2024北京市首都師大附中初三一模數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2024北京首都師大附中初三一模數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.今年“五一”假期，我市某主題公園共接待游客77800人次，將77800用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.2.下列計算正確的是（）．A. B. C. D.3.比大，比小的整數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.44.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）A. B. C. D.5.實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．若b+d＝0，則下列結(jié)論正確的是（）A.b+c0 B.1 C.adbc D.|a||b|6.如圖是30名學(xué)生A，B兩門課程成績的統(tǒng)計圖，若記這30名學(xué)生A課程成績的方差為，B課程成績的方差為，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.不確定7.如圖①，底面積為的空圓柱容器內(nèi)水平放置著由兩個實心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過程中，水面高度與注水時間之間的關(guān)系如圖②．若“幾何體”的下方圓柱的底面積為，求“幾何體”上方圓柱體的底面積為（）A.24 B.12 C.18 D.21二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分．8.某潛艇從海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潛艇上升了_____米．9.如圖所示的圍棋盤放在某個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，白棋②的坐標(biāo)為(－7，－4)，白棋④的坐標(biāo)為(－6，－8)，那么黑棋①的坐標(biāo)應(yīng)該是________．10.已知一元二次方程的兩根為與，則的值為_______．11.如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是______．12.已知是方程的一組解，任寫出一組符合題意的、值，則______，______．13.如圖，在矩形中，E是邊的中點，連接交對角線于點F，若，則的長為______．14.圖中的小正方形邊長都相等，若，則點可能是圖中的_______．15.初三（1）班同學(xué)在“2024義賣”活動中表現(xiàn)特別突出，他們設(shè)計了甲乙兩款紀(jì)念品．銷售一件甲紀(jì)念品可獲利：銷售一件乙紀(jì)念品可獲利；當(dāng)銷售量的比為時，總獲利為．當(dāng)銷售量的比為時，總獲利為______．三、計算題：本大題共2小題，共10分．16.計算：．17.已知，求的值．四、解答題：本題共10小題，共58分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.解不等式組：19.已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC．求作：點P，使得AP＝AB，且．作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交于點D（異于點C）；③連接DA并延長交于點P．所以點P就是所求作的點．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接PC．∵AB＝AC，∴點C在上．∵，∴（____________________）（填推理的依據(jù)），由作圖可知，，∴______．∴．20.如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠B＝90°．（1）若AB＝4，BC＝3，①求Rt△ABC外接圓的半徑；②求Rt△ABC內(nèi)切圓的半徑；（2）連接AO并延長交BC于點D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半徑．21.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值．（2）若∠BCD=120°，求CD的長．22.某社區(qū)通過公益講座的方式普及垃圾分類知識．為了了解居民對相關(guān)知識的了解情況及講座效果，請居民在講座前和講座后分別回答了一份垃圾分類知識問卷，從中隨機抽取20名居民的兩次問卷成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．這20名居民講座前、講座后成績得分統(tǒng)計圖如下：b．這20名居民講座前、講座后成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下平均數(shù)中位數(shù)方差講座前72.071.599.7講座后86.8m88.4c．結(jié)合講座后成績，被抽取的20名居民中有5人獲得“參與獎”，有7人獲得“優(yōu)秀獎”，有8人獲得“環(huán)保達人獎”，其中成績在這一組的是：80828385878888根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）居民小張講座前的成績?yōu)?0分，講座后的成績?yōu)?5分，在圖中用“○”圈出代表居民小張的點；（2）寫出表中的值；（3）參加公益講座的居民有160人，估計能獲得“環(huán)保達人獎”的有_____人．23.如圖是某公園人工湖上的一座拱橋的示意圖，其截面形狀可以看作是拋物線的一部分．經(jīng)測量拱橋的跨度AB為12米，拱橋頂面最高處到水面的距離CD為4米．