀測到視角的正切值為.（1）設(shè)的長為米，用表示；（2）求扶梯的長；（3）當某人在扶梯上觀察廣告牌的視角最大時，求的長.解：（1）因為在直角三角形中，，，，所以，因為，點是的中點，從而，所以.（2）由（1）有，其中，而在直角三角形中，，又因為，，所以，即，解得或，注意到，所以，（否則時，有，矛盾），所以扶梯的長度為10米.（3）作于點，如圖所示，設(shè)，則，，由（2）可知，，，當取最大值時，即取最大值，，等號成立當且僅當，所以此時.19.我們把（其中）稱為一元次多項式方程.代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程（即為實數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個復(fù)數(shù)根；由此推得，任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計算）.那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為個一元一次多項式的積.即，其中，為方程的根.進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內(nèi)（即為實數(shù)），方程有實數(shù)根，則多項式必可分解因式.例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，.（1）在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程：；（2）設(shè)，其中，且.（i）分解因式：；（ii）記點是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點.求證：當時，.解：（1）觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，