第05講 等腰三角形的性質(zhì)與判定（2大考點(diǎn)14種解題方法）（原卷版）

第05講等腰三角形的性質(zhì)與判定（2大考點(diǎn)14種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．二.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC＝a,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點(diǎn)D.3.在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三.等腰三角形的判定：判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．四.等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．五.等邊三角形的判定：（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：等腰三角形的性質(zhì)定理題型一：等腰三角形的性質(zhì)的判定一、單選題1．（2022·重慶忠縣·八年級(jí)期末）如圖，已知，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接、．張宇同學(xué)根據(jù)已知條件給出了以下幾個(gè)結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題2．（2022·廣東東莞·八年級(jí)期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，則∠C的度數(shù)為_(kāi)__________.3．（2022·重慶忠縣·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則________．三、解答題4．（2022·北京海淀·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，求證：BE＝CD．5．（2021·黑龍江·巴彥縣第一中學(xué)八年級(jí)期中）已知在直角三角形ABC中，，AD平分．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)E在AB上，連接CE交AD于F，若，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M在AB上，連接CM交AD于G，過(guò)點(diǎn)G作于N，交CF于H，，，，求的面積．6．（2021·廣東東莞·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB上的高，AF為∠BAC的角平分線，AF交CD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.(1)如圖1，①∠ACD∠B（選填“<，=，>”中的一個(gè)）②如圖1，求證：CE=CF；(2)如圖1，作EG∥AB交BC于點(diǎn)G,若AD=a,△EFG為等腰三角形，求AC（含a的代數(shù)式表示）；(3)如圖2，過(guò)BC上一點(diǎn)M，作MN⊥AB于點(diǎn)N，使得MN=ED，探索BM與CF的數(shù)量關(guān)系．7．（2022·陜西安康·八年級(jí)期末）（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，，，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___________．（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接．①求的度數(shù)；②證明：8．（2022·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，在中，，是邊上的中線，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，．(1)求證：點(diǎn)在的垂直平分線上；(2)若，求的度數(shù)．題型二：等邊三角形的性質(zhì)一、單選題1．（2022·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期末）所謂全等圖形是能夠完全重合的圖形．下列哪些不是全等圖形（）A．兩條射線 B．兩條直線C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩條長(zhǎng)度相等的線段2．（2022·云南省楚雄天人中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線兩兩相交于點(diǎn)A，B，C，是等邊三角形，點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作//交直線于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，則___________．三、解答題4．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E，A在直線DC的同側(cè)，連接AE．(1)求證：AEBC；(2)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，仍以CD為邊作等邊三角形CDE，使得E、A在直線DC的兩側(cè)，那么AE和BC還平行嗎？畫圖證明你的判斷．5．（2021·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊△DCE和等邊△DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF(1)如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（不需要證明）；(3)若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）6．（2021·福建·莆田第七中學(xué)八年級(jí)期中）（1）〖問(wèn)題背景〗如圖1，B、E、M三點(diǎn)共線，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求證：△DBE≌△EMF；（2）〖變式運(yùn)用〗如圖2，B、E、C三點(diǎn)共線，△DEF為等邊三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求證：EC＝BD＋BE.

7．（2022·山東·北辛中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．(1)求證：AE＝BD；(2)求證：MNAB．(3)設(shè)AE和DB的交點(diǎn)為F，連FC，求證：FC平分∠AFB．考點(diǎn)二：等腰三角形的判定定理題型三：格點(diǎn)圖中的等腰三角形一、單選題1．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，已知，是兩格點(diǎn)，如果點(diǎn)也是格點(diǎn)，且使得是以為腰的等腰三角形，那么點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、解答題2．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，在所給的6×6方格中，點(diǎn)A，B，P都在小方格的格點(diǎn)上，按下列要求畫圖，所畫的點(diǎn)都必須落在方格紙的格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)畫出兩個(gè)等腰直角三角形ABC，使點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（分別在圖1、2中畫出示意圖，不能重復(fù)）．（2）請(qǐng)畫一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)P落在△ABC的對(duì)稱軸上（在圖3中畫出示意圖）．3．（2021·浙江·寧波市海曙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的3×3網(wǎng)格．（1）在圖1中，找格點(diǎn)C、D，使得CD⊥AB（找出一條即可）；（2）在圖2中，找格點(diǎn)P使得△PAB為等腰三角形（標(biāo)記出所有符合條件的P點(diǎn)）4．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級(jí)期中）如圖，在下列網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)單位，小正方形的頂點(diǎn)稱為網(wǎng)格的格點(diǎn)．（1）圖1為8×6網(wǎng)格，點(diǎn)A，點(diǎn)B在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中畫出以一個(gè)以AB為一邊，點(diǎn)C在格點(diǎn)上，面積為9的等腰ACB，此時(shí)∠ABC=．（2）圖2為5×3網(wǎng)格，點(diǎn)A，點(diǎn)B在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中找出所有的點(diǎn)C，使得ABC為等腰三角形，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．(在找到的點(diǎn)上標(biāo)上點(diǎn)C1，C2，C3…)5．（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)期中）勤于思考的小明同學(xué)提出如下問(wèn)題：如圖，不用尺規(guī)作圖，利用正方形網(wǎng)格線畫出∠ABC的角平分線（點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上）．請(qǐng)你幫助小明畫出角平分線并說(shuō)明理由．題型四：找出圖中的等腰三角形一、單選題1．（2021·湖北·荊州市荊南中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，則圖中一共有（）個(gè)等腰三角形．A．3 B．4 C．5 D．62．（2021·廣東惠州·八年級(jí)期末）如圖，中，，，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線m上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PC，那點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)二、填空題3．（2022·寧夏·吳忠市第二中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，請(qǐng)寫出圖中有哪些等腰三角形__．4．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1，2），在y軸確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有____個(gè)．三、解答題5．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．（1）求證：AB+BE=CD．（2）若AD=BC，在不添加任何補(bǔ)助線的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形．6．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，．分別計(jì)算的度數(shù)，并說(shuō)明圖中有哪些等腰三角形．7．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期末）已知，如圖，在ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個(gè)等腰三角形．題型五：根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形一、單選題1．（2022·陜西渭南·八年級(jí)期中）下列條件能判定為等腰三角形的是（

