重難點(diǎn) 數(shù)式、圖形與函數(shù)的規(guī)律探索問題 中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

1/23重難點(diǎn)突破數(shù)式、圖形與函數(shù)的規(guī)律探索問題目錄原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨(dú)家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u類型一數(shù)式規(guī)律題型01記數(shù)類規(guī)律題型02系數(shù)規(guī)律題型03等式類規(guī)律題型04數(shù)陣類規(guī)律題型05末尾數(shù)字規(guī)律題型06楊輝三角題型07與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題類型二圖形規(guī)律題型01圖形固定累加型題型02圖形漸變累加型題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型題型04圖形循環(huán)規(guī)律題型05與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索類型三函數(shù)規(guī)律題型01函數(shù)圖象規(guī)律題型02函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律題型03函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律類型四新定義類規(guī)律1/61類型一數(shù)式規(guī)律關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：(1)先對給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較;(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律;(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題。2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論,以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.題型01記數(shù)類規(guī)律1．（2023·浙江衢州·校考一模）觀察下列數(shù)據(jù)：0，3，8，15，24，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第201個(gè)數(shù)據(jù)是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．4042．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為12，45，710，103．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103，則n等于（）A．18 B．19 C．20 D．214．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，24

68

10

1214

16

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20……則第27行的第21個(gè)數(shù)是．題型02系數(shù)規(guī)律5．（2023·四川成都·校考一模）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、?2x2、4x3、A．?256x9 B．256x9 C．6．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，?2a，4a，?8a，16a，?32a，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A．?2n?1a B．?2na C．7．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的單項(xiàng)式：?x，3x2，?5x3，7x4，A．2n?1(?x)n B．2n+1(?x)n C．題型03等式類規(guī)律8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：第1個(gè)等式：2×1+12第2個(gè)等式：2×2+12第3個(gè)等式：2×3+12第4個(gè)等式：2×4+12……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．10．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：①13=1；②13+23=3（2）深入探究，觀察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：1+2+3+?+n+(n+1)=__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：①13②113題型04數(shù)陣類規(guī)律11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)202023若排在第a行b列，則a?b的值為(

112

13

2214

23

3……A．2003 B．2004 C．2022 D．202312．（2018·湖北十堰·中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（）1A．210 B．41 C．52 13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：請根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問題：(1)第6行有______個(gè)數(shù)；第n行有______個(gè)數(shù)（用含n的式子表示）；(2)若有序數(shù)對n，m表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如①求11，20表示的數(shù)；題型05末尾數(shù)字規(guī)律14．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．215．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，A．0 B．1 C．7 D．816．（2022·湖南湘西·?？寄M預(yù)測）觀察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25A．0 B．2 C．4 D．6題型06楊輝三角17．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示了a+bn（na+b1a+b2a+b3…根據(jù)以上規(guī)律，（a＋b）4展開式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為．18．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為19．（2022下·重慶·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位于世界前列，其中楊輝三角（如圖）就是一例．這個(gè)三角形給出了a+bn（n=1,2,3,4,5,6…）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)a+b2=a2+2ab+b2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的五個(gè)數(shù)1，4，6，4，1，恰好對應(yīng)著a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+bA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)20．（2022·重慶巴南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“楊輝三角”給出了(a+b)n展開式的系數(shù)規(guī)律（其中n為正整數(shù)，展開式的項(xiàng)按a的次數(shù)降幕排列），它的構(gòu)造規(guī)則是：兩腰上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．例如：(a+b)2=a2①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1，5，10，10，5，1；②當(dāng)a=2,b=?1時(shí)，代數(shù)式a3+3a③(a+b)2022展開式中所有系數(shù)之和為2④當(dāng)代數(shù)式a4?8aA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④題型07與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題21．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2，12，27，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為an，且滿足1an+122．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）已知a1為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算：a2=1?1a1，a3=1?1a2，aA．?23 B．13 C．?23．（2020·浙江金華·統(tǒng)考一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，則2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，計(jì)算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值為（

）A．20202020?12020 B．20202021?1202024．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）有一列數(shù)，記為a1，a2，…，an，記其前n項(xiàng)和為Sn=a1+a2+???+an，定義Tn=A．791 B．891 C．991 D．100125．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）人們把5?12≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)a=5?12，b=5+12，記26．（2021·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：2+22=23?2，2+22+23=24?2，2+27．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）觀察下列等式：x1x2x3……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算x1+28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式：S1=1+11請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：S1+類型二圖形規(guī)律方法總結(jié)：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．題型01圖形固定累加型解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎(chǔ)圖形中含所求圖形的個(gè)數(shù)a,在確定出后一個(gè)圖形在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上累加的所求圖形的個(gè)數(shù)b(即固定累加圖形個(gè)數(shù))，再根據(jù)固定累加的圖形規(guī)律推導(dǎo)出與序數(shù)n有關(guān)的關(guān)系式為a+b(n-1).29．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．2630．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

31．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．297 B．301 C．303 D．40032．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為

