壓軸題 規(guī)律探究 專項(xiàng)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

1/12壓軸題規(guī)律探究目錄原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨(dú)家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/14TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u題型一周期型題型二遞推型題型三固定累加型題型四漸變累加型1/25題型解讀：規(guī)律探索問題在中考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，規(guī)律性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查數(shù)式、坐標(biāo)和圖形的規(guī)律探索問題，涉及整式的計(jì)算、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、特殊三角形、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識，以及類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①周期型；②遞推型；③固定累加型；④漸變累加型等.右圖為規(guī)律探索問題中各題型的考查熱度.解題模板：數(shù)式的規(guī)律探索坐標(biāo)的規(guī)律探索圖形的規(guī)律探索題型一周期型【例1】（2023·廣東江門·一模）現(xiàn)有四條公共端點(diǎn)為的射線、、、，若點(diǎn)，，，……按如圖所示的規(guī)律排列，則點(diǎn)應(yīng)該落在（

）A．射線上 B．射線上 C．射線上 D．射線上【變式1-1】（2023·新疆克孜勒蘇·一模）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)螞蟻爬了個(gè)單位時(shí)，它所處位置的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知（，），，，…，，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】有一個(gè)數(shù)字游戲，第一步：取一個(gè)自然數(shù)，計(jì)算得，第二步：算出的各位數(shù)字之和得，計(jì)算得，第三步算出的各位數(shù)字之和得，計(jì)算得；以此類推，則的值為（

）A．7 B．52 C．154 D．310題型二遞推型【例2】（2023·山東臨沂·中考真題）觀察下列式子；；；……按照上述規(guī)律，．【變式2-1】（2023·湖南岳陽·中考真題）觀察下列式子：；；；；；…依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)等式是．【變式2-2】（2023·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，且點(diǎn)，，，，坐標(biāo)分別是，，，，，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（2023·寧夏銀川·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過的面積記為，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過的面積記為，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到掃過的面積記為；；按此規(guī)律，則為（

）A． B． C． D．題型三固定累加型【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形，正方形，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【變式3-1】（2023·重慶·中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【變式3-2】（2023·山西·中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

【變式3-3】（2023·湖北十堰·中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為（用含n的式子表示）．

題型四漸變累加型【例4】（2023·四川綿陽·中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．【變式4-1】（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【變式4-2】（2023·山東聊城·中考真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：；；；；…如果單把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個(gè)數(shù)對：．

【變式4-3】（2023·四川遂寧·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為．

一、單選題1．（2023·云南紅河·一模）如圖圖形是同樣大小的小五角星按一定規(guī)律組成的，按此規(guī)律排列，則第n個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023·云南玉溪·一模）觀察下列一組數(shù)：，，，，，，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東肇慶·三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第2個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)黑色正方形．若第n個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)為55，則n的值為（

）A．17 B．18 C．19 D．204．（23-24七年級上·河南周口·階段練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，，，，，，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．5．（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）把黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．186．（2023·河南安陽·一模）如圖，將數(shù)列排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第11行從左數(shù)第5個(gè)數(shù)為（

）A．119 B．－121 C．－117 D．1237．（2023·浙江衢州·一模）觀察下列數(shù)據(jù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)是（）A． B． C． D．8．（2023·云南昭通·三模）按一定規(guī)律得列的單項(xiàng)式；，…，按照上述規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式為（

）A． B． C． D．9．（19-20七年級上·四川達(dá)州·期末）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：、、、、、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．10．（2023·重慶巴南·一模）下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有5顆棋子，第②個(gè)圖形有8顆棋子，第③個(gè)圖形有13顆棋子，……，則第⑦個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）

A．36 B．40 C．49 D．5311．（2023·重慶渝中·二模）如圖，是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規(guī)律，第個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)是（

