湖北省鄂州鄂南高中2024屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試卷

湖北省鄂州鄂南高中2024屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試卷1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下面四個(gè)數(shù)中，最大的是（

）A． B． C． D．2．從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（

）A． B． C． D．3．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有則的值為（

）A．21 B．22 C．23 D．244．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為若面積則（

）A． B． C． D．5．已知在等腰直角三角形中，，點(diǎn)在以為圓心、2為半徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知表示兩條直線，表示平面，下列命題中正確的有（

）①若，且，則；②若相交且都在平面外，，則；③若，則；④若，且，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知橢圓：與雙曲線：（，）有共同的焦點(diǎn)，，且在第一象限的交點(diǎn)為，滿足（其中為原點(diǎn)）.設(shè)，的離心率分別為，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B．C． D．8．古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù).已知與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題正確的是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)B．若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)C．?dāng)?shù)據(jù)的均值為4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有大于5的數(shù)D．?dāng)?shù)據(jù)12，23，35，47，61的75百分位數(shù)為4710．如圖，在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，D是外一點(diǎn)且B、D在直線AC異側(cè)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．是等邊三角形B．若，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓C．四邊形ABCD面積的最小值為D．四邊形ABCD面積的最大值為11．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．以AF為直徑的圓與y軸相切B．設(shè)，則周長(zhǎng)的最小值為4C．若，則直線l的斜率為或D．x軸上存在一點(diǎn)N，使為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線所圍成的封閉圖形的面積為．13．已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn).現(xiàn)將雙曲線：上的每個(gè)點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到曲線，則曲線的方程為．14．若函數(shù)f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且|x2－x1|＝1，則函數(shù)f（x）所有可能的極大值為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.(1)求；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.16．為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的成績(jī)（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.(1)求的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人，記這3人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為6.(1)求拋物線的方程.(2)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：是增函數(shù).(2)若恒成立，求的取值范圍.(3)證明：（，）.參考答案：1．D【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得，然后可判斷最大項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，即，所以，，故B，C錯(cuò)誤；又，所以.故選：D2．D【分析】利用排列組合知識(shí)求出對(duì)應(yīng)的方法種數(shù)，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】從1、2、3、4、5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，有種；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1，2，3時(shí)，有種；數(shù)字為1，3，5時(shí)，有種；數(shù)字為2，3，4時(shí)，有種；數(shù)字為3，4，5時(shí)，有種；共24種.所以該三位數(shù)能被3整除的概率為.故選：D3．C【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式計(jì)算推理得解.【詳解】依題意，，則，又，則，，等差數(shù)列的公差，因此數(shù)列單調(diào)遞減，，且，即任意正整數(shù)，恒成立，所以對(duì)任意正整數(shù)，都有成立的.故選：C4．A【分析】先利用余弦定理的變形：，結(jié)合三角形的面積公式，可把條件轉(zhuǎn)化為：，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角形中，可求得.【詳解】因?yàn)椋?，又由，所?所以所以，又因?yàn)樵谥?，，所?故選：A5．B【分析】建立坐標(biāo)系，先把轉(zhuǎn)化為，其中，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求解.【詳解】如圖：建立平面直角坐標(biāo)系.則，,取.設(shè)則.所以，又.故選：B6．A【分析】根據(jù)線面平行和面面平行逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于①，若，且，則或相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于③和④，與也可能相交，均錯(cuò)誤；對(duì)于②，設(shè)相交確定平面，根據(jù)線面平行的判定定理知，根據(jù)平行平面的傳遞性得知．故選：A．7．D【分析】作，利用橢圓和雙曲線定義可表示出，由，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，并求出此時(shí)的值.【詳解】如圖，作，垂足為M，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，解得，由，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，由勾股定理可得，整理得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)，屬于中檔題.8．A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題意得，則，.因?yàn)?，故，因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），所以，故.又，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：注意到題目中的垂直關(guān)系，由此可以建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決平面向量基本定理中的參數(shù)求解問(wèn)題.9．ABD【分析】對(duì)于A，利用中位數(shù)和平均數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖形分析即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)決定系數(shù)的定義判斷，對(duì)于C，設(shè)，，，，，，舉出反例即可；對(duì)于D，利用百分位的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，，大致如圖所示：