題型02圖形漸變累加型解題技巧：對于個(gè)數(shù)不固定,1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補(bǔ)全圖形后就能找出規(guī)律，根據(jù)圖形擺放形狀的規(guī)律總結(jié)推導(dǎo)出關(guān)系式即可.2）如果圖形也看不出規(guī)律的應(yīng)該先數(shù)出所求圖形的個(gè)數(shù),在比較后一個(gè)圖形和前一個(gè)圖形通過作差(商)來觀察圖形個(gè)數(shù)或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對比，尋找是否與n有關(guān)的平方、平方加1、平方減1等關(guān)系,從而總結(jié)規(guī)律推導(dǎo)出關(guān)系式.33．（2021·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，每一幅圖中均含有若干個(gè)正方形，第1幅圖中有1個(gè)正方形；第2幅圖中有5個(gè)正方形……按這樣的規(guī)律下去，第9幅圖中正方形正的個(gè)數(shù)為（

）A．180 B．204 C．285 D．38534．（2023·重慶江北·校考一模）下列圖形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是3個(gè)，第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是15個(gè)，第9個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（

）A．100 B．99 C．98 D．8035．（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是．36．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則n=．題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型解題技巧：首先應(yīng)觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分,分別求出各部分累加規(guī)律,再將各部分關(guān)系式相加,得到第n項(xiàng)（某項(xiàng))圖形的數(shù)量與序數(shù)關(guān)系式.37．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的“〇”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有個(gè)“〇”．38．（2021下·重慶巴南·九年級校考期中）下列圖形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中，第①個(gè)圖形中一共有2個(gè)圓；第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)圓；第③個(gè)圖形中一共有16個(gè)圓；第④個(gè)圖形中一共有29個(gè)圓，…，則第⑦個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)為（）A．67 B．92 C．113 D．12139．（2020·海南·統(tǒng)考中考真題）海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．圖是黎錦上的圖案，每個(gè)圖案都是由相同菱形構(gòu)成的，若按照第1個(gè)圖至第4個(gè)圖中的規(guī)律編織圖案，則第5個(gè)圖中有個(gè)菱形，第n個(gè)圖中有個(gè)菱形(用含n的代數(shù)式表示)．

40．（2020·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為．題型04圖形循環(huán)規(guī)律解題技巧：①先找出一個(gè)周期的圖形個(gè)數(shù)n:②N(第N個(gè))÷n=b……m(0≤m<n);③第N個(gè)圖形是一個(gè)周期中第m次變化后的圖形.41．（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)里水初級中學(xué)?？既＃┯^察下列圖形，并判斷照此規(guī)律從左向右第2007個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．42．（2019·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）下面擺放的圖案，從第二個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，第2019個(gè)圖案中箭頭的指向是(

)A．上方 B．右方 C．下方 D．左方43．如圖，把周長為4個(gè)單位長度的圓放到數(shù)軸（單位長度為1）上，A，B，C，D四點(diǎn)將圓四等分，將點(diǎn)A與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，然后將圓沿著數(shù)軸正方向滾動，依次為點(diǎn)B與數(shù)軸上表示2的點(diǎn)重合，點(diǎn)C與數(shù)軸上表示3的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示4的點(diǎn)重合，點(diǎn)A與數(shù)軸上表示5的點(diǎn)重合，…，若當(dāng)圓停止運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)B正好落到數(shù)軸上，此時(shí)，則點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)可能為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．202344．（2019·河北·統(tǒng)考二模）將數(shù)軸按如圖所示從某點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形ABC，設(shè)點(diǎn)A表示數(shù)為x?3，點(diǎn)B表示的數(shù)是2x+1，點(diǎn)C表示的數(shù)是?7?x，則x的值等于；若將ΔABC向右滾動，數(shù)字2019對應(yīng)的點(diǎn)將與ΔABC的頂點(diǎn)重合．

題型05與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索45．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第三個(gè)正方形FCGH…，按照這樣規(guī)律作下去，第10個(gè)正方形的邊長為．46．（2019·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）如圖：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點(diǎn)得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點(diǎn)得四邊形A3B3C3D3，…，按此規(guī)律得到四邊形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面積為8，那么四邊形AnBnCnDn的面積為．47．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2，得△C1B148．（2021·云南昭通·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC是邊長為1的等邊三角形，分別取AC，BC邊的中點(diǎn)D，E，連接DE，作EF∥AC得到四邊形EDAF，它的周長記作C1；分別取EF，BE的中點(diǎn)D1，E1連接D1E1，作E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的周長記作C49．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，OA=OB=4，連接AB，過點(diǎn)O作OA1⊥AB于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作A1B1⊥x軸于點(diǎn)B1；過點(diǎn)B1作B1A2⊥AB于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作A2B

50．（2020·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點(diǎn)E，使AE=DA，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點(diǎn)