）·

A． B． C． D．12．（2023·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為；第二次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為；第三次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為……依此規(guī)律，則第2023年等腰三角形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．二、填空題13．（2023·新疆烏魯木齊·二模）將一些完全相同的三角形按如圖所示的規(guī)律排列，第1個(gè)圖形中有2個(gè)三角形，第2個(gè)圖形中有5個(gè)三角形，第③個(gè)圖形中有10個(gè)三角形，第④個(gè)圖形中有17個(gè)三角形，…，按此規(guī)律排列，則第⑩個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為．14．（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2023次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．15．（2023·山西忻州·模擬預(yù)測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和三角形鑲嵌而成，第（1）個(gè)圖案有4個(gè)三角形和4個(gè)正方形，第（2）個(gè)圖案有10個(gè)三角形和8個(gè)正方形，第（3）個(gè)圖案有16個(gè)三角形和12個(gè)正方形，…，依此規(guī)律，第個(gè)圖案中三角形和正方形的總個(gè)數(shù)為個(gè)．（用含的式子表示）

（1）

（2）

（3）壓軸題規(guī)律探究解析目錄原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨(dú)家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/14TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u題型一周期型題型二遞推型題型三固定累加型題型四漸變累加型2/12題型解讀：規(guī)律探索問題在中考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，規(guī)律性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查數(shù)式、坐標(biāo)和圖形的規(guī)律探索問題，涉及整式的計(jì)算、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、特殊三角形、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識，以及類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①周期型；②遞推型；③固定累加型；④漸變累加型等.右圖為規(guī)律探索問題中各題型的考查熱度.解題模板：數(shù)式的規(guī)律探索坐標(biāo)的規(guī)律探索圖形的規(guī)律探索題型一周期型【例1】（2023·廣東江門·一模）現(xiàn)有四條公共端點(diǎn)為的射線、、、，若點(diǎn)，，，……按如圖所示的規(guī)律排列，則點(diǎn)應(yīng)該落在（

）A．射線上 B．射線上 C．射線上 D．射線上【答案】B【分析】根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的變化規(guī)律，從而可以得到點(diǎn)落在哪條射線上．【詳解】解：由圖可得，到順時(shí)針，到逆時(shí)針，每8個(gè)點(diǎn)為一周期循環(huán)，，點(diǎn)落在OB上，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式1-1】（2023·新疆克孜勒蘇·一模）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)螞蟻爬了個(gè)單位時(shí)，它所處位置的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索問題，根據(jù)題意確定從A→B→C→D→A一圈的長度，即可求解．【詳解】∵A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，∴∴從A→B→C→D→A一圈的長度為∵，∴當(dāng)螞蟻爬了個(gè)單位時(shí)，它所處位置在點(diǎn)A左邊一個(gè)單位長度處，即．故選：D．【變式1-2】已知（，），，，…，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出，，，可得，，，，．．．，以，，為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后根據(jù)可知．【詳解】解：∵（，），∴，，，∴，，，，．．．，以，，為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，屬于規(guī)律型題，根據(jù)題意得出規(guī)律為三個(gè)式子依次循環(huán)是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】有一個(gè)數(shù)字游戲，第一步：取一個(gè)自然數(shù)，計(jì)算得，第二步：算出的各位數(shù)字之和得，計(jì)算得，第三步算出的各位數(shù)字之和得，計(jì)算得；以此類推，則的值為（

