2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全國版知識(shí)點(diǎn)22 對(duì)稱圖形的識(shí)別+網(wǎng)格作圖含答案

2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全國版知識(shí)點(diǎn)22對(duì)稱圖形的識(shí)別+網(wǎng)格作圖一、選擇題寧夏2．【2023·寧夏2題】下面是由七巧板拼成的圖形（只考慮外形，忽略內(nèi)部輪廓），其中軸對(duì)稱圖形是（）【答案】C北京2.【2023·北京2題】下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A新疆2．【2023·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)】下列交通標(biāo)志中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B云南省7．【2023·云南】中華文明，源遠(yuǎn)流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個(gè)選項(xiàng)中，是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．【答案】C廣西2．【2023·廣西2題】下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】A江西省2．【2023?江西2題】下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B天津4．【2023?天津4題】在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱（）AB C D【答案】A陜西省2．【2023·陜西】下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B．C． D．【答案】C山東省4．【2023·泰安】小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對(duì)角線，得到如圖四種圖形，則既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D2.【2023·威海】我國民間建筑裝飾圖案中，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)之美．下列圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A2.【2023·日照】窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．下列窗花作品既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A2.【2023·濰坊】下列圖形由正多邊形和圓弧組成，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.B.C. D.【答案】D4．【2023·東營】剪紙是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．小文購買了以“剪紙圖案”為主題的5張書簽，他想送給好朋友小樂一張．小文將書簽背面朝上（背面完全相同），讓小樂從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的書簽圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是（）A．45 B．35 C．25【答案】C1．【2023·菏澤】剪紙文化是我國最古老的民間藝術(shù)之一．下列剪紙圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】A2．【2023·濟(jì)寧】下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】B3．【2023·煙臺(tái)】下列四種圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】B湖南2．【2023·長沙2題】下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】D1．【2023·湘潭】中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻．觀察下列漢字，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A．愛 B．我 C．中 D．華【答案】C2．【2023·邵陽】下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A4．【2023·懷化】剪紙又稱刻紙，是中國最古老的民間藝術(shù)之一，它是以紙為加工對(duì)象，以剪刀（或刻刀）為工具進(jìn)行創(chuàng)作的藝術(shù)．民間剪紙往往通過諧音、象征、寓意等手法提煉、概括自然形態(tài)，構(gòu)成美麗的圖案．下列剪紙中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C3．【2023·衡陽】下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C2．【2023·永州】企業(yè)標(biāo)志反映了思想、理念等企業(yè)文化，在設(shè)計(jì)上特別注重對(duì)稱美．下列企業(yè)標(biāo)志圖為中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C浙江省4．【2023·嘉興、舟山】美術(shù)老師寫的下列四個(gè)字中，為軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D湖北省2．【2023·武漢】現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C2．【2023·恩施州】如所示4個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】B2．【2023·宜昌】我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉微割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對(duì)稱圖形是（）A．B． C． D．【答案】D3．【2023·荊州】觀察如圖所示的幾何體，下列關(guān)于其三視圖的說法正確的是（）A．主視圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形 B．左視圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形 C．俯視圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形 D．主視圖、左視圖、俯視圖都是中心對(duì)稱圖形【答案】C江蘇省2．【2023·泰州】書法是我國特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感．下列“?！弊值乃姆N篆書圖案中，可以看作軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C2．【2023·連云港】在美術(shù)字中，有些漢字可以看成是軸對(duì)稱圖形．下列漢字中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C2．【2023·蘇州】古典園林中的花窗通常利用對(duì)稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對(duì)稱美．下面四個(gè)花窗圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】C3．【2023·蘇州】如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，網(wǎng)格內(nèi)另有A，B，C，D四個(gè)格點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）A．連接AB，則AB∥PQ B．連接BC，則BC∥PQ C．連接BD，則BD⊥PQ D．連接AD，則AD⊥PQ【答案】B內(nèi)蒙古2.【2023·赤峰】剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙中，為中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C四川省3．【2023·宜賓】下列圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D6．【2023·自貢】下列交通標(biāo)志圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B5．【2023?內(nèi)江】下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A山西省2．【2023?山西2題】全民閱讀有助于提升一個(gè)國家、一個(gè)民族的精神力量．圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是我省四個(gè)地市的圖書館標(biāo)志，其文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C廣東省2．【2023·廣東2題】下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為（）A．B． C． D．【答案】A遼寧省2．