51．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點(diǎn)A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A52．（2020·湖南湘西·中考真題）觀察下列結(jié)論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=CM，∠NOC=60°；（2）如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=DM，∠NOD=90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=EM，∠NOE=108°；……根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4??An中，對相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，即點(diǎn)M，N是類型三函數(shù)規(guī)律根據(jù)圖形點(diǎn)坐標(biāo)的變換特點(diǎn)，有兩種考查形式:1）點(diǎn)坐標(biāo)變換是在同一象限遞推變化:2）點(diǎn)坐標(biāo)變換在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化解決這類題的方法如下：1）根據(jù)圖形點(diǎn)坐標(biāo)的變化特點(diǎn)判斷出屬于哪一類.2）根據(jù)圖形的變換規(guī)律分別求出第1個(gè)點(diǎn)、第2個(gè)點(diǎn)、第3個(gè)點(diǎn)、第4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，歸納出后一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)與前一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間存在的倍分關(guān)系3）①第一類確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法:根據(jù)上述得到的倍分關(guān)系，得到第M個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);②第二類確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法:先觀察點(diǎn)坐標(biāo)變換的規(guī)律是按順時(shí)針循環(huán)，還是按逆時(shí)針循環(huán)交替出現(xiàn)，找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為n，用M÷n=w…q(0≤g<n)，則第M次變換同第q次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)所在的坐標(biāo)軸或象限相同，根據(jù)已得到的倍分關(guān)系，得到第M個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).題型01函數(shù)圖象規(guī)律56．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)案如下規(guī)律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按這個(gè)規(guī)律，則(6,7)是第個(gè)點(diǎn)．

57．（2023·浙江紹興·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)最小方格的邊長均為1個(gè)單位長，P1，P2，P3，…，均在格點(diǎn)上，其順序按圖中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P

58．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA，OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個(gè)正方形OBB1C1，再以對角線OB

59．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫縱坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序?yàn)?1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,題型02函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律56．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)案如下規(guī)律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按這個(gè)規(guī)律，則(6,7)是第個(gè)點(diǎn)．

57．（2023·浙江紹興·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)最小方格的邊長均為1個(gè)單位長，P1，P2，P3，…，均在格點(diǎn)上，其順序按圖中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P

58．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA，OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個(gè)正方形OBB1C1，再以對角線OB

59．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫縱坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序?yàn)?1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,題型03函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律60．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A

A．31.34 B．31,?34 C．32,35 D．32,061．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如圖的方式放置，點(diǎn)A1、A2、A3……An在直線y=?x?1，點(diǎn)C1、C2、C3……CnA．3×2n?1?1,?3×C．3×2n?2?1,?3×62．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4……在x軸上且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……按此規(guī)律，過點(diǎn)A1，A2，A3，A4……作x軸的垂線分別與直線y=3x63．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…在x軸上且OA1=1，OA64．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OAP1B的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)P1在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，過P1A的中點(diǎn)B1作矩形B1（1）點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2）作出矩形B18A17A18類型四新定義類規(guī)律解題技巧：新定義運(yùn)算的規(guī)律其實(shí)是這幾種規(guī)律當(dāng)中最為簡單的一種，因?yàn)槠湟?guī)律都是由題目給出的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當(dāng)中進(jìn)行簡單的推論.這時(shí)候就考驗(yàn)大家的觀察能力，以及對數(shù)字的敏感程度.65．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是n2k（其中k是使n2k是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取n=58，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)A．1 B．2 C．7 D．866．（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算：把1×2×3×???×n縮寫為n！，n！叫做n的階乘，如3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=12．請你化簡1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（

）A．（n＋1）?。? B．n！－1C．（n＋1）！ D．（n＋1）?。?67．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)m，n的平方差，且m?n>1，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16=52?32，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m68．（2020·四川成都·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算x★y＝xyx+y，則共2020★2020★2020重難點(diǎn)突破數(shù)式、圖形與函數(shù)的規(guī)律探索問題解析目錄1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u類型一數(shù)式規(guī)律題型01記數(shù)類規(guī)律題型02系數(shù)規(guī)律題型03等式類規(guī)律題型04數(shù)陣類規(guī)律題型05末尾數(shù)字規(guī)律題型06楊輝三角題型07與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題類型二圖形規(guī)律題型01圖形固定累加型題型02圖形漸變累加型題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型題型04圖形循環(huán)規(guī)律題型05與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索類型三函數(shù)規(guī)律題型01函數(shù)圖象規(guī)律題型02函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律題型03函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律類型四新定義類規(guī)律類型一數(shù)式規(guī)律關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：(1)先對給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較;(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律;(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題。2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論,以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.題型01記數(shù)類規(guī)律1．（2023·浙江衢州·校考一模）觀察下列數(shù)據(jù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減，然后列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵，，，，，…，∴第個(gè)數(shù)據(jù)是：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減是解題的關(guān)鍵．2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，……按此規(guī)律排列，則第30個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個(gè)數(shù)是，當(dāng)n＝30時(shí)即可求解．【詳解】解：∵，，，…，∴第n個(gè)數(shù)是，當(dāng)n＝30時(shí)，==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103，則n等于（）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】A【分析】根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，，第個(gè)相同的數(shù)是，進(jìn)而可得的值．【詳解】解：第1個(gè)相同的數(shù)是，第2個(gè)相同的數(shù)是，第3個(gè)相同的數(shù)是，第4個(gè)相同的數(shù)是，，第個(gè)相同的數(shù)是，所以，解得．答：第個(gè)相同的數(shù)是103，則等于18．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，24