）A．7 B．52 C．154 D．310【答案】D【分析】通過計(jì)算前面幾步的數(shù)值可以得到整個(gè)游戲數(shù)字的出現(xiàn)規(guī)律，從而得到所求答案．【詳解】解：由題意知：；；；；；由上可知，是按照52、154、310、，52、154、310三個(gè)數(shù)的組合重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)列，∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查整式中的數(shù)字類規(guī)律探索，通過閱讀題目材料并歸納出數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．題型二遞推型【例2】（2023·山東臨沂·中考真題）觀察下列式子；；；……按照上述規(guī)律，．【答案】【分析】根據(jù)已有的式子，抽象出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∵；；；……∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是從已有的式子中抽象出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律．【變式2-1】（2023·湖南岳陽·中考真題）觀察下列式子：；；；；；…依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)等式是．【答案】【分析】根據(jù)等式的左邊為正整數(shù)的平方減去這個(gè)數(shù)，等式的右邊為這個(gè)數(shù)乘以這個(gè)數(shù)減1，即可求解．【詳解】解：∵；；；；；…∴第（為正整數(shù)）個(gè)等式是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，且點(diǎn)，，，，坐標(biāo)分別是，，，，，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題是一道關(guān)于等邊三角形性質(zhì)及探索規(guī)律的題目，找出坐標(biāo)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．觀察圖形可以得到，每4個(gè)為一組，據(jù)此可以得到在x軸負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為0，根據(jù)，，……得到橫坐標(biāo)為，據(jù)此即可求解．【詳解】解：觀察圖形可以看出，每4個(gè)為一組，∵，∴在x軸負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為0，∵，，……∴當(dāng)時(shí)，的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)時(shí)，的橫坐標(biāo)為0，……當(dāng)時(shí)，橫坐標(biāo)為，∵，∴，則∴的坐標(biāo)是．故選：C【變式2-3】（2023·寧夏銀川·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過的面積記為，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過的面積記為，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到掃過的面積記為；；按此規(guī)律，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出扇形的半徑，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積，解此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．【詳解】解：由題意、、、、都是等腰直角三角形，，，，，，，，，；，，故選：A．題型三固定累加型【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形，正方形，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象可得移動(dòng)3次完成一個(gè)循環(huán)，從而可得出點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律．【詳解】解：∵，，，，，∴，∵，則，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點(diǎn)的變化規(guī)律．【變式3-1】（2023·重慶·中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，由此即可得到答案．【詳解】解：第①個(gè)圖案用了根木棍，第②個(gè)圖案用了根木棍，第③個(gè)圖案用了根木棍，第④個(gè)圖案用了根木棍，……，第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是根，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計(jì)算的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·山西·中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】由于第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，，可得第個(gè)圖案中有白色圓片的總數(shù)為．【詳解】解：第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，，∴第個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律．【變式3-3】（2023·湖北十堰·中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為（用含n的式子表示）．

【答案】/【分析】當(dāng)時(shí)，有個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，有個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，有個(gè)三角形；第n個(gè)圖案有個(gè)三角形，每個(gè)三角形用三根計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，有個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，有個(gè)三角形；第n個(gè)圖案有個(gè)三角形，每個(gè)三角形用三根，故第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減的數(shù)字規(guī)律問題，熟練掌握規(guī)律的探索方法是解題的關(guān)鍵．題型四漸變累加型【例4】（2023·四川綿陽·中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個(gè)數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：，，，，…，；∴，故選∶C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，；第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，；第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，；第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，；…，所以第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到第n個(gè)圖案的規(guī)律為是解題的關(guān)鍵.【變式4-2】（2023·山東聊城·中考真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：；；；；…如果單把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個(gè)數(shù)對：．

【答案】【分析】根據(jù)題意單另把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，可發(fā)現(xiàn)第個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)為：，第個(gè)數(shù)對的第二個(gè)位：，即可求解．【詳解】解：每個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)為：，每個(gè)數(shù)對的第二個(gè)數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個(gè)數(shù)對的第二個(gè)位：，∴第n個(gè)數(shù)對為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問題．【變式4-3】（2023·四川遂寧·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為．