【2023·撫順、葫蘆島】如所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】B2．【2023·本溪】下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B．C． D．【答案】A黑龍江2．【2023·大慶】搭載神舟十六號(hào)載人飛船的長征二號(hào)F遙十六運(yùn)載火箭于2023年5月30日成功發(fā)射升空，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名航天員開啟“太空出差”之旅，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度．下列圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】C1．【2023·牡丹江】下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】A2．【2023·齊齊哈爾】下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D1．【2023·綏化】下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】C2．【2023·龍東地區(qū)】下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．【答案】A二、填空題天津18．【2023?天津18題】如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．（I）線段AB的長為；（II）若點(diǎn)D在圓上，AB與CD相交于點(diǎn)P，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡要說明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】（I）29（II）取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M，連接MB；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G，連接GF并延長與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接AH并延長與圓相交于點(diǎn)I，連接CI并延長與MB的延長線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求寧夏16．【2023·寧夏16題】如圖是由邊長為1的小正方形組成的9×6網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均在格點(diǎn)上，下列結(jié)論：①點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱；②連接FB，F(xiàn)C，F(xiàn)E，則FC平分∠BFE；③連接AG，則點(diǎn)B，F(xiàn)到線段AG的距離相等．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱概念，全等三角形判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等逐個(gè)判斷．【答案】①②③【解析】①連接DF，如圖：由圖可知，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，故①正確；②如圖：由SSS可知△BFC≌△EFC，∴∠BFC＝∠EFC，F(xiàn)C平分∠BFE.故②正確；③取AG上的格點(diǎn)M，N，連接BM，F(xiàn)N，如圖，由正方形性質(zhì)可知∠AMB＝∠FNG＝90°，∴B到AG的距離為BM的長度，F(xiàn)到AG的距離為FN的長度.而BM＝FN，∴點(diǎn)B，F(xiàn)到線段AG的距離相等.故③正確；∴正確結(jié)論是①②③.【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱的概念，能熟練應(yīng)用全等三角形的判定定理．江蘇省16.【2023·宿遷】如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則________．【分析】取的中點(diǎn)，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．三、解答題江西省14．【2023?江西14題】如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作銳角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；（2）在圖2中的線段AB上作點(diǎn)Q，使PQ最短．解：（1）如圖1，△ABC即為所求（答案不唯一）；（2）如圖2，點(diǎn)Q即為所求．安徽省17．【2023·安徽17題】如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）畫出線段AB關(guān)于直線CD對(duì)稱的線段A1B1；（2）將線段AB向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到線段A2B2，畫出線段A2B2；（3）描出線段AB上的點(diǎn)M及直線CD上的點(diǎn)N，使得直線MN垂直平分AB．解：（1）線段A1B1如圖所示.（2）線段A2B2如圖所示.（3）直線MN即為所求．四川省18．【2023·達(dá)州】如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．（1）將△ABC向下平移3個(gè)單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過程中請(qǐng)計(jì)算出△ABC掃過的面積．?【分析】（1）按平移變換的性質(zhì)分別確定A，B，C平移后的位置，再按原來的連接方式連接即可；（2）按旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別確定A，B，C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的位置，再按原來的連接方式連接即可；（3）將△ABC掃過的面積用規(guī)則圖形的面積和差表示，求出即可．解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）△A2B2C2如圖所示；（3）S△ABC∵AC=12+∴在（2）的運(yùn)動(dòng)過程中△ABC掃過的面積=S【點(diǎn)評(píng)】本題考查網(wǎng)格作圖﹣平移、旋轉(zhuǎn)，以及網(wǎng)格中圖形面積的計(jì)算，解題涉及平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式，掌握平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和網(wǎng)格中圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．24．【2023·廣安】如圖，將邊長為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請(qǐng)?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的意義作圖．解：如下圖：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．湖北21．【2023·武漢】如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，E是AD上的格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中，先將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫對(duì)應(yīng)線段BF，再在CD上畫點(diǎn)G，并連接BG，使∠GBE＝45°；（2）在圖（2）中，M是BE與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，先畫點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，再在BD上畫點(diǎn)H，并連接MH，使∠BHM＝∠MBD．?【分析】（1）取格點(diǎn)F，連接BF，連接EF，再取格點(diǎn)P，連接CP交EF于Q，連接BQ，延長交CD于G即可；（2）取格點(diǎn)F，連接BF、EF，交格線于N，再取格點(diǎn)P，Q，連接PQ交EF于O，連接MO并延長交BD于H即可．解：（1）如圖（1），線段BF和點(diǎn)G即為所求；理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°，∴△BCF≌△BAE（SAS），∴∠CBF＝∠ABE，∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°，∴線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得BF，∵PE∥FC，∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ，∵PE＝FC，∴△PEQ≌△CFO（ASA），∴EQ＝FQ，∴∠GBE=12（2）如圖（2）所示，點(diǎn)N與點(diǎn)H即為所求，理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE，∴△BCF≌△BAE（SAS），∴BF＝BE，∵DF＝DE，∴BF與BE關(guān)于BD對(duì)稱∵BN＝BM，∴M，N關(guān)于BD對(duì)稱，∵PE/FC，∴△POE∽△QOF，∴EOOF∵M(jìn)G∥AE∴EMMB=AG∵∠MEO＝∠BEF，∴△MEO∽△BEF，∴∠EMO＝∠EBF，∴OM∥BF，∴∠MHB＝∠FBH，由軸對(duì)稱可得∠FBH＝∠EBH，∴∠BHM＝∠MBD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換，勾股定理、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)．