湖南省多校2024屆高三下學(xué)期4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省多校2024屆高三下學(xué)期4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.的展開式中，的系數(shù)是（）A.160 B. C.220 D.〖答案〗B〖解析〗二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)為.故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不等式解得，不等式，即，解得，可得故選：D.3.若復(fù)數(shù)滿足，則可以是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，即，故選：A.4.原核生物大腸桿菌存在于人和動(dòng)物的腸道內(nèi)，在適宜的環(huán)境和溫度下會(huì)迅速繁殖導(dǎo)致腸道內(nèi)生態(tài)環(huán)境失衡從而引發(fā)腹瀉等癥狀，已知大腸桿菌是以簡(jiǎn)單的二分裂法進(jìn)行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要約24分鐘，那么在適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬個(gè)大腸桿菌至少需要約（）（參考數(shù)據(jù)：）A.4小時(shí) B.5小時(shí) C.6小時(shí) D.7小時(shí)〖答案〗C〖解析〗設(shè)適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬個(gè)大腸桿菌大約需要分鐘，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得，所以大約需要小時(shí)，故在適宜條件下1個(gè)大腸桿菌增長(zhǎng)到1萬個(gè)大腸桿菌至少需要6小時(shí).故選：C.5.已知直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，聯(lián)立，消去得，則，由得，故拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.故選：C.6.在不斷發(fā)展的過程中，我國(guó)在兼顧創(chuàng)新創(chuàng)造的同時(shí)，也在強(qiáng)調(diào)已有資源的重復(fù)利用，廢棄資源的合理使用，如土地資源的再利用是其中的重要一環(huán).為了積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地計(jì)劃將如圖所示的四邊形荒地改造為綠化公園，并擬計(jì)劃修建主干路與.為更好的規(guī)劃建設(shè)，利用無人機(jī)對(duì)該地區(qū)俯視圖進(jìn)行角度勘探，在勘探簡(jiǎn)化圖中，平分，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，設(shè)，則.故在中，由余弦定理可得，而，故，解得，在直角三角形中，為銳角，故，故.故選：A.7.將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球，則至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，共有種放法，恰有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有種放法，4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有1種放法，所以至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是，故選：B.8.使得不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以已知不等式化為.，故原不等式的解分兩段：①得，原不等式化為，即.②得，原不等式化為，即.四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值范圍分別為，當(dāng)時(shí)，由②不符合題意，排除A、B；當(dāng)時(shí)，由①不符合題意，排除D；時(shí)易驗(yàn)證滿足①，故選：C.二?多項(xiàng)選擇題9.已知直線，圓，則（）A.過定點(diǎn)B.圓與軸相切C.若與圓有交點(diǎn)，則的最大值為0D.若平分圓，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，整理直線的方程，得，令，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程與的取值無關(guān)，又，解得，即必過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，整理圓的方程，得，易知圓心到軸的距離為，又，故得圓與軸相切，故B正確；對(duì)C，若與圓有交點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，可得，解得故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若平分圓，則一定是圓的直徑，且必過圓心，易知圓心為，將代入直線的方程，得，解得，故D正確.故選：ABD.10.把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)（）A.B.直線與平面所成角的大小為C.平面與平面夾角的余弦值為D.四面體的內(nèi)切球的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，記為中點(diǎn)，此時(shí)平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋耘c不垂直，A錯(cuò)誤.對(duì)于B：直線和平面所成角即為，因?yàn)?，故，B正確.對(duì)于C：由于，取中點(diǎn)，則有，故為平面與平面所成角的平面角.則，C正確.