高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 立體幾何 第2講 空間直線與平面的位置關(guān)系專題強(qiáng)化訓(xùn)練 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

（通用版）2016年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八立體幾何第2講空間直線與平面的位置關(guān)系專題強(qiáng)化訓(xùn)練理(時(shí)間：45分鐘滿分：60分)一、選擇題1．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不重合的直線a，b，則下列說法正確的是()A．若a∥b，b?α，則a∥αB．若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥βC．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，則a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b解析：選D.對于A，根據(jù)線面平行的判定，a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故A不正確；對于B，根據(jù)面面平行的判定，a，b相交時(shí)，α∥β，故B不正確；對于C，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)a?α，α⊥β，α∩β＝b，a⊥b時(shí)，a⊥β，故C不正確；對于D，若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則由直線與平面垂直的性質(zhì)定理知a⊥b，故D正確．故選D.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)．P在對角線BD1上，且BP＝eq\f(2,3)BD1，則()A．MN∥平面APCB．C1Q⊥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APC解析：選C.由題知，MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；連接AN，易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面ACMN，即C1Q∥平面APC，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題意易知MN?平面APC，所以平面MNQ與平面APC相交．故選C.3．已知a、b為異面直線，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AC＝AD，BC＝BD，則直線a、b所成的角為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選A.取CD的中點(diǎn)E，連接AE、BE，因?yàn)锳C＝AD，BC＝BD，所以CD⊥BE，CD⊥AE，則CD⊥平面ABE，又AB?平面ABE，所以CD⊥AB，即直線a、b所成的角為90°.故選A.4.在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分別與AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它們分別是AB、BC、SC、SA的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A．18 B．18eq\r(3)C．36 D．36eq\r(3)解析：選A.∵D、E、F、H分別是AB、BC、SC、SA的中點(diǎn)，∴DE∥AC，F(xiàn)H∥AC，DH∥SB，EF∥SB，則四邊形DEFH是平行四邊形，且HD＝eq\f(1,2)SB＝6，DE＝eq\f(1,2)AC＝3.取AC的中點(diǎn)O，連接OB、SO，∵SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，∴AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，則HD⊥DE，即四邊形DEFH是矩形，∴四邊形DEFH的面積S＝6×3＝18，故選A.5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為8，側(cè)棱長為6，D為AC的中點(diǎn)，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2\r(6),25)C.eq\f(1,25) D．eq\f(2,5)解析：選C.如圖所示，連接B1C交BC1于E，連接DE，∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴B1E＝EC.又AD＝DC，∴DE∥AB1，則∠DEB或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角，在△DEB中，DE＝5，BD＝4eq\r(3)，BE＝5，∴cos∠DEB＝eq\f(52＋52－（4\r(3)）2,2×5×5)＝eq\f(1,25).故選C.6．正四棱錐S-ABCD中，SA＝AB＝2，則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(6),3)解析：選B.∵正四棱錐S-ABCD中，SA＝AB＝2，∴正四棱錐S-ABCD的高為eq\r(2)，在三棱錐S-ABC中，S△ABC＝2，VS-ABC＝eq\f(1,3)×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).又在三棱錐A-SBC中，S△SBC＝eq\r(3)，VS-ABC＝VA-SBC，∴三棱錐A-SBC的高h(yuǎn)＝eq\f(2\r(6),3)，∴直線AC與平面SBC所成角的正弦值為eq\f(h,AC)＝eq\f(2\r(6),3×2\r(2))＝eq\f(\r(3),3).故選B.7.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下面命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：選D.由題知，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.8．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則BC與平面A′CD所成的角的正弦值為()A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)解析：選B.∵A′B＝A′D＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′B2＋A′D2＝BD2，∴BA′⊥A′D.∵平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，∵BA′?平面A′BD，∴BA′⊥CD.∵A′D∩CD＝D，∴BA′⊥平面A′CD，∴∠BCA′為BC與平面A′CD所成的角．∵CD＝1，BD＝eq\r(2)，∴BC＝eq\r(3)，∴BC與平面A′CD所成的角的正弦值為eq\f(\r(3),3).故選B.9．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角的大小為()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)解析：選A.