17．【2023·宜昌】如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．（1）畫出線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，連接AB；（2）畫出與△AOB關(guān)于直線OB對(duì)稱的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是C；（3）填空：∠OCB的度數(shù)為．解：（1）如圖，OB為所作；（2）如圖，△COB為所作；（3）45°【解析】∵線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB，∴OB＝OA，∠AOB＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∵△COB與△AOB關(guān)于直線OB對(duì)稱，∴∠OCB＝∠OAB＝45°．故答案為：45°．山東省18．【2023?棗莊】（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：，；（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．解：（1）軸對(duì)稱圖形面積相等（2）如圖：（答案不唯一）吉林省20.【2023·長春】圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，的面積為；（2）在圖②中，的面積為5（3）在圖③中，是面積為的鈍角三角形．【分析】（1）以為底，設(shè)邊上的高為，依題意得，解得，即點(diǎn)在上方且到距離為個(gè)單位的線段上的格點(diǎn)即可；（2）由網(wǎng)格可知，，以為底，設(shè)邊上的高為，依題意得，解得，將繞或旋轉(zhuǎn)，過線段的另一個(gè)端點(diǎn)作的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（3）作，過點(diǎn)作，交于格點(diǎn)，連接A、B、C即可．解：（1）如圖所示，以為底，設(shè)邊上高為，依題意得：，解得：即點(diǎn)在上方且到距離為個(gè)單位的線段上的格點(diǎn)即可，答案不唯一；（2）由網(wǎng)格可知，以為底，設(shè)邊上的高為，依題意得：，解得：將繞或旋轉(zhuǎn)，過線段的另一個(gè)端點(diǎn)作的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，答案不唯一，（3）如圖所示，作，過點(diǎn)作，交于格點(diǎn)，由網(wǎng)格可知，，，∴是直角三角形，且∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關(guān)計(jì)算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)格作平行線或垂直．19.【2023·吉林】圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．【分析】根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合題意與網(wǎng)格的特點(diǎn)分別作圖即可求解．解：如圖所示，如圖①，，則是等腰三角形，且是銳角三角形，如圖②，，，則，則是等腰直角三角形，如圖③，，則是等腰三角形，且是鈍角三角形，【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，等腰三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．一、選擇題浙江省7．【2023·嘉興、舟山】如圖，已知矩形紙片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：第一步，如圖①將紙片對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為EF，展開后如圖②；第二步，再將圖②中的紙片沿對(duì)角線BD折疊，展開后如圖③；第三步，將圖③中的紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)H處，如圖④．則DH的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由折疊可知BE＝CE＝EH＝BC＝2，∠EHM＝∠C＝90°，CM＝HM.進(jìn)而得出∠EBH＝∠EHB.利用等角的余角相等可得∠HDM＝∠DHM，則MD＝MH，于是可得DM＝HM＝CM＝CD＝.由等腰三角形的性質(zhì)可得DH＝2DG.過點(diǎn)M作MG⊥BD于點(diǎn)G，易證明△MGD∽△BCD，∴，即，∴DG＝，∴DH＝2DG＝．內(nèi)蒙古14.【2023·赤峰】如圖，把一個(gè)邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點(diǎn)C與延長線上的點(diǎn)Q重合．交于點(diǎn)F，交延長線于點(diǎn)E．交于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（）A.①②③ B.②④ C.①③④ D.①②③④【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯(cuò)誤．【答案】A【解析】由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴．∴．∴．故正確；∵，，∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴與不相似．∴．∴與不平行．故錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．山東省9.【2023·威?！咳鐖D，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（）A. B. C. D.【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．【答案】C【解析】由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．黑龍江11．【2023·牡丹江】在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長是（）A．3 B．5 C．2 D．1【分析】由矩形的性質(zhì)得DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝8，所以四邊形ABCD是正方形，則BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，所以EM＝8﹣BM，F(xiàn)M＝CM＝12﹣BM，由勾股定理得（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，求得BM＝2，于是得到問題的答案．【答案】C【解析】如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，∴四邊形ABEF是矩形，∵AF＝AB＝8，∴四邊形ABCD是正方形，∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，如圖②，由折疊得FM＝CM，∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，F(xiàn)M＝CM＝12﹣BM，∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，解得BM＝2，【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，推導(dǎo)出EM＝8﹣BM，F(xiàn)M＝CM＝12﹣BM，是解題的關(guān)鍵．二、填空題湖北省12．【2023·宜昌】如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)A落在長邊CD上的點(diǎn)A處，并得到折痕DE，小宇測得長邊CD＝8，則四邊形A'EBC的周長為．【答案】1616．【2023·武漢】如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點(diǎn)．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△BDE≌△FDE，根據(jù)已知條件得到圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【答案】m2+n2【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，∵DE平分等邊△ABC的面積，∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，∴S△ADGS△FHG=(DGGH)2=m2GH2，S△CHES【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．【2023·隨州】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將△ADM沿直線DM對(duì)折，得到△NDM．