（1）在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描出點A，B，C，并用平滑曲線連接；（2）結(jié)合（1）中所畫圖象，求出該拋物線的表達式；（3）現(xiàn)有一游船（截面為矩形）寬度為4米，頂棚到水面的高度為米．當(dāng)游船從拱橋正下方通過時，為保證安全，要求頂棚到拱橋頂面的距離應(yīng)大于米，請判斷該游船能否安全通過此拱橋．24.如圖，矩形的頂點B，A分別在x軸，y軸上，點C坐標(biāo)是，D為邊上一點，將矩形沿折疊，點C落在x軸上的點E處，的延長線與x軸相交于點（1）如圖1，求點D的坐標(biāo)；（2）如圖2，若P是上一動點，交于M，交于N，設(shè)，，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25.為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等設(shè)的長度為，矩形區(qū)域的面積為（1）是否存在的值，使得矩形的面積是；（2）為何值時，有最大值？最大值是多少？26.如圖，在等邊中，點在邊上，點在的延長線上，且．（1）求證：；（2）點關(guān)于直線的對稱點為，連接，，①根據(jù)題意將圖補全；②在點運動的過程中，和有什么數(shù)量關(guān)系并證明．27.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）求證：AC2=AD·AB；（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.【答案】B【詳解】分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．詳解：將77800用科學(xué)記數(shù)法表示為：．故選B．點睛：本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2.【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)的計算法則計算即可.【詳解】解：A、不能合并，錯誤；B、，錯誤；C、，正確；D、，錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查指數(shù)的計算法則，是考試的重點，應(yīng)當(dāng)熟練的掌握.3.【答案】B【分析】由，得出，即可得出選項【詳解】解：∵，∴大于且小于的整數(shù)是2．故選：B【點睛】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，在正數(shù)范圍內(nèi)，一個數(shù)越大，則它的算術(shù)平方根也越大．4.【答案】A【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有4種等可能的結(jié)果，第一次摸到紅球，第二次摸到綠球有1種情況，∴第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的概率為，故選：A．【點睛】本題考查了畫樹狀法或列表法求概率，列出所有等可能的結(jié)果是解決本題的關(guān)鍵．5.【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根據(jù)有理數(shù)的運算，可得答案．【詳解】解：∵b+d＝0，由數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，得a＜b＜0＜c＜d，A、∵b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合題意；B、＜0，故B不符合題意；C、ad＜bc＜0，故C不符合題意；D、|a|＞|b|＝|d|，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的運算，利用數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大得出a＜b＜0＜c＜d是解題關(guān)鍵．6.【答案】A【分析】根據(jù)方差的意義求解．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【詳解】方差體現(xiàn)了某組數(shù)據(jù)的波動情況，波動越大，方差越大，由圖可知，B課程成績的波動大，A課程成績的波動小，∴；故選：A．【點睛】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．7.【答案】A【分析】根據(jù)圖像，分三個部分：滿過“幾何體”下方圓柱需，滿過“幾何體”上方圓柱需，注滿“幾何體”上面的空圓柱形容器需，再設(shè)勻速注水的水流速度為，根據(jù)圓柱的體積公式列方程可得勻速注水的水流速度；設(shè)“幾何體”下方圓柱的高為，根據(jù)圓柱的體積公式得，解得，于是得到“幾何體”上方圓柱的高為，設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為，根據(jù)圓柱的體積公式得，再解方程即可求解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像得到圓柱形容器的高為，兩個實心圓柱組成的“幾何體”的高度為，水從剛滿過由兩個實心圓柱組成的“幾何體”到注滿用了：，這段高度為：，設(shè)勻速注水的水流速度為，則，解得，即勻速注水的水流速度為；“幾何體”下方圓柱的高為，則，解得，所以“幾何體”上方圓柱的高為，設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為，根據(jù)題意得，解得，即“幾何體”上方圓柱的底面積為，故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的應(yīng)用：把分段函數(shù)圖像中自變量與對應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為實際問題中的數(shù)量關(guān)系，然后運用方程的思想解決實際問題是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分．