第12講 比例線段及相似圖形（4大考點）（解析版）

第12講比例線段及相似圖形（4大考點）考點考點考向一．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．三．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．四．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應(yīng)用非常廣泛，對于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．考點考點精講一．比例的性質(zhì)（共8小題）1．（2022秋?邗江區(qū)月考）若＝，則下列式子正確的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，進行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴＝+1＝，故A不符合題意；B、∵＝，∴≠，故B不符合題意；C、∵＝，∴＝﹣1＝﹣∴＝﹣4，故C不符合題意；D、∵＝，∴＝，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）已知，則的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4【分析】利用比例的性質(zhì)由得到a＝2b，再把a＝2b代入所求的代數(shù)式中，然后進行分式的化簡即可．【解答】解：∵，∴a＝2b，∴＝＝＝5．故選：B．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋?建鄴區(qū)校級月考）若，則＝．【分析】利用合比性質(zhì)求解．【解答】解：∵，∴＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022?儀征市二模）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米．……”．問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為18升．【分析】根據(jù)題意列出算式，再按照法則計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：3×10÷（50÷30）＝30÷＝30×＝18（升）．答：可以換得的糲米為18升．故答案為：18．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，有理數(shù)的乘除法的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是解題關(guān)鍵．5．（2022秋?江陰市校級月考）（1）已知，2x+y≠0，求的值．（2）已知＝＝＝x，求x的值．【分析】（1）＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把x＝2k，y＝3k，z＝5k代入所求的代數(shù)式中進行分式的化簡計算即可；（2）當a+b+c＝0時，即a+b＝﹣c，易得x＝﹣1；當a+b+c≠0時，利用等比性質(zhì)得到x＝2．【解答】解：（1）設(shè)＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝5k，∴＝＝﹣＝﹣；（2）當a+b+c＝0時，即a+b＝﹣c，則x＝＝﹣1；當a+b+c≠0時，x＝＝＝＝＝2，綜上所述，x的值為﹣1或2．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的1.2倍．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．【解答】解：由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．故答案為：1.2．【點評】本題主要考查比例，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021秋?靖江市期末）設(shè)a，b，c是△ABC的三條邊，且＝＝，判斷△ABC為何種三角形？并說明理由．【分析】根據(jù)合比性質(zhì)得出＝＝＝＝0，則a＝b＝c，進而判斷△ABC為等邊三角形．【解答】解：△ABC為等邊三角形，理由如下：∵a，b，c是△ABC的三條邊，∴a+b+c≠0，∵＝＝，∴＝＝＝＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形．【點評】本題考查了等比性質(zhì)：如果＝＝…＝＝k，且b+d+…+n≠0，那么＝k．8．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）已知＝＝≠0，則的值是．【分析】利用設(shè)k法進行計算，即可解答．【解答】解：∵＝＝≠0，∴設(shè)＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝+＝+＝+＝+＝，故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法進行計算是解題的關(guān)鍵．二．比例線段（共5小題）9．（2022秋?相城區(qū)校級月考）已知A、B兩地相距10km，在地圖上相距10cm，則這張地圖的比例尺為（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，直接求出即可．【解答】解：∵10km＝700000厘米，∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；故選：C．【點評】本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一．10．（2022秋?靖江市期中）比例尺是1：3000的地圖上，某條街道的長度為25cm，它的實際長度約為750米．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)它的實際長度為xcm，則：＝，解得x＝7500075000cm＝750m．故答案為：750．【點評】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺靈活計算，注意單位的換算問題．11．（2021秋?淮安區(qū)期末）（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【分析】（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，根據(jù)比例中項的定義列出等式，利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，代入計算，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（負值舍去）．∴線段a，b的比例中項是3．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝﹣．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?宜興市月考）已知線段a＝4cm，b＝5cm，那么線段a、b的比例中項等于2cm．【分析】設(shè)線段a、b的比例中項為xcm，根據(jù)比例中項的定義得到x2＝20，然后求20的算術(shù)平方根即可．