當(dāng)射線CN交線段AB于點(diǎn)P時(shí)，連接DP，則△CDP的面積為；DP的最大值為．【分析】△CDP的面積直接以CD為底，AD為高即可求；當(dāng)點(diǎn)P和M重合時(shí)，DP的值最大，畫出圖形，利用勾股定理構(gòu)造方程即可解答．【答案】1025【解析】△CDP的面積為12×5×4=10；當(dāng)點(diǎn)P和M重合時(shí)，設(shè)AP＝x，則PB＝5﹣x，DN＝4，∴CN＝3，在Rt△PBC中，根據(jù)勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2，解得x＝2，∴DP＝25，故答案為：10，25，【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)及勾股定理，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．浙江省13．【2023·臺(tái)州】用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．【答案】140°16．【2023?杭州】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)BCAB=k，若AD＝DF，則CFFA=【答案】k22?k【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△ECF．黑龍江13．【2023·大慶】在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．【分析】利用矩形的性質(zhì)得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折疊的性質(zhì)推導(dǎo)出∠BMN＝∠A＝90°，進(jìn)而得到∠DNM＝∠CMB，由此推斷出△NDM∽△MCB．【答案】△MCB【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CBM＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及翻折變換（折疊問題），熟練掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．19．【2023·龍東地區(qū)】矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，將矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若△ADE是直角三角形，則點(diǎn)E到直線BC的距離是．【分析】由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，延長BA交圓A的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時(shí)△ADE是直角三角形，易得點(diǎn)E到直線BC的距離；當(dāng)過點(diǎn)D的直線與圓相切于點(diǎn)E時(shí)，△ADE是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【答案】6或3+22或3﹣22【解析】由題意矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，可知點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖1，延長BA交OA的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時(shí)△ADE是直角三角形，點(diǎn)E到直線BC的距離為BE的長度，即BE＝2AB＝6；當(dāng)過點(diǎn)D的直線與圓相切于點(diǎn)E時(shí)，△ADE是直角三角形，分兩種情況：①如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥BC交BC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴EG⊥AD，∴四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝3，∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，由勾股定理可得DE=92?32=62，∵S△AED=12AE?DE=12AD?EG，∴EG＝22，∴E到直線BC的距離EH＝EG+GH＝3+22；②如圖3，過點(diǎn)E作EN⊥BC交BC于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是矩形，∴NM⊥AD，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，由勾股定理可得DE=92?32=62，∵S△AED=12AE?DE=12AD?EM，∴EM＝22，∴E到直線BC的距離【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的折疊問題，切線的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．吉林省13.【2023·長春】如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為__________度．【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【答案】【解析】∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【2023·吉林】如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長為__________．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【答案】【解析】∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．遼寧省17．【2023·本溪】如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形紙片沿AD對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)B′D⊥BC時(shí)，∠BAD的度數(shù)為．【分析】由AB＝AC，得∠C＝∠B＝20°，則∠BAC＝140°，當(dāng)B′D⊥BC時(shí)，則∠CAB′＝90°﹣∠C＝70°，所以∠BAB′＝∠BAC﹣∠CAB′＝70°，則∠BAD＝∠B′AD=12∠【答案】35°【解析】∵AB＝AC，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝140°，當(dāng)B′D⊥BC時(shí)，則∠CAB′＝90°﹣∠C＝70°，∴∠BAB′＝∠BAC﹣∠CAB′＝70°，∵將三角形紙片沿AD對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∴∠BAD＝∠B′AD=12∠BAB′【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，求得∠BAB′＝70°是解題的關(guān)鍵．四川省16．【2023·南充】如圖，在等邊△ABC中，過點(diǎn)C作射線CD⊥BC，點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)B落在射線CD上的點(diǎn)B′處，連接AB′，已知AB＝2．給出下列四個(gè)結(jié)論：①CN+NB′為定值；②當(dāng)BN＝2NC時(shí)，四邊形BMB′N為菱形；③當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，∠AB′M＝18°；④當(dāng)AB′最短時(shí)，MN=72120【分析】根據(jù)將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)B落在射線CD上的點(diǎn)B′處，得NB＝NB'，故CN+NB'＝CN+NB＝BC，判斷①正確；由cos∠B'NC=NCB′N=12，得∠B'NC＝60°，可得△BMN是等邊三角形，即可得B'M＝BM＝BN＝B'N，判斷②正確；當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，可得∠B'AC＝∠AB'C＝75°，∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝15°，判斷③錯(cuò)誤；當(dāng)AB′最短時(shí)，∠AB'C＝90°，過M作KT⊥BC于T，交B'A延長線于K，設(shè)BN＝B'N＝x，有x2＝（2﹣x）2+（3）2，可求得BN=74，設(shè)AM＝y(tǒng)，則BM＝2﹣y＝B'M，AK=12y，KM=32y，有（1+12y）2+（32y）2＝（2﹣y）2，可求出AM=35，BM=75，在Rt△BMT中，BT=12BM=【答案】①②④【解析】∵將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)B落在射線CD上的點(diǎn)B′處，∴NB＝NB'，∴CN+NB'＝CN+NB＝BC，∵△ABC是等邊三角形，AB＝2，∴BC＝2，∴CN+NB'＝BC＝2，故①正確；∵BN＝2NC，∴B'N＝2NC，∵CD⊥BC，∴∠B'CN＝90°，∴cos∠B'NC=NCB′N=12，∴∠B'NC＝60°，∴∠BNB'＝120°，∵將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)B落在射線CD上的點(diǎn)B′處，∴∠BNM＝∠MNB'＝60°，BM＝B'M，BN＝B'N，∵∠