如圖，取B1C1的中點(diǎn)D，連接AD，A1D，∵側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴BB1∥AA1，∴AA1與平面AB1C1所成的角即是BB1與平面AB1C1所成的角，∵B1C1⊥A1D，B1C1⊥AA1，∴B1C1⊥平面AA1D，∴平面AA1D⊥平面AB1C1，∴AA1與平面AB1C1所成的角為∠A1AD，∵AA1＝3，A1D＝eq\r(3)，∴tan∠A1AD＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A1AD＝eq\f(π,6)，∴BB1與平面AB1C1所成的角為eq\f(π,6).故選A.10.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2eq\r(3)，動(dòng)點(diǎn)P在對角線BD1上，過點(diǎn)P作垂直于BD1的平面α，記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y，設(shè)BP＝x，則當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)?)A．[2eq\r(6)，6eq\r(6)] B．[2eq\r(6)，18]C．[3eq\r(6)，18] D．[3eq\r(6)，6eq\r(6)]解析：選D.當(dāng)P點(diǎn)從B點(diǎn)向D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面的周長y越來越大，當(dāng)截面經(jīng)過平面AB1C時(shí)，周長最大，當(dāng)P點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，在截面AB1C到截面A1DC1之間，截面周長不變，當(dāng)P點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)時(shí)，截面周長越來越小，所以截面周長的最大值就是△AB1C的周長．因?yàn)檎襟w的棱長為2eq\r(3)，所以AC＝2eq\r(6)，即周長為6eq\r(6)，當(dāng)x＝1時(shí)，截面的周長最小，如圖，設(shè)△EFG的邊長為eq\f(y,3)，BF2＋BE2＝EF2＝eq\f(y2,9)，又BF＝BE，所以BE＝eq\f(\r(2)y,6)，連接EP交FG于M點(diǎn)，連接BM，因?yàn)镻是等邊△EFG的中心，所以FM＝eq\f(y,6)，所以EM2＝EF2－FM2＝(eq\f(\r(3)y,6))2，因?yàn)镋P＝eq\f(2,3)EM，所以EP＝eq\f(\r(3)y,9).又BP2＋EP2＝BE2，即12＋(eq\f(\r(3)y,9))2＝(eq\f(\r(2)y,6))2，得y＝3eq\r(6)，所以f(x)的值域?yàn)閇3eq\r(6)，6eq\r(6)]．故選D.二、填空題11．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，有下列命題：①若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；②若α∥β，l∥α，則l∥β；③若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.其中真命題是________(寫出所有真命題的序號(hào))．解析：由直線與平面平行的性質(zhì)定理，知命題①正確；若α∥β，l∥α，則l?β或l∥β，命題②錯(cuò)誤；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α.又∵α∥β，∴m⊥β，命題③正確．答案：①③12．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F(xiàn)分別為線段A1D1，CC1的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABB1A1所成角的余弦值為________．解析：取BB1的中點(diǎn)M，連接FM，A1M，易知FM⊥平面ABB1A1，EA1⊥平面ABB1A1，所以線段A1M是線段EF在平面ABB1A1上的射影．連接C1E，設(shè)AB＝1，直線EF與平面ABB1A1所成的角是θ，則有EF＝eq\r(C1E2＋FCeq\o\al(2,1))＝eq\r(C1Deq\o\al(2,1)＋D1E2＋FCeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，A1M＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋B1M2)＝eq\r(2)，因此cosθ＝eq\f(A1M,EF)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，即直線EF與平面ABB1A1所成角的余弦值是eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)13．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝eq\r(3)，過點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐E-ABCD的體積為________．解析：如圖所示，BE過球心O，∴DE＝eq\r(42－32－（\r(3)）2)＝2，∴VE－ABCD＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P為BM中點(diǎn)，Q在線段CA1上，且A1Q＝3QC，則PQ的長度為________．解析：由題意知，AB＝8，過點(diǎn)P作PD∥AB交AA1于點(diǎn)D，連接DQ(圖略)，則D為AM中點(diǎn)，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又∵eq\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，∴DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3，在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).答案：eq\r(13)三、解答題15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．求證：(1)EC∥平面PAD；(2)平面EAC⊥平面PBC.證明：(1)作線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，則AF＝CD，AF∥CD.∴四邊形ADCF是平行四邊形，則CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，∴平面CFE∥平面PAD.又EC?平面CEF，∴EC∥平面PAD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2).∵AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC.∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.16.如圖，幾何體EF-ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.(1)求證：AC⊥FB；(2)求幾何體EF-ABCD的體積．解：(1)證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.∵四邊形CDEF為正方形，∴DC⊥FC，∵DC∩AD