【解答】解：設(shè)線段a、b的比例中項為xcm，根據(jù)題意得x2＝ab＝4×5＝20，解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去），即線段a、b的比例中項為2cm．故答案為：2．【點評】本題考查了比例線段：掌握比例中項的定義是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022?淮安區(qū)模擬）已知線段a＝4cm，線段b＝7cm，線段c是線段a，b的比例中項，求線段c的長．【分析】根據(jù)比例中項的定義，構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：∵線段c是線段a，b的比例中項，∴c2＝ab，∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，∴c＝2cm．故線段c的長為2cm．【點評】本題考查比例中項的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．三．黃金分割（共8小題）14．（2020秋?寶應(yīng)縣月考）如圖，點B是線段AC的黃金分割點，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的長．【分析】根據(jù)黃金比值為計算，得到答案．【解答】解：∵點B是線段AC的黃金分割點，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．【點評】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?宜興市月考）如圖，已知點C是線段AB的黃金分割點，且BC＞AC．若S1表示以BC為邊的正方形的面積，S2表示長為AD（AD＝AB）、寬為AC的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系為（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．無法確定【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到BC2＝AC?AB，再利用正方形和矩形的面積公式有S1＝BC2，S2＝AC?AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是線段AB的黃金分割點，且BC＞AC，∴BC2＝AC?AB，∵S1表示以BC為邊的正方形面積，S2表示長為AB、寬為AC的矩形面積，∴S1＝BC2，S2＝AC?AB，∴S1＝S2．故選：A．【點評】本題考查了黃金分割的定義：一個點把一條線段分成較長線段和較短線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點．16．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）已知點C為線段AB的黃金分割點且AB＝5，則AC≈3.1或1.9（精確到0.1）．【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段，分別求出即可．【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，AB＝5，∴當AC＞BC時，AC＝AB＝×5≈×5≈3.1；當AC＜BC時，AC≈5﹣3.1＝1.9；綜上所述，AC的長為3.1或1.9，故答案為：3.1或1.9．【點評】本題考查了黃金分割點的概念．熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．17．（2022?建鄴區(qū)二模）點P是線段AB的黃金分割點，若AB＝5且PA＞PB，則PA長最接近的整數(shù)是3．【分析】根據(jù)黃金比為0.618進行計算即可得到答案．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，∴PA＝0.618AB＝0.618×5≈3．故答案為：3．【點評】本題考查的是黃金分割的概念，掌握把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值≈0.618叫做黃金比是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?靖江市期中）黃金分割大量應(yīng)用于藝術(shù)、大自然中，例如樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割．如圖，B為AC的黃金分割點（AB＞BC），如果AC的長度為10cm，則BC的長度為（15﹣5）cm．（結(jié)果保留根號）【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得AB＝AC，從而求出AB的長，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系求出BC的長，即可解答．【解答】解：∵B為AC的黃金分割點（AB＞BC），AC的長度為10cm，∴AB＝AC＝（5﹣5）（cm），∴BC＝AC﹣AB＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）（cm），故答案為：（15﹣5）．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?蘇州期中）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點．如圖，在△ABC中，D是邊BC的“黃金分割”點，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，則AC的長度是+1．【分析】過A作AE⊥BD于E，由黃金分割的定義得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性質(zhì)得BE＝DE＝，則CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，過A作AE⊥BD于E，∵D是邊BC的“黃金分割”點，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案為：+1．【點評】本題考查的是黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，比值叫做黃金比．20．（2022秋?宜興市月考）再讀教材：寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．問題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號）；（2）如圖④中的黃金矩形是：矩形BCDE，矩形MNDE．（3）請寫出圖④中的一個黃金矩形，說明理由．【分析】（1）連接AB，由折疊的性質(zhì)，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長度．（2）根據(jù)黃金矩形的定義判斷即可；（3）首先求出CD，ND，再由黃金矩形的定義即可作出判斷．【解答】解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折疊的性質(zhì)得：AC＝NC＝1，在Rt△ABC中，AB＝＝＝，故答案為；（2）矩形BCDE，矩形MNDE；故答案為：矩形BCDE，矩形MNDE；（3）∵AD＝AB＝，AN＝AC＝1，∴CD＝﹣1，ND＝+1，∴＝，故矩形BCDE是黃金矩形；∴＝＝，故矩形MNDE是黃金矩形．