B＝60°，∴△BMN是等邊三角形，∴BM＝BN，∴B'M＝BM＝BN＝B'N，∴四邊形BMB′N為菱形；故②正確；當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，如圖①：∵∠ACB＝60°，∠DCB＝90°，∴∠ACD＝30°，∵將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)B落在射線CD上的點(diǎn)B′處，∴AC＝BC＝B'C，∠MB'C＝∠B＝60°，∴∠B'AC＝∠AB'C＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝75°﹣60°＝15°，故③錯(cuò)誤；當(dāng)AB′最短時(shí)，∠AB'C＝90°，過M作KT⊥BC于T，交B'A延長線于K，如圖②：∵∠ACB'＝∠BCB'﹣∠BCA＝30°，∴AB'=12AC＝1，B'C=3AB'=3，∠B'AC＝60°，設(shè)BN＝B'N＝x，則CN＝2﹣x，在Rt△B'CN中，B'N2＝CN2+B'C2，∴x2＝（2﹣x）2+（3）2，解得x=74，∴BN=74，∵∠AB'C＝90°＝∠BCB'，∴AB'∥BC，∴KT⊥AB'，∴∠K＝90°，∵∠KAM＝180°﹣∠BAC﹣∠B'AC＝60°，∴∠KMA＝30°，∴AK=12AM，KM=32AM，設(shè)AM＝y(tǒng)，則BM＝2﹣y＝B'M，AK=12y，KM=32y，∴B'K＝AB'+AK＝1+12y，在Rt△B'KM中，B'K2+KM2＝B'M2，∴（1+12y）2+（32y）2＝（2﹣y∴NT＝BN﹣BT=74?710=2120，在Rt△MNT① ②【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形中的翻折問題，涉及含30°角的直角三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．17．【2023·涼山州】如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，將△ACD沿CD折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處時(shí)，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，則CA′＝．【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性質(zhì)可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°=2AC，可解得【答案】23【解析】設(shè)CA'交AB于O，如圖：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD，由翻折的性質(zhì)可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，∵A'C⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tanA=BCAC，∴tan30°=2AC，∴AC＝23，∴CA'＝2【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練掌握含30°角的直角三角形三邊的關(guān)系．山東17．【2023·泰安】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱可得∠B＝∠B′，進(jìn)而得出△ADF∽△B′GF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出FG，進(jìn)而求出CG．【答案】92【解析】∵△BDE與△B′DE關(guān)于DE對(duì)稱，∴∠B＝∠B′，又∵∠AFD＝∠B′FG，∴△ADF∽△B′GF，∴AFB′F=DFGF，即84=7GF，∴GF=72，∴CG【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．三、解答題廣西26．【2023·廣西26題】【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，使點(diǎn)B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕AM，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B'E展平紙片，連接AB'，BB'，BE′．請(qǐng)完成：（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；（2）證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連接BN，在AB上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′．請(qǐng)完成：（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線．【分析】（1）猜想∠1＝∠2＝∠3；（2）可推出點(diǎn)O是等邊三角形ABB′的外心，從而得出∠1＝∠2＝30°，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）同理（2）可得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，從而∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，根據(jù)EF∥BC得出∠OB′B＝∠B′BC，進(jìn)一步得出結(jié)論．（1）解：∠1＝∠2＝∠3；（2）證明：如圖1，設(shè)AM，EF交于點(diǎn)O，由題意得：EF是AB的垂直平分線，AM是BB′的垂直平分線，AB＝AB′，∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′.∴AB′＝BB′＝AB，O為外心.∴∠ABB′＝60°.∴∠1＝∠2＝30°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠3＝90°﹣60°＝30°.∴∠1＝∠2＝∠3.（3）證明：如圖2，同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O.∵EF∥BC，∴∠OB′B＝∠B′BC.∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC.∴BB′是∠NBC的一條三等分線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．四川省25．【2023·達(dá)州】（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上A'處，若AB＝6，BC＝10，求AEEB（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長線上B'處，若BC?CE＝24，AB＝6，求BE的值；（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD＝10，AE＝6，過點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，且滿足∠DFE＝2∠DAC，直接寫出BD+53?【分析】（1）由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結(jié)合勾股定理求得AB＝2，設(shè)AE＝AE＝x則BE＝AB﹣AE＝6﹣x，Rt△ABE中利用勾股定理求得x=103，則AE=10（2）由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到∠EBC＝∠BDA，證明△EBC∽△BDA，利用相似三角形的性質(zhì)求得BC＝4，則BD＝10，在Rt△ABD中，利用勾股定理求得AD＝8，進(jìn)而求得BC＝8，CE＝3可求解；（3）證明△AEF∽△ADC得到CD=5F3EF，則BD+53EF=BD+CD=BC；設(shè)EF＝3k，CD＝5k，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，證明△CHD≌△FHD（ASA）得到DF＝CD＝5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k＝1，進(jìn)而可求得AC＝55．