對(duì)于D：設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，其中，，，故，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在定義域上處處可導(dǎo)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知得，故，又因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，所以A錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，因此，即，B正確；由于，故，因此，C正確；構(gòu)造函數(shù)，則，而，故在單調(diào)遞減，因此，D錯(cuò)誤.故選:BC.三?填空題12.已知公比為2的等比數(shù)列滿足，則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，解得，故〖答案〗為：.13.函數(shù)的圖象在與處的切線斜率相同，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在與處的切線斜率相同，所以，，故有，即，則或，解得或，當(dāng)時(shí)，取最小值取得最小值，因?yàn)?，故的最小值?故〖答案〗為：.14.若函數(shù)，且的圖象與直線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由題意可得方程在無解，將方程變形得，即函數(shù)在無零點(diǎn)，易得的定義域?yàn)?，僅在討論零點(diǎn)時(shí)舍去的情況；若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在無零點(diǎn)，因此符合題意；當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，由于時(shí)，時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理可知在必有、且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，故只需令，當(dāng)時(shí)符合題意，因此，即，解得，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，則；當(dāng)時(shí)，，，故在區(qū)間必有零點(diǎn)，與所求不符.綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：四?解答題15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的極值.解：（1）因?yàn)椋?，令，解得或，令得或，令得，列表如下?13-0+0-極小值極大值故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）可得的極大值為，極小值為.16.多樣性指數(shù)是生物群落中種類與個(gè)體數(shù)的比值.在某個(gè)物種數(shù)目為的群落中，辛普森多樣性指數(shù)，其中為第種生物的個(gè)體數(shù)，為總個(gè)體數(shù).當(dāng)越大時(shí)，表明該群落的多樣性越高.已知兩個(gè)實(shí)驗(yàn)水塘的構(gòu)成如下：綠藻衣藻水綿藍(lán)藻硅藻66666124365（1）若從中分別抽取一個(gè)生物個(gè)體，求兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種的概率；（2）（i）比較的多樣性大小；（ii）根據(jù)（i）的計(jì)算結(jié)果，分析可能影響群落多樣性的因素.解：（1）記事件為“兩個(gè)生物個(gè)體為同一物種”，則發(fā)生的概率為.（2）（i）由表可知所以，；即，故的多樣性大于；（ii）在（i）中兩群落物種數(shù)目相同，各物種數(shù)量不同，而中各物種數(shù)量均相同，即物種均勻度更大，分析可得物種均勻度也會(huì)影響群落多樣性.17.如圖所示，正四棱錐中，分別為中點(diǎn)，，平面與交于.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接，設(shè)，連接，有平面，由題意得，連接，，設(shè)，則，故在上，過作為垂足，在中，，故，因?yàn)椋?，故，所以，所以，又平面，平面，，故平面，因?yàn)槠矫?，所?又平面平面，故平面.（2）解：以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，由（1）得平面，故平面的一個(gè)法向量為其中設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得設(shè)為二面角平面角，則，由圖可知所求二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知橢圓，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn).（1）求直線的方程（用含的式子表示）；（2）若點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程，由雙曲線過點(diǎn)，代入方程，解得雙曲線，點(diǎn)在上，有，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以可以將雙曲線變形為.求導(dǎo)有，當(dāng)時(shí)，，所以的方程為：，化簡(jiǎn)有.（2）設(shè)，有，聯(lián)立，消去得，有，，，點(diǎn)到直線的距離，則，將代入，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為.19.若數(shù)列在某項(xiàng)之后的所有項(xiàng)均為一常數(shù)，則稱是“最終常數(shù)列”.已知對(duì)任意，函數(shù)和數(shù)列滿足.（1）當(dāng)時(shí)，證明：是“最終常數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù).若方程無實(shí)根，證明：不是“最終常數(shù)列”的充要條件是：對(duì)任意正整數(shù)，；（3）若不是“最終常數(shù)列”，求的取值范圍.（1）證明：因?yàn)?，所以?duì)任意，故數(shù)列最小值不變.即對(duì)于任意恒成立.故對(duì)于任意，有，故是“最終常數(shù)列”.（2）證明：必要性，若不為“最終常數(shù)列”，假設(shè)存在一個(gè)使得，則由（1）同理可知其最小值不變，故為“最終常數(shù)列”，矛盾.所以對(duì)任