68

10

1214

16

18

20……則第27行的第21個(gè)數(shù)是．【答案】744【分析】由圖可以看出，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第三行有3個(gè)數(shù)????????第n行有n個(gè)數(shù)，則前n行共有個(gè)數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾個(gè)數(shù)是幾．【詳解】解：由圖可知，第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第三行有3個(gè)數(shù)，???????第n行有n個(gè)數(shù)．∴前n行共有1+2+3+?+n=個(gè)數(shù)．∴前26行共有351個(gè)數(shù)，∴第27行第21個(gè)數(shù)是所有數(shù)中的第372個(gè)數(shù)．∵這些數(shù)都是正偶數(shù)，∴第372個(gè)數(shù)為372×2=744．故答案為：744．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題目的已知條件找出其中的規(guī)律，再結(jié)合其他已知條件求解．題型02系數(shù)規(guī)律5．（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：、、、、、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以為底的冪，指數(shù)是式子的序號減1，x的指數(shù)是式子的序號．【詳解】解：第9個(gè)單項(xiàng)式是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數(shù)與式子的序號之間的關(guān)系是關(guān)鍵．6．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，，…，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析前面所給出的單項(xiàng)式，從三方面（符號、系數(shù)的絕對值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行概括即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，…，可記為：第項(xiàng)為：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵．7．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，…，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)的絕對值是一些連續(xù)的奇數(shù)且第奇數(shù)個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為負(fù)數(shù)，的指數(shù)是一些連續(xù)的正整數(shù)，從而可以寫出第個(gè)單項(xiàng)式．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：符合題意；B、當(dāng)時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：，不符合題意，排除；C、當(dāng)時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：，不符合題意，排除；D、當(dāng)時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：，不符合題意，排除；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)，解此題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式系數(shù)和字母指數(shù)的變化特點(diǎn)及規(guī)律．題型03等式類規(guī)律8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：(1)寫出的結(jié)果．(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（3）將因式分解，展開化簡求解即可．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．【詳解】（1）解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：，故答案為：；（2）解：第n個(gè)等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，觀察下列等式：①；②；③；…根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：①；②．【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075【分析】(1)觀察可得，每個(gè)式子的結(jié)果都等于被開放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項(xiàng)＋尾項(xiàng)的和再乘以自然數(shù)的個(gè)數(shù)，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運(yùn)用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）；（3）①原式；②原式．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個(gè)知識點(diǎn)的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵題型04數(shù)陣類規(guī)律11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致．【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時(shí)，分?jǐn)?shù)為，故分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．12．（2018·湖北十堰·中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為，據(jù)此可得答案．【詳解】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為，∴第8行最后一個(gè)數(shù)為=6，∴第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個(gè)數(shù)為．13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：請根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問題：(1)第6行有______個(gè)數(shù)；第n行有______個(gè)數(shù)（用含n的式子表示）；(2)若有序數(shù)對表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如表示6．①求表示的數(shù)；②求表示2023的有序數(shù)對．【答案】(1)11；；(2)①；②【分析】（1）觀察前5行發(fā)現(xiàn)：后一行數(shù)字的個(gè)數(shù)比前一行多2個(gè)，以此規(guī)律解答即可；（2）①先求第11行最后一個(gè)數(shù)，然后判斷為第11行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)即可解答；②先根據(jù)判斷2023為第45行的數(shù)字，然后根據(jù)2023比第45行最后一個(gè)數(shù)字2025小2，即可判斷．【詳解】（1）解：第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有個(gè)數(shù)，第3行有個(gè)數(shù)，第4行有個(gè)數(shù)，第5行有個(gè)數(shù)，∴第6行有個(gè)數(shù)，……第n行有個(gè)數(shù)；（2）解：①∵第11行有個(gè)數(shù)，且最末尾的數(shù)是，而表示第11行的第20個(gè)數(shù)，∴表示的數(shù)是；②∵，，∴，∴2023位于第45行，∵第45行有個(gè)數(shù)，而2023與2025相差2個(gè)數(shù)，∴2023位于第45行的第87個(gè)數(shù)，∴表示2023的有序數(shù)對是．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型05末尾數(shù)字規(guī)律14．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴22022的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是：4．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．15．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，則的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解．【詳解】解：∵，，，，，，…，∴尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，∵，∴的個(gè)位數(shù)字是，又∵，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2022·湖南湘西·?？寄M預(yù)測）觀察下列等式：，，，，，，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，則的末尾數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位數(shù)字是2、4、8、6四個(gè)數(shù)字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；【詳解】解：通過觀察發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位數(shù)字是2、4、8、6四個(gè)數(shù)字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20，尾數(shù)為02022÷4=500……2，則尾數(shù)為2+4=6，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查冪的乘方末尾的數(shù)字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數(shù)字規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．題型06楊輝三角17．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，例如：，展開式有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；，展開式有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；，展開式有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；…根據(jù)以上規(guī)律，（a＋b）4展開式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為．【答案】1、4、6、4、1【分析】此題考查完全平方公式，多項(xiàng)式展開式，數(shù)字的變化規(guī)律，正確觀察已知的式子與對應(yīng)的三角形之間的關(guān)系是關(guān)鍵．觀察可得（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1，中間各項(xiàng)系數(shù)等于相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和．【詳解】解：根據(jù)題意知，的各項(xiàng)系數(shù)分別為1、、、、1，即：1、4、6、4、1；∴．故答案為：1、4、6、4、1．18．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為．【答案】【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．19．（2022下·重慶·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位于世界前列，其中楊輝三角（如圖）就是一例．這個(gè)三角形給出了（）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的五個(gè)數(shù)1，4，6，4，1，恰好對應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．有如下結(jié)論：①“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和1024；②“楊輝三角”中第20行第3個(gè)數(shù)為190；③；④的結(jié)果是；⑤當(dāng)代數(shù)式的值是1時(shí)，a的值是或．上述結(jié)論中，正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)每一行的數(shù)字，找到其和的規(guī)律為可得每一行的數(shù)字和為，進(jìn)而可以判斷①，根據(jù)從第2行起，每一行的第三個(gè)數(shù)字分別為找到規(guī)律第行的的第3個(gè)數(shù)字為，即可判斷②，根據(jù)第三行的數(shù)字可得，即可判③④，根據(jù)，因式分解一元二次方程即可求得的值，即可判斷⑤【詳解】解：每一行的數(shù)字，其和的規(guī)律為第行的數(shù)字和為，則“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和故①不正確；從第2行起，每一行的第3個(gè)數(shù)字分別為第行的第3個(gè)數(shù)字為，“楊輝三角”中第20行第3個(gè)數(shù)為；故②正確；第三行的數(shù)字為可得，故③不正確，故④正確，解得或的值是或．故⑤正確故正確的有3個(gè)，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解解一元二次方程，數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．（2022·重慶巴南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“楊輝三角”給出了展開式的系數(shù)規(guī)律（其中n為正整數(shù)，展開式的項(xiàng)按a的次數(shù)降幕排列），它的構(gòu)造規(guī)則是：兩腰上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．例如：展開式的項(xiàng)的系數(shù)1，2，1與“楊輝三角”第三排對應(yīng)：展開式的項(xiàng)的系數(shù)1，3，3，1．與“楊輝三角”第四排對應(yīng)；依此類推……判斷下列說法正確的是（