過B作BG⊥AC于G，證明∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，則sin∠CBG=sin∠DAC=55，cos∠CBG=cos∠DAC=255，再證明AG＝BG，在Rt△BCG中利用銳角三角函數(shù)和AG解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由翻折性質(zhì)得AD＝AD＝10，AE＝AE，在Rt△ACD中，AC=A∴A'B＝BC﹣AC＝2，設(shè)AE＝A'E＝x，則BE＝AB﹣AE＝6﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2+AB2＝AE2，∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x=10∴AE=103，BE=6?10（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，由翻折性質(zhì)得，A'B'＝AB＝6，A'D＝AD，∠DA'B'＝∠ABE＝∠BCD＝∠90°，∴∠EB'C+∠AB'D＝90°＝∠A'B'D+∠B'DA'，∴∠EB'C＝∠B'DA'，∴△EB'C∽△B'DA'，∴CEA′B′=B′C又BC?CE＝24，∴B'C=BC?CE6=246=4，∴B'D＝在Rt△A'BD'中，AD=B′∴BC＝AD＝A'D＝8，則CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5；（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ADC，∵AD＝10，AE＝6，∴EFCD=AEAD=則BD+5設(shè)EF＝3k，CD＝5k，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，則∠CHD＝∠ADC＝90°，∴∠CDH＝∠DAC＝90°﹣∠C，∵EF∥BC，∴∠CDF＝∠DFE＝2∠DAC＝2∠CDH，∴∠CDH＝∠FDH，又∵DH＝DH，∠CHD＝∠FHD＝90°，∴△CHD≌△FHD（ASA），∴DF＝CD＝5k，在Rt△EFD中，由勾股定理得EF2+DE2＝DF2，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得k＝1，∴EF＝3，DF＝CD＝5，在Rt△ADC中，AC=A過B作BG⊥AC于G，則∠BGA＝∠BGC＝∠CHD＝90°，∴BG∥DH，∴∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，∴sin∠CBG=sin∠DAC=CDAC=∵∠BAC＝45°，∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，∴AG＝BG，在Rt△BCG中，BG＝BC?cos∠CBG=255BC，CG＝BC?sin∠CBG∵AG+CG＝BG+CG＝AC，∴25∴BC=253，∴BD+53EF【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線求解是解答的關(guān)鍵．山東省23．【2023·泰安】如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是DC邊上的一點(diǎn)，連接AF，將△ADF沿直線AF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接AG并延長交DC于點(diǎn)H，連接FG并延長交BC于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)E，且AC＝AE．（1）求證：四邊形DBEF是平行四邊形；（2）求證：FH＝ME．【分析】（1）要證四邊形DBEF是平行四邊形，因?yàn)镈F∥BE，只要證DB∥FE，進(jìn)而證明∠E＝∠ABD即可，需證明△ADC≌△AGE；（2）只要證明△FGH≌△EBM即可．證明：（1）∵△ADF沿直線AF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，∴△ADF≌△AGF，∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°，∴∠AGE＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC和Rt△AGE中：AD=AGAC=AE∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），∴∠ACD＝∠E，在矩形ABCD中，對(duì)角線互相平分，∴OA＝OB，∴∠CAB＝∠ABD，又∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝∠E，∴DB∥FE，又∵DF∥BE，∴四邊形DBEF是平行四邊形．（2）∵四邊形DBEF是平行四邊形，∴DF＝EB，又∵DF＝FG，∴FG＝EB，∵DC∥AE，∴∠HFG＝∠E，在△FGH和△EBM中：∠FGH=∠EBM=90°FG=EB∴△FGH≌△EBM（ASA），∴FH＝ME．【點(diǎn)評(píng)】此題以矩形為載體，考查了平行四邊形的判斷，三角形全等的知識(shí)，比較綜合．24．【2023?棗莊】問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝30，AD是BC邊上的中線．如圖2，將△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿EF，GH折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB，AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．猜想證明：（1）如圖2，試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿MN折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，BM的對(duì)應(yīng)線段交DG于點(diǎn)K，求四邊形MKGA的面積．【分析】（1）由AB＝AC，AD是BC邊上的中線，得BD＝CD=12BC，AD⊥BC，由折疊得BF＝DF=12BD，CH＝DH=12CD，EF⊥BD，GH⊥CD，則EF∥GH∥AD，可證明BE＝AE，CG＝AG，所以DE＝AE=12AB，GD＝AG=12AC，則（2）作KI⊥DH于點(diǎn)I，由AB＝AC＝17，BC＝30，得BD＝CD＝15，AD=AB2?BD2=8，所以CH＝DH=152，則GH=12AD＝4，BH=452，所以BN＝HN=454，因?yàn)镸N∥AD，所以△MBN∽△ABD，則MNAD=BNBD=34，所以MN=34AD＝6，再證明KD＝KH，則DI＝HI=154，由KIHI=tan∠KHI＝tanC=AD解：（1）四邊形AEDG是菱形.理由：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD=12BC，AD⊥BC.∴∠ADB＝∠ADC由折疊得BF＝DF=12BD，CH＝DH=12CD，EF⊥BD，∴EF∥GH∥AD.∴BEAE=BFDF∴BE＝AE，CG＝AG.∴DE＝AE=12AB，GD＝AG=∵12AB=12AC，∴DE＝AE＝GD∴四邊形AEDG是菱形．（2）如圖3，作KI⊥DH于點(diǎn)I，則∠KIH＝90°，∵AB＝AC＝17，BC＝30，∴BD＝CD=12BC=∴AD=AB2?BD2=172∴GH=12AD=12×8＝4，BH＝BC由折疊得BN＝HN=12BH=12×∴MN∥AD.∴△MBN∽△ABD.∴MNAD=BNBD=45415∵∠KHD＝∠B，∠KDH＝∠C，且∠B＝∠C，∴∠KHD＝∠KDH.∴KD＝KH.∴DI＝HI=12DH∵∠KHI＝∠B＝∠C，∴KIHI=tan∠KHI＝tanC∴KI=815HI=815×154=2.∴S四邊形MKGA＝A△ABC﹣S△MBH﹣∴S四邊形MKGA=12×30×8?12×∴四邊形MKGA的面積是30．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形的面積等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．湖北省18．【2023·恩施州】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，連接AD′交BC′于點(diǎn)F．（1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度數(shù)；（2）連接EF，試判斷四邊形C′D′EF的形狀，并說明理由．解:（1）∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，由翻折可知：D′E＝DE，∴AE＝D′E，∴∠EAD′＝∠ED′A，∵∠DED′＝∠EAD′+∠ED′A＝70°，∴∠DAD′＝35°；（2）四邊形C′D′EF是矩形，理由如下：如圖，連接EF，由翻折可知：∠EBC＝∠EBG，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠GEB，∴∠GBE＝∠GEB，∴GE＝GB，∵ED′∥BC′，∴∠AFG＝∠AD′E，∴∠AFG＝∠GAF，∴GF＝GA，∴AE＝BF，∵AD＝2AE＝BC′，∴BC′＝2BF，∴F是BC′的中點(diǎn)，∴FC′=12∵ED′＝ED=12AD，∴FC′＝∵ED′∥BC′，∴四邊形C′D′EF是平行四邊形，∵∠C′＝∠C＝90°，∴四邊形C′D′EF是矩形．21．【2023·仙桃】如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM．（1）求證：∠AMB＝∠BMP；（2）若DP＝1，求MD的長．【分析】（1）利用平行線內(nèi)錯(cuò)角相等和翻折前后對(duì)應(yīng)角相等，等量代換即可證明；（2）利用相似列出關(guān)系式DPAM（1）證明：點(diǎn)B、M關(guān)于線段EF對(duì)稱，由翻折的性質(zhì)可知：∠MBC＝∠BMP，∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠MBC＝∠AMB，∴∠AMB＝∠BMP（等量代換）．（2）解：設(shè)MD＝x，則AM＝3﹣x，設(shè)AE＝y(tǒng)，則EM＝EB＝3﹣y．在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2，∴y=?16x2+x．即AE=?16x∵∠ABC＝∠EMN＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°，又∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D，∴△AEM∽△DMP．∴DPAM=MD整理得：56x2=2x，∴x=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折的性質(zhì)以及相似三角的判定，勾股定理的應(yīng)用，掌握一線三垂直的相似是本題突破的關(guān)鍵．內(nèi)蒙古22．