人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章-導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用-同步教案

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名性別年級學(xué)科數(shù)學(xué)授課教師上課時間年月日第（）次課共（）次課課時：2課時教學(xué)課題人教版選修1-1第三章導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用同步教案教學(xué)目標知識目標：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值能力目標：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生的運算能力情感態(tài)度價值觀：通過探討激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣教學(xué)重點與難點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)過程（一）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)知識梳理1．函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負間的關(guān)系設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào).f′(x)<0單調(diào).f′(x)＝0常數(shù)函數(shù)2．一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，說明函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相應(yīng)的x的取值范圍．當f′(x)>0時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當f′(x)<0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)．(4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間．例題精講【題型一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性】【例1】證明：函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)在區(qū)間(0，e)上是增函數(shù)．【方法技巧】關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的判斷問題：(1)首先考慮函數(shù)的定義域，所有函數(shù)性質(zhì)的研究必須保證在定義域內(nèi)這個前提下進行．(2)f′(x)>(或<)0，則f(x)為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)；但要特別注意，f(x)為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則f′(x)≥(或≤)0.【題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝x3－x；(2)y＝ex－x＋1.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．注意：如果函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間應(yīng)用“，”、“和”等連接，而不能寫成并集的形式．【題型三已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍】【例3】已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常數(shù)a∈R)．若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．【方法技巧】已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)遞增(或減)，轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間Ⅰ上恒成立，再用有關(guān)方法可求出參數(shù)的取值范圍．【題型四用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系證不等式】【例4】當x＞0時，證明不等式lnx＞x－eq\f(1,2)x2.【方法技巧】要證明不等式f(x)>g(x)(x∈(a，b))成立，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函數(shù)，若F(a)－g(a)≥0.由增函數(shù)的定義可知，當x∈(a，b)時，f(x)－g(x)>0，從而證明了不等式f(x)>g(x)．鞏固訓(xùn)練1.試證明：函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減．2.求函數(shù)f(x)＝3x2－2lnx的單調(diào)區(qū)間．3.(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)減區(qū)間為[－1，2]，求b，c的值．(2)設(shè)f(x)＝ax3＋x恰好有三個單調(diào)區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．4.當0＜x＜eq\f(π,2)時，求證：x－sinx＜eq\f(1,6)x3.（二）函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)知識梳理1．極值點與極值(1)極小值與極小值點如圖，若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值與極大值點如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的，極小值點、極大值點統(tǒng)稱為，極大值和極小值統(tǒng)稱為．2．求函數(shù)f(x)極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)0，那么，f(x0)是極大值．(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)0，那么，f(x0)是極小值．例題精講【題型一求函數(shù)的極值】【例1】求下列函數(shù)的極值．(1)f(x)＝eq\f(3,x)＋3lnx；(2)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2.【方法技巧】求函數(shù)的極值必須嚴格按照求函數(shù)極值的方法步驟進行，其重點是列表．解題時注意導(dǎo)數(shù)為零的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否是異號的，若異號，則是極值；否則，則不是極值．【題型二已知極值求參數(shù)值】【例2】已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1.(1)求常數(shù)a，b，c的值；(2)判斷x＝±1是函數(shù)的極大值點還是極小值點，試說明理由，并求出極值．【方法技巧】已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進而研究函數(shù)性質(zhì)時注意兩點：(1)常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．【題型三極值的綜合應(yīng)用】【例3】設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的極值；(2)是否存在實數(shù)a，使得方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【方法技巧】用求導(dǎo)的方法確定方程根的個數(shù)是一種很有效的方法，它是通過函數(shù)的變化情況，運用數(shù)形結(jié)合的思想來確定函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)．鞏固訓(xùn)練1.求函數(shù)y＝x4－4x3＋5的極值．2.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知當x＝－1時取得極大值7，當x＝3時取得極小值，試求函數(shù)f(x)的極小值，并求a、b、c的值．3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.函數(shù)y=x+cosx在（-，+）內(nèi)是（）A增函數(shù)B減函數(shù)C有增有減D不能確定2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A．（ B.C．， D.以上都不對。3.函數(shù)(,則()A．B.C．D.大小關(guān)系不能確定4.下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是（）A.y=sinx+1,B.C.D.5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 6.如果函數(shù)y=+lnx-ax在定義域為增函數(shù)，則a的取值范圍是 7.如果函數(shù)f(x)=x+在（2，）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是 8.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為9.求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）；（2）【能力提升】1.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是()A．（ B.C．（和 D.2．函數(shù)，則()A．在內(nèi)是減函數(shù) B.在內(nèi)是增函數(shù)C．在內(nèi)是減函數(shù) D.在內(nèi)是增函數(shù)3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.[0，＋∞）B.[2，＋∞）C.（－∞，2]D.（－∞，1]4.是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（）ABCDA．B．C．D．5.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的（）A.B.C.