）①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1，5，10，10，5，1；②當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為；③展開式中所有系數(shù)之和為；④當(dāng)代數(shù)式的值為1時(shí)，或3．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】運(yùn)用楊輝三角形的排列規(guī)律，及展開式的系數(shù)規(guī)律采用賦值法逐一驗(yàn)證即可求解．【詳解】如圖，依次規(guī)律可得“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1，5，10，10，5，1，故說法①正確；當(dāng)時(shí)，，故②說法錯誤；令，則，故說法③正確；當(dāng)代數(shù)式的值為1時(shí)，即，∴，∴或（不合題意，舍去），∴，解得或，故說法④正確，綜上可得，說法正確的有①③④，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了楊輝三角的規(guī)律與展開式的系數(shù)規(guī)律，正確把握其中的關(guān)系以及合理使用賦值法是解題的關(guān)鍵．題型07與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題21．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為，且滿足．則，．【答案】【分析】由題意推導(dǎo)可得an=，即可求解．【詳解】解：由題意可得：a1=2=，a2=，a3=，∵，∴2+=7，∴a4=，∵，∴a5=，同理可求a6=，∴an=，∴a2022=，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．22．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）已知為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算：，，，，……，．按上述方法計(jì)算：當(dāng)時(shí)，的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)，計(jì)算出，會發(fā)現(xiàn)呈周期性出現(xiàn)，即可得到的值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，計(jì)算出，會發(fā)現(xiàn)是以：，循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是：通過條件，先計(jì)算出部分?jǐn)?shù)的值，從中找到相應(yīng)的規(guī)律，利用其規(guī)律來解答．23．（2020·浙江金華·統(tǒng)考一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，則2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，計(jì)算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知S＝1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．【詳解】解：設(shè)S＝1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①則2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②由②－①得：2019S＝20202021－1∴．故答案為：C．【點(diǎn)晴】本題主要考查探索數(shù)與式的規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．24．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）有一列數(shù)，記為，，…，，記其前n項(xiàng)和為，定義為這列數(shù)的“亞運(yùn)和”，現(xiàn)有99個(gè)數(shù)，，…，，其“亞運(yùn)和”為1000，則1，，，…，這100個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”為（

）A．791 B．891 C．991 D．1001【答案】C【分析】根據(jù)“亞運(yùn)和”的定義分析可得99個(gè)數(shù)，，…，，其“亞運(yùn)和”為1000，，即．同理根據(jù)定義求新數(shù)列1，，，…，這100個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”．【詳解】解：∵，∴，∴1，，，…，這100個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．關(guān)鍵是找到．25．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則．【答案】5050【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：，，，，，…，故答案為：5050【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．26．（2021·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：，，，……，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，……，，若，用含的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是．【答案】【分析】根據(jù)規(guī)律將，，，……，用含的代數(shù)式表示，再計(jì)算的和，即可計(jì)算的和．【詳解】由題意規(guī)律可得：．∵∴，∵，∴．．．……∴．故．令②-①，得∴=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律問題，用含有字母的式子表示數(shù)、靈活計(jì)算數(shù)列的和是解題的關(guān)鍵．27．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）觀察下列等式：；；；……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)題意，找到第n個(gè)等式的左邊為，等式右邊為1與的和；利用這個(gè)結(jié)論得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化為1﹣，化為﹣，化為﹣，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：由題意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡便運(yùn)算．28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式：，，，…請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：．【答案】/【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．類型二圖形規(guī)律方法總結(jié)：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．題型01圖形固定累加型解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎(chǔ)圖形中含所求圖形的個(gè)數(shù)a,在確定出后一個(gè)圖形在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上累加的所求圖形的個(gè)數(shù)b(即固定累加圖形個(gè)數(shù))，再根據(jù)固定累加的圖形規(guī)律推導(dǎo)出與序數(shù)n有關(guān)的關(guān)系式為a+b(n-1).29．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，；第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，；第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，；第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，；…，所以第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到第n個(gè)圖案的規(guī)律為是解題的關(guān)鍵.30．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】由于第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，，可得第個(gè)圖案中有白色圓片的總數(shù)為．【詳解】解：第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，，∴第個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律．31．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．297 B．301 C．303 D．400【答案】B【分析】首先根據(jù)前幾個(gè)圖形圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個(gè)圖擺放圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3×0，第2幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，即4+3=4+3×1；第3幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3＋3=4＋3×2；第4幅圖13個(gè)圓點(diǎn)，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；第n幅圖中，圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：4+3(n-1)=3n+1，……，第100幅圖，圓中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：3×100+1=301．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．32．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為．