【2023·通遼】綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM，延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠EMB＝度；（2）改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．?【分析】（1）由折疊可得AE＝BE=12AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，故BE=12（2）證明Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），可得∠MBQ＝∠CBQ．解：（1）由折疊可得：AE＝BE=12AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝∴BE=12BM，∴∠（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：∵在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°，∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°，∵BM＝BM，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）；∴∠MBQ＝∠CBQ．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)和正方形性質(zhì)．遼寧省24．【2023·沈陽】如圖1，在?ABCD紙片中，AB＝10，AD＝6，∠DAB＝60°，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，射線C′E與射線AD交于點(diǎn)F．（1）求證：AF＝EF；（2）如圖2，當(dāng)EF⊥AF時(shí)，DF的長為；（3）如圖3，當(dāng)CE＝2時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，延長FM交C′D′于點(diǎn)N，連接AN，EN，求△ANE的面積．【分析】（1）可推出∠FAE+∠AEC＝180°，∠AEC′＝∠AEC，從而∠FAE+∠AEC′＝180°，因?yàn)椤螦EF+∠AEC′＝180°，所以∠FAE＝∠AEF；（2）作AG⊥CB，交CB的延長線于G，可推出矩形AGFE是正方形，可得出AF＝AG＝AB?sin∠ABG＝10×32=（3）作AQ⊥CB，交CB的延長線于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延長線于G，作HR⊥MT于R，解直角三角形ABQ，依次求得BQ、AQ、EQ、AE的值，進(jìn)而求得AM的值，根據(jù)cos∠DAE＝cos∠AEQ得出ATAM=EQAE，從而求得AT=92，同樣求得MT=532，從而得出DT的值，解Rt△DGT求得GT，從而得出MG的值，根據(jù)tan∠FMT＝tan∠DAE＝tan∠AEQ得出HRRM=AQEQ=539，從而設(shè)HR＝53k，RM＝9k，進(jìn)而表示出GR=3（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE+∠AEC＝180°，由折疊得：∠AEC′＝∠AEC，∴∠FAE+∠AEC′＝180°，∵∠AEF+∠AEC′＝180°，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF；（2）53?6[解析]作AG⊥CB，交CB的延長線于G，在?ABCD中，AD∥BC，∴∠ABG＝∠DAB＝60°，∠FEG＝180°﹣∠F＝90°，∴AG＝AB?sin∠ABG＝10×32=53由（1）知：AF＝EF，∴矩形AGFE是正方形，∴AF＝AG＝53，∴DF＝AF﹣AD＝53?（3）解：如圖2，作AQ⊥CB，交CB的延長線于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延長線于G，作HR⊥MT于R，∵CB∥AD，∴∠ABQ＝∠DAB＝60°，∴BQ＝AB?cos60°＝10×12=5，AQ∴EQ＝BE+BQ＝9，∴AE=A由（1）知：AF＝EF，∵FM⊥AE，∴AM＝EM=12AE又∵?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，∴HM＝MN，∵cos∠DAE＝cos∠AEQ，∴ATAM∴AT39=92同理可得：MT=5∴DT＝AD﹣AT＝6?9在Rt△DGT中，∠GDT＝∠DAB＝60°，DT=3∴GT=3∴MG＝GT+MT=3∵tan∠FMT＝tan∠DAE＝tan∠AEQ，∴HRRM=AQEQ=539，∴設(shè)HR∵tan∠GHR＝tan∠GDT，∴HRGR∴GR=3HR=由GR+RM＝MG得，15k+9k＝43，∴k=3∴HR＝53k=5∵sin∠FMT＝sin∠DAE＝sin∠AEQ，∴HRHM=AQ∴HM=13，∴MN=∴S△ANE=12AE?MN=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形、正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，熟練運(yùn)用解直角三角形．25.【2023·大連】綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長，就可求出的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請(qǐng)你回答：問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得，即可得證；（2）連接，交于點(diǎn)，則是的中位線，勾股定理求得，根據(jù)即可求解；問題2：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知條件可得，則四邊形是矩形，勾股定理求得，根據(jù)三線合一得出，根據(jù)勾股定理求得的長，即可求解．（1）證明：∵等腰中，由翻折得到∴，，∵，∴；（2）解：如圖所示，連接，交于點(diǎn)，∵折疊，∴，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在中，，在中，，∴.問題2：解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，又，∴四邊形是矩形，則，在中，，,，∴，在中，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．江蘇省24．【2023·泰州】如圖，矩形ABCD是一張A4紙，其中AD=2AB，小天用該A游戲1折出對(duì)角線BD，將點(diǎn)B翻折到BD上的點(diǎn)E處，折痕AF交BD于點(diǎn)G．展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰為BC的中點(diǎn)．游戲2在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到BD上，折痕為BP；展開后將點(diǎn)B沿過點(diǎn)F的直線翻折到BP上的點(diǎn)H處；再展開并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)∠AGH是一個(gè)特定的角．（1）請(qǐng)你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）請(qǐng)你猜想游戲2中∠AGH的度數(shù)，并說明理由．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AF⊥BD，根據(jù)題意可得∠BAG＝∠ADB＝∠GBF，再設(shè)AB＝a，然后表示出AD、BD，再由銳角三角函數(shù)求出BF即可；（2）由折疊的性質(zhì)可知∠GBH＝∠FBH，BF＝HF，從而可得出∠GBH＝∠BHF，進(jìn)而得到BD∥HF，∠DGH＝∠GHF，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在Rt△GFH中求出∠GHF的正切值即可解答．（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得AF⊥BD，∴∠AGB＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BAG＝∠ADB＝∠GBF，∵AD=2AB設(shè)AB＝a，則AD=2a，BD=3∴sin∠BAG＝sin∠ADB，即BGAB∴BGa=a3根據(jù)勾股定理可得AG=63cos∠GBF＝cos∠BAG，即BGBF∴33aBF=6∵BC＝AD=2a，∴BF=1∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．（2）解：∠AGH＝120°，理由如下：連接HF，如圖：由折疊的性質(zhì)可知∠GBH＝∠FBH，BF＝HF，∴∠GBH＝∠FBH，∠FBH＝∠FHB，∴∠GBH＝∠BHF，∴BD∥HF，∴∠DGH＝∠GHF，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，∴∠AGD＝90°，設(shè)AB＝a，則AD=2a＝BC，BF＝HF=2∴BG=33a，∴GF在Rt△GFH中，tan∠GHF=GF∴∠GFH＝30°，∴∠DGH＝30°，∴∠AGH＝∠AGD+∠DGH＝90°+30°＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．27.【2023·無錫】如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．解：（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．一、選擇題寧夏8．【2023·寧夏8題】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD：CD＝1：3．