【點評】本題主要考查黃金分割，黃金矩形，菱形的判定，折疊與對稱的性質(zhì)，掌握黃金分割的概念是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?邗江區(qū)月考）再讀教材：寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．問題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號）；（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由．【分析】（1）連接AB，由折疊的性質(zhì)，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長度．（2）由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四邊形BADQ為菱形；（3）首先求出CD，ND，再由黃金矩形的定義即可作出判斷．【解答】解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折疊的性質(zhì)得：AC＝NC＝1，在Rt△ABC中，AB＝；故答案為；（2）四邊形BADQ是菱形．證明：由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四邊形BADQ為菱形；（3）圖④中的黃金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；理由：∵AD＝AB＝，AN＝AC＝1，∴CD＝，ND＝，∴＝，故矩形BCDE是黃金矩形；∴＝，故矩形MNDE是黃金矩形．【點評】本題主要考查黃金分割，黃金矩形，菱形的判定，折疊與對稱的性質(zhì)，掌握黃金分割的概念是解題的關(guān)鍵．四．相似圖形（共6小題）22．（2022秋?江陰市校級月考）下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圓都相似．其中說法正確的序號是②③⑤．【分析】直接利用相似圖形的定義得出答案．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，錯誤，對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角不一定相等；②所有的正三角形都相似，正確；③所有的正方形都相似，正確；④所有的矩形都相似，錯誤，對應(yīng)邊不一定成比例；⑤所有的圓都相似，正確．故答案為：②③⑤．【點評】此題主要考查了相似圖形，正確掌握相似圖形的定義是解題關(guān)鍵．23．（2022秋?靖江市期中）下列圖形中，不一定是相似圖形的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個等腰直角三角形 C．兩個長方形 D．兩個圓【分析】利用相似圖形的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、兩個等邊三角形一定相似，不符合題意；B、兩個等腰直角三角形一定相似，不符合題意；C、兩個長方形的對應(yīng)角相等但對應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，符合題意；D、兩個圓一定相似，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了相似圖形的定義，牢記相似圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．24．（2020秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，我們規(guī)定菱形與正方形，矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”，在研究“接近度”時，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等．（1）設(shè)菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為α°，β°，將菱形的“接近度”定義為|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．①若菱形的一個內(nèi)角為80°，則該菱形的“接近度”為20；②當菱形的“接近度”等于0時，菱形是正方形；（2）設(shè)矩形的長和寬分別為m，n（m≤n），試寫出矩形的“接近度”的合理定義．【分析】（1）①根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，相似圖形的“接近度”相等．所以若菱形的一個內(nèi)角為80°，則該菱形的“接近度”等于|m﹣n|；②當菱形的“接近度”等于0時，菱形是正方形；（2）利用接近度的定義分析得出答案．【解答】解：（1）①∵內(nèi)角為80°，∴與它相鄰內(nèi)角的度數(shù)為100°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．②當菱形的“接近度”等于0時，菱形是正方形．故答案為：20；0；（2）設(shè)矩形的長和寬分別為m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定義為，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當＝1時，矩形就變成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【點評】此題主要考查了相似圖形的性質(zhì)，正確理解“接近度”的意思是解決問題的關(guān)鍵．25．（2020秋?宜興市月考）下列四個結(jié)論：①兩個正三角形相似；②兩個等腰直角三角形相似；③兩個菱形相似；④兩個矩形相似；⑤兩個正方形相似，其中正確的結(jié)論是①②⑤．【分析】根據(jù)相似圖形的判定一一判斷即可．【解答】解：①兩個正三角形相似，正確．②兩個等腰直角三角形相似，正確．③兩個菱形相似，錯誤．④兩個矩形相似，錯誤．⑤兩個正方形相似，正確．故答案為：①②⑤．【點評】本題考查相似圖形的判定，解題的關(guān)鍵是理解相似圖形的判定方法，屬于中考?？碱}型．26．（2020秋?徐州期末）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)折疊的特征可得A4紙的長邊與BC重合，即長邊為正方形ABDC的對角線，結(jié)論可得；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【解答】解：（1）如圖1，由折疊過程可以看到：第一次折疊，A與D重合，四邊形ABDC為正方形，折痕BC為對角線，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折疊，第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，即BC與較長邊重合．所以，較長邊＝AB．∴A4紙較長邊與較短邊的比為：．故答案為：．（2）A4紙與A5紙是相似圖形．理由：∵A4紙較長邊與較短邊的比為：，∴設(shè)A4紙較短邊的長為a，則較長邊為a．∵由圖2可知：A5紙的長邊與A4紙的短邊重合，短邊等于A4紙的長邊的一半，∴A5紙的長邊為a，短邊為．∴A5紙的長邊與短邊的比為：＝．∴A4紙較長邊與較短邊的比＝A5紙的長邊與短邊的比．又∵A4紙與A5紙的四個角均為直角，∴A4紙與A5紙相似．