山西省孝義市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

山西省孝義市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．4．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1605．網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．1 B． C．3 D．46．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．如圖，矩形ABCD中，，，E是AD的中點(diǎn)，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個(gè)命題：①對(duì)滿足題意的任意的的位置，；②對(duì)滿足題意的任意的的位置，，則()A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立8．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交9．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元10．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．11．下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．12．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)抽取200個(gè)樣品.并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下：壽命（天）頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計(jì)2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)，如果這個(gè)燈泡的壽命情況恰好與按四個(gè)組分層抽樣所得的結(jié)果相同，則的最小值為______.14．以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，，且滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_________．15．如圖，直三棱柱中，，，，P是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為________.16．已知定義在的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的解集為__________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知橢圓離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線斜率的取值范圍.18．（12分）設(shè)橢圓，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且直線軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為3的線段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.21．（12分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯(cuò)誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯(cuò)誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當(dāng)時(shí)，記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)，時(shí)，求且的概率.22．（10分）某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷，定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng)，每天的銷售數(shù)據(jù)按照，，，分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率；試銷結(jié)束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發(fā)：大箱每箱瓶，批發(fā)成本元；小箱每箱瓶，批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短，當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發(fā)一箱（計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表，比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶）.①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí)，當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量，批發(fā)一小箱時(shí)，當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量，求和的分布列和數(shù)學(xué)期望；②以利潤(rùn)作為決策依據(jù)，該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量×定價(jià)；利潤(rùn)=銷售額－批發(fā)成本.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)?，所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所?設(shè)，易知平面ABC，則.因?yàn)椋?，即，解?所以球Q的半徑.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計(jì)算求解能力，是中檔題2、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.3、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.5、A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，長(zhǎng)度如上圖所以所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對(duì)本題可以利用長(zhǎng)方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線，屬中檔題.6、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，寫出共軛復(fù)數(shù)，寫出共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析：，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵．7、A【解析】

作出二面角的補(bǔ)角、線面角、線線角的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】①如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，，所以，所以①正確.②由于，所以與所成角，所以，所以②正確.綜上所述，①②都正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．9、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由得：，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?，所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過程要注意.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】

先求出a，b，根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n，從而得出的最小值.【詳解】由題意得，a=0.2，b=80，由表可知，燈泡樣品第一組有40個(gè)，第二組有60個(gè)，第三組有80個(gè)，第四組有20個(gè)，所以四個(gè)組的比例為2:3:4:1，所以按分層抽樣法，購(gòu)買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用，涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知，從而化簡(jiǎn)得到，由此確定軌跡方程.【詳解】，，和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在線段的垂直平分線上，，即，同理可得：，，，點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出滿足的方程，由此得到結(jié)果.15、【解析】

證明平面，于是，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】平面，平面，，又.平面，是的中點(diǎn)，.

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由已知得出函數(shù)是偶函數(shù)，再得出函數(shù)的單調(diào)性，得出所解不等式的等價(jià)的不等式，可得解集.【詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，得時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，即或，解得或，所以不等式的解集為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解，關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3，所以，因?yàn)闄E圓離心率為，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，則，設(shè)，由得，解得，或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以直線的方程為，設(shè)，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于難題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)不能，證明見解析【解析】

(Ⅰ)計(jì)算得到故，，，，計(jì)算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為，聯(lián)立方程得到，計(jì)算，同理，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)差法得到，同理，故，得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)，，故，，，.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為，則，故，設(shè)，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為，則，，相減得到，即，同理可得：的中點(diǎn)，滿足，故，故四邊形不能為矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積，形狀，根據(jù)四邊形形狀求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線的方程.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【詳解】（1）解析：（1）設(shè)，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為設(shè)，由可得：由點(diǎn)到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時(shí)，，此時(shí)，且符合當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為由題可得，時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面，所以面的法向量可取，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，設(shè)面的法向量，所以，取，二面角的平面角為，則為銳角.所以【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，在做此類題時(shí)，一定要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo).21、（1）見解析，0（2）【解析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對(duì),答對(duì)2道答錯(cuò)1道,答對(duì)1道答錯(cuò)2道,3道題都答錯(cuò),進(jìn)而求解即可；（2）當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對(duì),第二題第三題至少有一道答對(duì),進(jìn)而求解.【詳解】解:（1）的取值可能為,,1,3,又因?yàn)?故,,,,所以的分布列為：13所以（2）當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對(duì),若第二題回答