【答案】【分析】根據(jù)碳原子的個(gè)數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，即可求解．【詳解】解：甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，碳原子的個(gè)數(shù)為序數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)為碳原子個(gè)數(shù)的2倍多2個(gè)，十二烷的化學(xué)式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型02圖形漸變累加型解題技巧：對于個(gè)數(shù)不固定,1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補(bǔ)全圖形后就能找出規(guī)律，根據(jù)圖形擺放形狀的規(guī)律總結(jié)推導(dǎo)出關(guān)系式即可.2）如果圖形也看不出規(guī)律的應(yīng)該先數(shù)出所求圖形的個(gè)數(shù),在比較后一個(gè)圖形和前一個(gè)圖形通過作差(商)來觀察圖形個(gè)數(shù)或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對比，尋找是否與n有關(guān)的平方、平方加1、平方減1等關(guān)系,從而總結(jié)規(guī)律推導(dǎo)出關(guān)系式.33．（2021·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，每一幅圖中均含有若干個(gè)正方形，第1幅圖中有1個(gè)正方形；第2幅圖中有5個(gè)正方形……按這樣的規(guī)律下去，第9幅圖中正方形正的個(gè)數(shù)為（

）A．180 B．204 C．285 D．385【答案】C【分析】從特殊情況開始，先算出前幾幅圖中正方形的個(gè)數(shù)，找出其中的規(guī)律，歸納得出一般情況，第n幅圖中正方形個(gè)數(shù)的規(guī)律，于是可算出當(dāng)n=9時(shí)的正方形的個(gè)數(shù)．【詳解】第１幅圖中有１個(gè)正方形；第2幅圖中有1+4=12+22=5個(gè)正方形；第3幅圖中有1+4+9=11+22+32=14個(gè)正方形；第4幅圖中有1+4+9+16=12+22+32+42=30個(gè)正方形；…第n幅圖中有12+22+32+42+…+n2個(gè)正方形．于是，當(dāng)n=9時(shí)，正方形的個(gè)數(shù)為：12+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285（個(gè)）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，利用圖形間的聯(lián)系，得出數(shù)字間的運(yùn)算規(guī)律，從而問題解決，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．34．（2023·重慶江北·?？家荒＃┫铝袌D形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是3個(gè)，第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是15個(gè)，第9個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（

）A．100 B．99 C．98 D．80【答案】B【分析】根據(jù)圖形間變化可得第n個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是，再代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：第1個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是，第2個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是，第3個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是，第4個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是，…第個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是，第9個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形變化類規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖案變化觀察、猜想、驗(yàn)證而得到此題蘊(yùn)含的規(guī)律．35．（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律，則第個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】此題只需分成上下兩部分即可找到其中規(guī)律，上方的規(guī)律為(n-1)，下方規(guī)律為n2，結(jié)合兩部分即可得出答案．【詳解】解：將題意中圖形分為上下兩部分，則上半部規(guī)律為：0、1、2、3、4……n-1，下半部規(guī)律為：12、22、32、42……n2，∴上下兩部分統(tǒng)一規(guī)律為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是將圖形分為上下兩部分分別研究．36．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則．【答案】11【分析】根據(jù)前幾個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)，找出一般求出規(guī)律，得出第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)，然后列出方程，解方程即可．【詳解】解：因?yàn)榈?個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有個(gè)圓；可得第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是；，解得（舍），，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出一般規(guī)律，列出方程．題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型解題技巧：首先應(yīng)觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分,分別求出各部分累加規(guī)律,再將各部分關(guān)系式相加,得到第n項(xiàng)（某項(xiàng))圖形的數(shù)量與序數(shù)關(guān)系式.37．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的“〇”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有個(gè)“〇”．【答案】875【分析】設(shè)第n個(gè)“龜圖”中有an個(gè)“〇”（n為正整數(shù)），觀察“龜圖”，根據(jù)給定圖形中“〇”個(gè)數(shù)的變化可找出變化規(guī)律“an＝n2?n＋5（n為正整數(shù)）”，再代入n＝30即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)第n個(gè)“龜圖”中有an個(gè)“〇”（n為正整數(shù)）．觀察圖形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴an＝1＋（n＋1）＋（n?1）2＋2＝n2?n＋5（n為正整數(shù)），∴a30＝302?30＋5＝875．故答案是：875．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中“〇”個(gè)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“an＝n2?n＋5（n為正整數(shù)）”是解題的關(guān)鍵．38．（2021下·重慶巴南·九年級校考期中）下列圖形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中，第①個(gè)圖形中一共有2個(gè)圓；第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)圓；第③個(gè)圖形中一共有16個(gè)圓；第④個(gè)圖形中一共有29個(gè)圓，…，則第⑦個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)為（）A．67 B．92 C．113 D．121【答案】B【分析】分兩部分：第①個(gè)圖形為：，第②個(gè)圖形為：，第③個(gè)圖形為：，第④個(gè)圖形為：，…，由此得出規(guī)律即可求解．【詳解】第①個(gè)圖形為：，第②個(gè)圖形為：，第③個(gè)圖形為：，第④個(gè)圖形為：，…，一般地，第⑦個(gè)圖形為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題是圖形規(guī)律探索問題，由特殊出發(fā)得出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．39．（2020·海南·統(tǒng)考中考真題）海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．圖是黎錦上的圖案，每個(gè)圖案都是由相同菱形構(gòu)成的，若按照第個(gè)圖至第個(gè)圖中的規(guī)律編織圖案，則第個(gè)圖中有個(gè)菱形，第個(gè)圖中有個(gè)菱形(用含的代數(shù)式表示)．