由于右邊“拖尾時(shí)最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點(diǎn)處，此時(shí)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)，故A正確；對(duì)于B：若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關(guān)系，則決定系數(shù)，B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，，，，，，則，解得，此時(shí)，故找到一組數(shù)，，4，，，數(shù)據(jù)中有大于5的數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，故這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為47，D正確．故選：ABD10．ABD【分析】由正弦定理的邊角互化即可得到，從而判斷A，由余弦定理即可得到，從而判斷B，由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可判斷CD.【詳解】，根據(jù)正弦定理得，即，，顯然，則，根據(jù)題意，有，又，可得，，為等邊三角形，故A正確；，，在中，，當(dāng)時(shí)，，，即，A，B，C，D共圓，B正確．又，四邊形ABCD面積，，，，則，所以四邊形ABCD的面積沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤．當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABCD面積取最大值，故D正確．故選：ABD．11．ACD【分析】A選項(xiàng)，求出拋物線方程，作出輔助線，由拋物線定義求出，得到A正確；B選項(xiàng)，表達(dá)出周長(zhǎng)，數(shù)形結(jié)合當(dāng)A，C與點(diǎn)Q三點(diǎn)共線時(shí)，求出最小值；C選項(xiàng)，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，設(shè)，，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到方程，求解得到答案；D選項(xiàng)，設(shè)，表達(dá)出，即存在點(diǎn)使得為定值0，故D項(xiàng)正確．【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，則，所以拋物線，如圖，取AF的中點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故A正確；B選項(xiàng)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，交y軸于，，根據(jù)拋物線的定義可得，所以周長(zhǎng)為，由圖可知，當(dāng)A，C與點(diǎn)Q三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為Q到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以周長(zhǎng)的最小值是，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，整理可得：，易知，設(shè)，，可得，，∵，，解得，，，解得，，因此C正確；D選項(xiàng)，設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)，則，故當(dāng)時(shí)，，即存在點(diǎn)使得為定值0．故D項(xiàng)正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線的相關(guān)結(jié)論，中，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；中，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.12．【分析】首先判斷曲線關(guān)于軸，軸對(duì)稱，從而確定曲線在第一象限內(nèi)與軸所圍成的圖形，再求出圖形的面積.【詳解】對(duì)于曲線，在上式中，將y換成得，即曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，將x換成得，即曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，因此只需考慮在第一象限的情形，當(dāng)，時(shí)曲線即，即，所以曲線在第一象限內(nèi)與x軸所圍成的圖形是由半徑為的圓去掉一個(gè)等腰直角三角形而形成的圖形，根據(jù)對(duì)稱性可得曲線所圍成的封閉圖形為下圖陰影部分，所以所圍成的封閉圖形的面積．故答案為：.13．【分析】根據(jù)定義，在雙曲線上設(shè)點(diǎn),求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)，然后反求出的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)即得.【詳解】在雙曲線：上任取一點(diǎn)，將其繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)，即，在曲線上設(shè)點(diǎn)，則有反求出，得：因點(diǎn)在雙曲線：上，故得：，整理得：，故曲線的方程為故答案為：14．0，【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，結(jié)合題意可知其中一個(gè)極值點(diǎn)就是零點(diǎn)才能滿足函數(shù)恰好有2個(gè)零點(diǎn)的情況，再分類討論即可得解.【詳解】由于，所以，由于函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以的圖象呈先增，再減，再增的趨勢(shì)，所以其中一個(gè)極值點(diǎn)就是零點(diǎn)，假設(shè)，即是極值點(diǎn)又是零點(diǎn)，如下圖：則，此時(shí)的極大值剛好為，即是極值點(diǎn)又是零點(diǎn)，如下圖：則，即，設(shè)為極大值點(diǎn)，則，即，顯然，則，整理得，又，所以；此時(shí)的極大值為，故答案為：0，.15．(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）利用等差數(shù)列的求出公差，再求得首項(xiàng)后可得通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得和后可證結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．（2）由（1）得，所以．16．(1)；(2)分布列見詳解；【分析】（1）由頻率和為1，可求的值，再由平均數(shù)計(jì)算公式求解；（2）根據(jù)分層抽樣可確定的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.【詳解】（1）由圖可知，，解得，該村村民成績(jī)的平均數(shù)約為；（2）從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績(jī)?cè)诘拇迕裼腥?，成?jī)?cè)诘拇迕裼?人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故17．(1)證明見解析．(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明平面，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法證明面面垂直；（2）用空間向量法求二面角．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)樗倪呅问橇庑吻?，所以和都是正三角形，又是中點(diǎn)，所以，，從而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，，所以，所以平面平面；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，所以．18．(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即,計(jì)算即可；（2）由已知設(shè)，求得則，方程，聯(lián)立與拋物線的方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程得出結(jié)果.【詳解】（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為,同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過(guò)定點(diǎn).19．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到答案；（2）參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，得到，求出的求值范圍；（3）由（2