云南省麗江市玉龍縣第一中學2024年高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

云南省麗江市玉龍縣第一中學2024年高考壓軸卷數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或2．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．3．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．4．設i為數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，若，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知函數(shù).設，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．8．從集合中隨機選取一個數(shù)記為，從集合中隨機選取一個數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件下，方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為（）A． B． C． D．9．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學生的化學考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，10．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．的展開式中，項的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．6312．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.14．設復數(shù)滿足,則_________.15．已知全集，集合則_____．16．若向量滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線是曲線的切線.（1）求函數(shù)的解析式，（2）若，證明:對于任意，有且僅有一個零點.18．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.19．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點到平面的距離.20．（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.21．（12分）設數(shù)陣，其中、、、．設，其中，且．定義變換為“對于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．22．（10分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.2、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內(nèi)，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于難題.3、A【解析】

設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.4、A【解析】

由復數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的乘除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵．5、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為，所以為上的偶函數(shù)，因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以，且，解得.故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6、D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.7、D【解析】

求解的導函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，，當時，，故在單調(diào)遞減；不妨設，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構造新函數(shù)轉換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.8、A【解析】

設事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，分別計算出，再利用公式計算即可.【詳解】設事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，由題意，，，則所求的概率為.故選：A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.9、B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故，．考點：程序框圖、莖葉圖．10、D【解析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.11、B【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，結合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出，則出，該項為：；②出，則出，該項為：；③出，則出，該項為：；綜上所述：合并后的項的系數(shù)為17.故選：B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應用意識.12、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關系，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．14、.【解析】

利用復數(shù)的運算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念可得結果.【詳解】∵復數(shù)滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題．15、【解析】

根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎題.16、【解析】

根據(jù)題意計算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導，并設切點，利用點既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得，即可得答案；（2）當x充分小時，當x充分大時，可得至少有一個零點.再證明零點的唯一性，即對函數(shù)求導得，對分和兩種情況討論，即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，，設直線與曲線相切于點.根據(jù)題意，可得，解之得，所以.（2）由（1）可知，則當x充分小時，當x充分大時，∴至少有一個零點.∵，①若，則，在上單調(diào)遞增，∴有唯一零點.②若令，得有兩個極值點，∵，∴，∴.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴極大值為.，又，∴在(0，16)上單調(diào)遞增，∴，∴有唯一零點.綜上可知，對于任意，有且僅有一個零點.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的運用、利用導數(shù)證明函數(shù)的零點個數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意零點存在定理的運用.18、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標系，通過求向量與向量的夾角，轉化為異面直線與直線所成的角的大小；（2）先求出面的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建系，設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力．20、（1）（2）【解析】

（1）首先將曲線化為直角坐標方程，由點在圓外，則解得即可；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，設、對應的參數(shù)分別為，列出韋達定理，由及在圓的上方，得，即即可解得；【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為.由點在圓外，得點的坐標為，結合，解得.故的取值范圍是.（2）由直線的參數(shù)方程，得直線過點，傾斜角為，將直線的參數(shù)方程代入，并整理得，其中.設、對應的參數(shù)分別為，則，.由及在圓的上方，得，即，代入①，得，，消去，得，結合，解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數(shù)方程的幾何意義的應用，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)