【點評】此題考查相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形的判定和性質(zhì)解答．27．（2021?錫山區(qū)一模）如果一條對角線把凸四邊形分成兩個相似的三角形，那么我們把這條對角線叫做這個凸四邊形的相似對角線，在凸四邊形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，點E、點F分別是邊AD，邊BC上的中點．如果AC是凸四邊形ABCD的相似對角線，那么EF的長等于．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出BC長，再利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理計算出EF的長即可．【解答】解：如圖所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC?AD，∵AC＝，AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F(xiàn)為BC中點，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，在Rt△AFC中AF＝＝，∵AD＝，E為AD中點，∴AE＝，∴EF＝＝＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·江蘇寶應(yīng)·九年級期中）已知線段a＝2，b＝4，如果線段b是線段a和c的比例中項，那么線段c的長度是（）A．2 B．6 C．8 D．2【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義列式求解即可，在同一單位下，四條線段長度為a、b、c、d，其關(guān)系為a∶b=c∶d，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段；如果三個數(shù)a，b，c滿足比例式a∶b=b∶c，則b就叫做a，c的比例中項．【詳解】解：由題意，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查比例線段，理解比例線段的定義，找準對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2020·江蘇·淮安外國語學校九年級月考）若，則下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式的兩邊都除以，從而可得到答案．【詳解】解：等式的兩邊都除以：，故選B．【點睛】本題考查的是把等積式化為比例式的方法，考查的是比的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·九年級專題練習）已知，那么下列比例式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，再利用比例的基本性質(zhì)逐一分析各選項，即可得到答案．【詳解】解：由可得：故不符合題意，由可得：故符合題意；由可得：故不符合題意，由可得：故不符合題意，故選：【點睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握比例的基本性質(zhì)進行變形是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇如皋·九年級期末）如圖，一塊矩形ABCD綢布的長AB=a，寬AD=3，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式，求解后即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，故選：C．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇·常州外國語學校九年級月考）在比例尺為的宜賓交通游覽圖上，宜賓長江大橋長約，它的實際長度約為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實際距離=圖上距離÷比例尺．代值計算即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：7÷=140000（cm），140000cm=1.4km．故選：C．【點睛】此題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺靈活計算，注意單位的換算問題．6．（2021·江蘇海陵·九年級期末）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個等邊三角形C．兩個平行四邊形 D．兩個菱形【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的概念進行判斷即可；【詳解】任意兩個等腰三角形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，故A錯誤；任意兩個等邊三角形的對應(yīng)角相等，都是60°，故一定相似，故B正確；任意兩個平行四邊形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定成比例，故不一定相似，故C錯誤；任意兩個菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，故D錯誤；故答案選B．【點睛】本題主要考查了相似圖形的定義判斷，準確理解是解題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期中）如圖，已知直線a//b//c，直線m分別交直線a，b，c于點A，B，C；直線n分別交直線a，b，c于點D，E，F(xiàn).若，則＝()A． B． C． D．1【答案】A【分析】先由得出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，

∴，

∵a∥b∥c，

∴．

故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2021·江蘇姜堰·九年級期中）若，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)已知設(shè)出，，代入即可求出答案．【詳解】，設(shè)，，．故答案為：．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形．9．（2021·江蘇·無錫市江南中學九年級期中）若x﹣3y＝0，則＝___．【答案】【分析】由x﹣3y＝0，可得再代入進行計算即可.【詳解】解：x﹣3y＝0，故答案為：【點睛】本題考查的是比的計算與比例的基本性質(zhì)，掌握比的計算與比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10．（2021·江蘇·無錫市江南中學九年級期中）如果在比例尺1：50000的地圖上，A、B兩地的圖上距離為2cm，則A、B兩地的實際距離為___m．【答案】【分析】利用比例尺等于圖上距離:實際距離，再計算即可.【詳解】解：設(shè)A、B兩地的實際距離為cm，則1：50000而cmm，故答案為：【點睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握“比例尺等于圖上距離:實際距離”是解題的關(guān)鍵.11．