【答案】【分析】根據(jù)第1個(gè)圖形有1個(gè)菱形，第2個(gè)圖形有2×2×1+1=5個(gè)菱形，第3個(gè)圖形有2×3×2+1=13個(gè)菱形，第4個(gè)圖形有2×4×3+1=25個(gè)菱形，據(jù)此規(guī)律求解即可.【詳解】解：∵第1個(gè)圖形有1個(gè)菱形，第2個(gè)圖形有2×2×1+1=5個(gè)菱形，第3個(gè)圖形有2×3×2+1=13個(gè)菱形，第4個(gè)圖形有2×4×3+1=25個(gè)菱形，∴第5個(gè)圖形有2×5×4+1=41個(gè)菱形，第n個(gè)圖形有2×n×(n-1)+1=個(gè)菱形.故答案為：41，.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．40．（2020·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為．【答案】57【分析】根據(jù)題意得出第n個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為；由此代入求得第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，；第②個(gè)圖形中共有7個(gè)菱形，；第③個(gè)圖形中共有13個(gè)菱形，；…，第n個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為：；則第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為．故答案為：57．【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減的探究規(guī)律—圖形類找規(guī)律，其關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形找出規(guī)律．題型04圖形循環(huán)規(guī)律解題技巧：①先找出一個(gè)周期的圖形個(gè)數(shù)n:②N(第N個(gè))÷n=b……m(0≤m<n);③第N個(gè)圖形是一個(gè)周期中第m次變化后的圖形.41．（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)里水初級中學(xué)?？既＃┯^察下列圖形，并判斷照此規(guī)律從左向右第2007個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查圖形的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件圖形推出規(guī)律．圖中的笑臉是以ABCD的順序4個(gè)為循環(huán)單位排列的，由此可推出第2007個(gè)圖形．【詳解】解：圖中的笑臉是以ABCD的順序4個(gè)為循環(huán)單位排列的，即個(gè)數(shù)能被4整除的圖形為D，不能整除余數(shù)為1、2、3的圖形分別為A、B、C；因?yàn)樯逃?，所以第2007個(gè)圖形為C．故選：C．42．（2019·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）下面擺放的圖案，從第二個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，第2019個(gè)圖案中箭頭的指向是(

)A．上方 B．右方 C．下方 D．左方【答案】C【分析】直接利用已知圖案得出旋轉(zhuǎn)規(guī)律進(jìn)而得出答案.【詳解】如圖所示：每旋轉(zhuǎn)4次一周，2019÷4＝504…3，則第2019個(gè)圖案中箭頭的指向與第3個(gè)圖案方向一致，箭頭的指向是下方，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，觀察出圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.43．如圖，把周長為個(gè)單位長度的圓放到數(shù)軸（單位長度為）上，，，，四點(diǎn)將圓四等分，將點(diǎn)與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，然后將圓沿著數(shù)軸正方向滾動，依次為點(diǎn)與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，點(diǎn)與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，點(diǎn)與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，點(diǎn)與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，…，若當(dāng)圓停止運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)正好落到數(shù)軸上，此時(shí)，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查數(shù)軸，找規(guī)律，找到圓的滾動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓的滾動規(guī)律可知4次一個(gè)循環(huán)，將各選項(xiàng)中的數(shù)字除以4，根據(jù)余數(shù)可判定求解．【詳解】解：由題意得：圓沿著數(shù)軸正方向滾動一次按A，B，C，D的順序排列：A、，所以此時(shí)點(diǎn)D正好落在數(shù)軸上；B、，所以此時(shí)點(diǎn)A正好落在數(shù)軸上；C、，所以此時(shí)點(diǎn)B正好落在數(shù)軸上；D、，所以此時(shí)點(diǎn)C正好落在數(shù)軸上．故選：C．44．（2019·河北·統(tǒng)考二模）將數(shù)軸按如圖所示從某點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形，設(shè)點(diǎn)A表示數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)C表示的數(shù)是，則的值等于；若將向右滾動，數(shù)字2019對應(yīng)的點(diǎn)將與的頂點(diǎn)重合．