8.【答案】9【分析】用潛艇從海平面以下的高度減去上升到海平面以下的高度，就是潛艇上升的高度，據(jù)此解答．【詳解】根據(jù)題意得：﹣18﹣（﹣27）=9（米）．故答案為9．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法運算，根據(jù)題意列出算式是解答此題的關(guān)鍵．9.【答案】（-3，-7）【詳解】根據(jù)白棋的坐標(biāo)，可確定如圖，所示的平面直角坐標(biāo)系，可得黑棋①的坐標(biāo)為(－3，－7)．10.【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將分式通分，代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程，即，的兩根為與，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.【答案】【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義．構(gòu)造直角三角形由勾股定理求出長，由銳角的正弦定義即可求解．【詳解】如圖，利用格點作交的延長線于點D，是直角三角形，，，故答案為：12.【答案】①.②.【分析】把方程組解代入，即得到關(guān)于的一個方程，有無數(shù)個解，任意寫出一個即可．【詳解】解：把代入方程可得：時，有故答案為：，．【點睛】本題考查了二元一次方程的解的意義．熟記相關(guān)定義即可．13.【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，先利用勾股定理求出對角線的長，再證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可求出的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，E是邊的中點，，，，，，，，解得，故答案為：．14.【答案】點D【分析】設(shè)圖中小正方形的邊長為1，由勾股定理可計算出的三邊長，再計算出點M、F分別與A、B、C、D四點的距離，即可作出判斷．【詳解】解：設(shè)圖中小正方形的邊長為1，∵，由勾股定理得：，，由于，顯然點A不可能是點Q；∵，∴，∴，即點D是點Q；∵，∴點B不是點Q；同理，點C不是點Q；∴點可能是圖中的點D；故答案為：點D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求得各線段的長度是關(guān)鍵．15.【答案】【分析】本題考查了分式方程，利潤、成本及利潤率的關(guān)系，設(shè)一件甲紀(jì)念品的成本為a元，一件乙紀(jì)念品的成本為b元，由“銷售量的比為時，總獲利為”及利潤率公式，可求得a與b的關(guān)系，則可求得銷售量的比為時的總獲利．【詳解】解：設(shè)一件甲紀(jì)念品的成本為a元，一件乙紀(jì)念品的成本為b元，則，解得，當(dāng)銷售量的比為時，總獲利為：，故答案為：．三、計算題：本大題共2小題，共10分．16.【答案】4【分析】先利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角銳角三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)化簡，再合并，即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角銳角三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵．17.【答案】9．【分析】將化為，整體代入化簡后的代數(shù)式即可．【詳解】解：∵，∴.∴．【點睛】本題考查整式的混合運算及化簡求值，掌握完全平方公式和單項式乘多項式的法則正確計算是解題關(guān)鍵．四、解答題：本題共10小題，共58分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.【答案】【分析】分別解兩個不等式得到兩個不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案．【詳解】解：解不等式①，得解不等式②，得在數(shù)軸上表示不等式①、②的解集，所以這個不等式組的解集是．【點睛】本題考查的是解不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵．19.【答案】（1）見解析（2）圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，∠BAC【分析】（1）根據(jù)作法按步驟作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理進行證明即可【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；

【小問2詳解】證明：連接PC．∵AB＝AC，∴點C在上．∵，∴（_圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半__）（填推理的依據(jù)），由作圖可知，，∴_∠BAC__．∴．故答案為：圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，∠BAC．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖作圓，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20.【答案】（1）①;②1（2）【分析】（1）①先求得線段AC的長度，然后取AC的中點H，得到AH的長即為△ABC的外接圓半徑；②過點O作于點E，于點F，于點G，然后可得四邊形OEBF是正方形，設(shè)半徑為1，結(jié)合點O是的內(nèi)心可得AF，CE的長度，然后由切線長定理得到，，進而得到，最后利用勾股定理求得r的值；（2）設(shè)半徑為r，得到，，由內(nèi)心的定義可知，然后利用正切值求得的大小，即為結(jié)果．