【答案】【分析】根據(jù)碳原子的個(gè)數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，即可求解．【詳解】解：甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，碳原子的個(gè)數(shù)為序數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)為碳原子個(gè)數(shù)的2倍多2個(gè)，十二烷的化學(xué)式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023·云南紅河·一模）如圖圖形是同樣大小的小五角星按一定規(guī)律組成的，按此規(guī)律排列，則第n個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別求出前4個(gè)圖形中的小五角星的個(gè)數(shù)，找出一般的計(jì)算方法求解．本題考查了圖形的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：則第1個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：；則第4個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：；則第3個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：；則第4個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：；……；則第n個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：，故選：A．2．（2023·云南玉溪·一模）觀察下列一組數(shù)：，，，，，，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)是，，第個(gè)數(shù)是，故選：．分別歸納出該組數(shù)字分子、分母的規(guī)律．此題考查了數(shù)字變化類規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確歸納出分子、分母的規(guī)律．3．（2023·廣東肇慶·三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第2個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)黑色正方形．若第n個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)為55，則n的值為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．觀察圖形可知，第1個(gè)圖形共有1個(gè)黑色正方形；第2個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形；第3個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形；第4個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形；…；由此得出第n個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形，即可求出n的值．【詳解】解：∵第1個(gè)圖形共有1個(gè)黑色正方形；第2個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形；第3個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形；第4個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形；…；第n個(gè)圖形共有個(gè)黑色正方形，若第n個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)為55，則，解得：．故選：C．4．（23-24七年級上·河南周口·階段練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，，，，，，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探尋，判斷出單項(xiàng)式的次數(shù)，系數(shù)與序號之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：第一個(gè)單項(xiàng)式為，第二個(gè)單項(xiàng)式為，第三個(gè)單項(xiàng)式為，第四個(gè)單項(xiàng)式為，…∴可以得到規(guī)律第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為，次數(shù)為，即第n個(gè)單項(xiàng)式為，故選：A．5．（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）把黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得出變化規(guī)律，即可求解．【詳解】解：由已知圖形可知：第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，，第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，，……以此類推，第n個(gè)圖形黑色圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為：，因此第⑦個(gè)圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：，故選C．6．（2023·河南安陽·一模）如圖，將數(shù)列排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第11行從左數(shù)第5個(gè)數(shù)為（

）A．119 B．－121 C．－117 D．123【答案】A7．（2023·浙江衢州·一模）觀察下列數(shù)據(jù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減，然后列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵，，，，，…，∴第個(gè)數(shù)據(jù)是：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減是解題的關(guān)鍵．8．（2023·云南昭通·三模）按一定規(guī)律得列的單項(xiàng)式；，…，按照上述規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別找出各個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)與字母部分的規(guī)律，即可解答．【詳解】觀察各個(gè)單項(xiàng)式可得，系數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)：1，3，5，7，9，…，故第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是；字母部分是的乘方，a的指數(shù)是1，2，3，4，5，…，故第n個(gè)單項(xiàng)式的字母部分是，所以第n個(gè)單項(xiàng)式是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查尋找單項(xiàng)式的規(guī)律，觀察各個(gè)單項(xiàng)式，分別從系數(shù)和字母部分找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（19-20七年級上·四川達(dá)州·期末）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：、、、、、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得出單項(xiàng)式的變化規(guī)律為：系數(shù)是以為底的冪，其指數(shù)是式子的序號減1，x的指數(shù)是式子的序號，據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得單項(xiàng)式的變化規(guī)律為：系數(shù)是以為底的冪，其指數(shù)是式子的序號減1，x的指數(shù)是式子的序號，∴第9個(gè)單項(xiàng)式是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數(shù)與式子的序號之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．10．（2023·重慶巴南·一模）下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有5顆棋子，第②個(gè)圖形有8顆棋子，第③個(gè)圖形有13顆棋子，……，則第⑦個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）

A．36 B．40 C．49 D．53【答案】D【分析】仔細(xì)觀察圖形的變化，找到變化規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：第①個(gè)圖形有顆棋子，第②個(gè)圖形一共有顆棋子，第③個(gè)圖形一共有顆棋子，第④個(gè)圖形有顆棋子，……，第個(gè)圖形一共有（顆）．第⑦個(gè)圖形一共有（顆）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．11．（2023·重慶渝中·二模）如圖，是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規(guī)律，第個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)是（

）·

A． B． C． D．【答案】B【分析】先數(shù)出三個(gè)圖形中陰影小正方形的個(gè)數(shù)，再總結(jié)規(guī)律并推廣至一般情形，從而求出第個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)．【詳解】第一個(gè)圖案有個(gè)：，第二個(gè)圖案有個(gè)：，第三個(gè)圖案有個(gè)：，則第個(gè)圖形有：個(gè)，故第個(gè)圖案中有(個(gè))，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了圖案的變化規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到正確的變化規(guī)律即可．12．（2023·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為；第二次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為；第三次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為……依此規(guī)律，則第2023年等腰三角形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，可得點(diǎn)，，在第二象限，，，，推出，可得結(jié)論．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點(diǎn)的對應(yīng)