（2019·江蘇南京·九年級期末）已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AP是較長線段；則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長．【詳解】解：由于P為線段AB的黃金分割點，且AP是較長線段，AB＝4，則AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案為2﹣2．【點睛】本題考查了黃金分割的概念．解題關(guān)鍵是熟記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的．12．（2021·江蘇惠山·九年級期中）在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實際距離為_______千米.【答案】26【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離．根據(jù)比例尺關(guān)系即可直接得出實際的距離．【詳解】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，得：A，B兩地的實際距離為2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．故答案為26．【點睛】本題考查了線段的比．能夠根據(jù)比例尺正確進行計算，注意單位的轉(zhuǎn)換．13．（2020·江蘇·靖江外國語學校九年級月考）若a∶b=3∶2，且b是a，c的比例中項，則b∶c等于____．【答案】3：2．【分析】由b是a、c的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，即可求得b2＝ac，即a:b=b:c，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【詳解】解：∵b是a、c的比例中項，∴b2＝ac，即a:b=b:c，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故答案為：3：2．【點睛】本題考查了比例線段以及比例中項的定義．解題的關(guān)鍵是熟記比例中項的定義及其變形．14．（2021·江蘇大豐·九年級期末）在比例尺為1：800000的鹽城市地圖上，大豐實驗初中與濱海第一初級中學的圖上距離為16cm，則實際距離為_____km．【答案】128【分析】根據(jù)比例尺直角計算即可．【詳解】解：設(shè)實際距離為xcm，∵比例尺為1：800000，∴16：x=1：800000x=1280000012800000cm=128km；故答案為：128．【點睛】本題考查了比例線段，解題關(guān)鍵是明確比例尺的意義，注意單位轉(zhuǎn)換．15．（2021·江蘇宜興·九年級月考）已知，則________【答案】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，故，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．16．（2020·江蘇·宜興市丁蜀鎮(zhèn)陶都中學九年級月考）下列四個結(jié)論：①兩個正三角形相似；②兩個等腰直角三角形相似；③兩個菱形相似；④兩個矩形相似；⑤兩個正方形相似，其中正確的結(jié)論是_____．【答案】①②⑤【分析】根據(jù)相似圖形的判定一一判斷即可．【詳解】解：①兩個正三角形相似，正確．②兩個等腰直角三角形相似，正確．③兩個菱形相似，錯誤．④兩個矩形相似，錯誤．⑤兩個正方形相似，正確．故答案為：①②⑤．【點睛】此題考查相似圖形的判定，掌握相似圖形的特點:對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．17．（2021·江蘇無錫·中考真題）下列命題中，正確命題的個數(shù)為________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長相等的兩個菱形都相似④對角線相等的兩個矩形都相似【答案】1【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對①進行判斷；利用菱形的定義對②進行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對③進行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對④進行判斷．【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；所有的菱形不一定相似，所以②錯誤；邊長相等的兩個菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個菱形不一定相似所以③錯誤；對角線相等的兩個矩形，對應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯誤；故答案是：1．【點睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握圖形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇蘇州·九年級期中）相鄰兩邊長的比值是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，從外形看最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長的一條邊長等于20厘米，那么相鄰一條邊的邊長等于____厘米．（精確到0.01）【答案】【分析】由黃金矩形的定義，可知黃金矩形的寬與長之比為，設(shè)所求邊長為x，代入已知數(shù)據(jù)即可得出答案．【詳解】解：設(shè)所求邊長為x，由題意，得，解得x=cm．故答案為．【點睛】本題主要考查了黃金分割點的概念，需要熟記黃金比的值．19．（2018·江蘇相城·九年級期中）比例尺為1：9000的蘇州市城區(qū)地圖上，山塘街的長度約為40cm，它的實際長度約為_____km．【答案】0.36．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，依題意列出比例式，即可求得實際距離．【詳解】解：設(shè)它的實際長度為x厘米，則：1：9000＝40：x，解得x＝360000．360000厘米＝3.6km．故答案是：3.6．【點睛】考查了比例尺的定義．要求能夠根據(jù)比例尺由圖上距離正確計算實際距離，注意單位的換算．三、解答題20．（2021·江蘇阜寧·九年級期末）已知是和3的比例中項，求．【答案】，【分析】根據(jù)比例中項的定義列方程求解即可．【詳解】解：∵是和3的比例中項，∴，∴，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了比例線段，一元二次方程的解法，熟知比例中項的定義是解決問題的關(guān)鍵．21．（2021·江蘇江陰·九年級期中）求值：（1）已知，求的值；（2）已知，a＋b＋c＝22，求3a－b＋2c的值．【答案】（1）；（2）24【分析】（1）設(shè)b＝3k，則a＝4k（k≠0），代入求值即可；（2）設(shè)＝k，表示a，b，c代入等式求出k值，代入求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)b＝3k，則a＝4k（k≠0），＝＝＝．（2）設(shè)＝k，則a＝2k，b＝4k，c＝5k．∵a+b+c=22∴2k＋4k＋5k＝22，解得k＝2．∴a＝4，b＝8