【小問1詳解】解：（1）①如圖1，取AC的中點H，∵，∴點H是的外接圓圓心．∵，，，∴A，∴的外接圓半徑為；②如圖2，過點O作于點E，于點F，于點G，則．，∴四邊形OEBF是正方形，設(shè)半徑為r，則，是的內(nèi)切圓，，，∴，，∴.，在中，，，解得或(不符合題意舍去)，內(nèi)切圓的半徑為l；【小問2詳解】解：如圖2，設(shè)半徑為r，則，．是的內(nèi)切圓，.，,，解得，的半徑為．【點睛】本題考查了三角形的外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)、解直角三角形，熟知圓的切線長定理是解題關(guān)鍵．21.【答案】（1）sin∠ABD=；（2）CD=【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．設(shè)AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，即可解決問題；（2）作CF⊥DE于F．首先證明四邊形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解決問題．【詳解】解：（1）作DE⊥AB于E，設(shè)AE=a．在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a，∴∠ADE=30°，∴AD=2a，DE=a，∵AD：AB=2：3，∴AB=3a，EB=2a，在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2=（）2，解得a=1，∴DE=，BE=2，∴sin∠ABD=．（2）CF⊥DE于F．∵CB⊥AB，CF⊥DE，∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，∴四邊形CFEB是矩形，∴CF=EB=2，BC=EF，∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，∴∠DCF=30°，∴DF=CF?tan30°=，∴CD=2DF=．【點睛】本題考查解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．22.【答案】（1）見解析（2）（3）64【分析】（1）找出橫坐標(biāo)是80，縱坐標(biāo)是95的點即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解；（3）利用樣本估計總體思想求解．【小問1詳解】解：代表居民小張的點如下圖所示：【小問2詳解】解：將講座后20人的成績從低到高排序，第10名和第11名的成績分別為87，88，因此中位數(shù)；【小問3詳解】解：（人），即估計能獲得“環(huán)保達人獎”的有64人，故答案為：64．【點睛】本題考查統(tǒng)計圖、中位數(shù)、利用樣本估計總體等知識點，解題的關(guān)鍵是看懂所給統(tǒng)計圖，掌握中位數(shù)的定義，能夠利用樣本估計總體思想解決問題．23.【答案】（1）見詳解（2）（3）能安全通過，理由見詳解【分析】（1）以點A為原點，所在的直線為軸，過點作垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系即可；（2）待定系數(shù)法求拋物線的表達式即可；（3）游船從拱橋正下方通過時，拋物線的對稱軸為游船也關(guān)于直線對稱，寬度為4米，對稱軸左右兩邊各2米，當(dāng)時，求出的值，再進行比較即可．【小問1詳解】以點A為原點，所在的直線為軸，過點作垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，【小問2詳解】解：，根據(jù)交點式，設(shè)拋物線的表達式為，代入點得：，拋物線的表達式為；【小問3詳解】解：能安全通過，理由如下:游船從拱橋正下方通過時，拋物線的對稱軸為游船也關(guān)于直線對稱，寬度為4米，對稱軸左右兩邊各2米當(dāng)時，，，故能安全通過．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24.【答案】（1）（2）（3）存在，或或【分析】（1）設(shè)，則，再求出的長，在中，根據(jù)勾股定理求出a的值，即可求解；（2）延長交于，則，先證明，可得，從而得到，在中，由勾股定理可得，可得，從而得到，進而得到，可證得，可得到，再證明，即可求解；（3）分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，即可求解．【小問1詳解】解：在矩形中，，，，設(shè)，則，，，在中，，，在中，由勾股定理得：，，，，；【小問2詳解】如圖，延長交于，則，∵，，，，，由（1）知：，，又，，，，在中，由勾股定理得：，，，，∵，，平分，，，，，，，，又，，，，，，即，；【小問3詳解】分三種情況：①當(dāng)時，如圖3，，，∽，，，即，解得：，∴，，，；②當(dāng)時，如圖4，過M作于H，與的延長線交于點G，有，，，，即，，∽，，即，解得：，代入得：，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴的縱坐標(biāo)為：，；③當(dāng)時，如圖5，過點N作于Q，，，∽，，又，，，，，代入得：，同理可得：；綜上，點P的坐標(biāo)是或或【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，一次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，用分類討論的數(shù)學(xué)思想和方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）不存在的值，使得矩形的面積是；（2）當(dāng)時，有最大值，最大值是【分析】（1）設(shè)，由題意得，進而得，即可得到與的函數(shù)關(guān)系式，將數(shù)據(jù)代入即可判斷；（2）將（1）中函數(shù)關(guān)系式進行變