連接AD，線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE．則△BDE的面積是（）A．14 B．38 C．34【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD＝AE，∠DAE＝90°，再根據(jù)SAS證明△EAB≌△DAC得出∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，得出∠EBC＝90°，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【答案】B【解析】∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°.∴∠EAB+∠BAD＝90°.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°.∴∠EAB＝∠CAD.∴△EAB≌△DAC（SAS）.∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE.∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°.∵BC＝2，BD：CD＝1：3，∴BD=12，CD＝BE=32.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)SAS證明△EAB≌△DAC是解題的關(guān)鍵．天津11．【2023?天津11題】如圖，把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在BC的延長線上，連接BD，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD【答案】A【解析】如圖，∵把△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6.∴∠5＝∠1+∠3.∵∠2+∠4+∠6+∠BED＝180°，∴∠BED＝180°－（∠2+∠4+∠6）＝180°－（∠1+∠3+∠5）=180°－2∠5.∵∠∠CAE=180°－（∠5+∠6）=180°－2∠5.∴∠BED＝∠CAE.其余幾個(gè)選項(xiàng)可直觀上排除，故選A．山東省7．【2023·臨沂】將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【解析】由于正六邊形的中心角為360°612．【2023·泰安】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝43，∠D＝30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM．將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）A．3 B．62?4 C．213?2【分析】由點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，想到構(gòu)造中位線，取OB中點(diǎn)，再利用三角形兩邊之差的最值模型．【答案】A【解答】解：取OB中點(diǎn)N，連接MN，AN．在Rt△OCD中，OD＝43，∠D＝30°，∴OC＝4，∵M(jìn)、N分別是BC、OB的中點(diǎn)，∴MN=12OC＝2，在△ABN中，AB＝4，BN＝3，∴AN＝5，在△AMN中，AM＞AN﹣MN；當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到AN上時(shí)，AM＝AN﹣MN，∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，∴線段AM的最小值是3，故選：【點(diǎn)評(píng)】此題方法較多，可以用三角形兩邊之差的最值模型，也可用瓜豆模型湖南省2．【2023·郴州】下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】B江蘇省7.【2023·無錫】如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落在上，此時(shí)等于（）A. B. C. D.【答案】B內(nèi)蒙古8.【2023·赤峰】如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移到，點(diǎn)D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是()A.16，6 B.18，18 C.16.12 D.12，16【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．【答案】C【解析】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴.在中，，，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴.∵，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴，，∴點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴.∵D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴.∴四邊形的周長為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識(shí)，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．7．【2023·通遼】如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（）A．24° B．28° C．48° D．66°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【答案】C【解析】∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，∴∠ADE＝66°，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE，∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝66°∴∠BAD＝48°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．【2023·通遼】如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S＝ah時(shí)，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，則△ABE的平移距離為（）A．3 B．4 C．5 D．12【答案】B四川省2．【2023·南充】如圖，將△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，則CF的長是（）A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】A12．【2023·宜賓】如圖，△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把△ADE以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn)．若AB＝，AD＝1．以下結(jié)論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，MC＝；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段MB最短時(shí)，△MBC的面積為．其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】證明△BAD≌△CAE可判斷①，由三角形的外角的性質(zhì)可判斷②，證明∠DCM∽∠ECA，有，即可判斷③；以A為圓心，AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時(shí)，MB的值最小，可得四邊形AEMD是正方形，在Rt△MBC中，，然后根據(jù)三角形的面積公式可判斷④．【答案】D【解析】∵△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正確；設(shè)∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，∴BD⊥CE，故②正確；當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，如圖：同理可得∠DMC＝90°，∴∠DMC＝∠EAC，∵∠DCM＝∠ECA，∴∠DCM∽△ECA∴，∵＝AC，AD＝1＝AE，∴，，∴，∴，故③正確；④以A為圓心，AD為半徑畫圓，如圖：∵∠BMC＝90°，∴當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時(shí)，MB的值最小，∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，∵AE＝AD，∴四邊形AEMD是正方形，∴MD＝AE＝1，∵BD＝＝＝，∴CE＝BD＝，BM＝BD﹣MD＝﹣1，∴MC＝CE+ME＝+1，∵BC＝AB＝，∴MB＝＝＝+1，∴△MBC的面積為×（+1）×（﹣1）＝，故④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)問題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．二、填空題上海17．【2023·上?！咳鐖D，在△ABC中，∠C＝35°，將△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180