【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形邊長相等列方程求出x的值，進(jìn)而得出A、B、C所表示的數(shù)及等邊的邊長，然后即可求出數(shù)字2019對應(yīng)的點(diǎn)將與△ABC的頂點(diǎn)A重合．【詳解】解：由題意得：（2x＋1）?（x?3）＝（?7?x）?（2x＋1），解得：x＝?3，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為：?6，點(diǎn)B表示的數(shù)為?5，點(diǎn)C表示的數(shù)為?4，∴等邊的邊長為1，∵[2019?（?6）]÷3＝675，∴數(shù)字2019對應(yīng)的點(diǎn)將與△ABC的頂點(diǎn)A重合，故答案為：?3，A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸以及圖形類規(guī)律探索，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．題型05與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索45．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為1，以為邊作第二個(gè)正方形，再以為邊作第三個(gè)正方形…，按照這樣規(guī)律作下去，第10個(gè)正方形的邊長為．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形，可以寫出前幾個(gè)正方形的邊長，從而可以發(fā)現(xiàn)邊長的變化特點(diǎn)，從而可以求得第10個(gè)正方形的邊長．【詳解】解：由題意可知，第一個(gè)正方形的邊長是1，第二個(gè)正方形的邊長是，第三個(gè)正方形的邊長是，第四個(gè)正方形的邊長是，……，則第n個(gè)正方形的邊長是，當(dāng)時(shí)，，即第10個(gè)正方形的邊長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)正方形邊長的變化特點(diǎn)，求出第10個(gè)正方形的邊長．46．（2019·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）如圖：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點(diǎn)得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點(diǎn)得四邊形A3B3C3D3，…，按此規(guī)律得到四邊形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面積為8，那么四邊形AnBnCnDn的面積為．【答案】【分析】根據(jù)矩形A1B1C1D1面積、四邊形A2B2C2D2的面積、四邊形A3B3C3D3的面積，即可發(fā)現(xiàn)新四邊形與原四邊形的面積的一半，找到規(guī)律即可解題．【詳解】解：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點(diǎn)得到四邊形A2B2C2D2，則四邊形A2B2C2D2的面積為矩形A1B1C1D1面積的一半，順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點(diǎn)得四邊形A3B3C3D3，則四邊形A3B3C3D3的面積為四邊形A2B2C2D2面積的一半，故新四邊形與原四邊形的面積的一半，則四邊形AnBnCnDn面積為矩形A1B1C1D1面積的，∴四邊形AnBnCnDn面積=×8=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到連接矩形、菱形中點(diǎn)則形成新四邊形的面積為原四邊形面積的一半是解題的關(guān)鍵．47．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，為射線上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，．以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；延長交射線于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；延長交射線于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作菱形，且與射線交于點(diǎn)，得；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則的面積．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)D，連接，分別作，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得，則有，進(jìn)而可得出規(guī)律進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)D，連接，分別作，如圖所示：∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵菱形，且，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，同理可得：，，∴，由上可得：，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．48．（2021·云南昭通·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC是邊長為1的等邊三角形，分別取AC，BC邊的中點(diǎn)D，E，連接DE，作得到四邊形EDAF，它的周長記作C1；分別取EF，BE的中點(diǎn)D1，E1連接D1E1，作，得到四邊形E1D1FF1，它的周長記作C2，照此規(guī)律作下去，則C2021等于．【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE＝AB，，進(jìn)而證明四邊形ADEF為菱形，求出菱形ADEF的周長C1，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC邊的中點(diǎn)，∴DE＝AB＝，，AD＝AC＝，∴AD＝DE，∵，∴四邊形ADEF為菱形，∴四邊形ADEF的周長C1＝4×＝2，同理：四邊形E1D1FF1的周長記作C2＝4×＝1，…C2021＝4×＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，圖形的變化規(guī)律，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．49．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上，，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形依次求出的坐標(biāo)，再根據(jù)其規(guī)律寫出的坐標(biāo)即可．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均為等腰直角三角形，，根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依次求出的坐標(biāo)，找出其坐標(biāo)的規(guī)律．50．（2020·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，延長到點(diǎn)，使，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形的面積等于2，則的面積為．（用含正整數(shù)的式子表示）

【答案】【分析】先計(jì)算出、、的面積，然后再根據(jù)其面積的表達(dá)式找出其一般規(guī)律進(jìn)而求解．【詳解】解：∵，∴面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴∴，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，由中線平分所在三角形的面積可知，∴，且，∴∴，同理可以計(jì)算出：，且，∴，∴，故、、的面積分別為：，觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合，分子規(guī)律為，∴的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個(gè)三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而找出規(guī)律求解．51．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，以AB為直徑畫半圓，圓心為，以為直徑畫半圓①；取的中點(diǎn)，以為直徑畫半圓②；取的中點(diǎn)，以為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個(gè)小半圓的弧長之和為．【答案】/【分析】由AB＝2，可得半圓①弧長為，半圓②弧長為（）2π，半圓③弧長為（）3π，半圓⑧弧長為（）8π，即可得