）A．， B．，，C．， D．2．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④△AEC是等腰直角三角形．你認(rèn)為正確的序號(hào)是（

）A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、解答題3．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）如圖，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，求證：AE＝DE．4．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分線，BD=BE．求證：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．5．（2022·湖南永州·八年級(jí)期末）如圖，已知，(1)求證：；(2)若平分，求證：是等腰三角形．6．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，E為的外角平分線上的一點(diǎn)，AE//BC，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求CE的長(zhǎng)．題型六：根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等一、單選題1．（2022·廣西貴港·八年級(jí)期末）如圖，是的角平分線，交BC于點(diǎn)E，垂足為F，連接DE．若，，則的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．85° D．90°2．（2021·湖北咸寧·八年級(jí)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別為AC，BC邊上的點(diǎn)，AD＝CE，連接AE，BD交于點(diǎn)F，∠CBD，∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，BG與AE交于點(diǎn)H，連接FG．有下列結(jié)論：①△ABD≌△CBG；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG．其中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題3．（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在邊AC、BC上，且∠CDE=∠B，將△CDE沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F點(diǎn)，若CD=4，CE=3，DE=5，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____________．4．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ//AE；③連接CO，則OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ為等邊三角形．恒成立的結(jié)論有___________________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．三、解答題5．（2022·江西鷹潭·八年級(jí)期中）如圖，將直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2個(gè)單位得到直角梯形EFGH，已知BC=6，∠A=90°，∠C=45°，求陰影部分的面積．6．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）已知：如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，且，BD與CE相交于點(diǎn)O．求證：．7．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求證：△AOC≌△BOD．8．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．AD交B于點(diǎn)F，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，作交直線FG于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)，______，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，試探索AF與BH的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，（2）中AF與BH的數(shù)量關(guān)系______成立（填“仍然”或“不再”）．請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期末）如圖，在等邊中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖1，，求證：；(2)如圖2，若E為上異于A、C的任一點(diǎn)，，（1）中結(jié)論是否仍然成立？為什么？題型七：根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)一、單選題1．（2022·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中已知∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC點(diǎn)E，若AB＝9，AC＝7，則△ADE的周長(zhǎng)為（

）A．13 B．14 C．15 D．16二、填空題2．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線和∠ACB相鄰的外角平分線CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，則BE長(zhǎng)為_(kāi)________．3．（2022·遼寧本溪·八年級(jí)期末）如圖，一艘船從處出發(fā)向正北航行50海里到達(dá)處，分別從，望燈塔，測(cè)得，，則處到燈塔的距離是__________海里．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DEAB，交BC于點(diǎn)E，BE＝2，則DE的長(zhǎng)是___．三、解答題5．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，為的角平分線．(1)如圖1，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．則_______；(2)如圖2，于點(diǎn)，連接，若的面積是6，求的面積；(3)如圖3，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．（用含的式子表示）6．（2022·吉林延邊·八年級(jí)期末）如圖，燈塔B在燈塔A的正東方向，且．燈塔C在燈塔A的北偏東20°方向，燈塔C在燈塔B的北偏西50°方向．（1）求的度數(shù)；（2）一輪船從B地出發(fā)向北偏西50°方向勻速行駛，5h后到達(dá)C地，求輪船的速度．題型八：直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)一、單選題1．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，其規(guī)則為：電子屏幕上有一正方形，點(diǎn)P沿直線從右往左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與正方形四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)2．（2022·河北·秦皇島市第七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點(diǎn)C有（

）A．5 B．4 C．3 D．23．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是某生產(chǎn)線的橫截面示意圖，MN表示長(zhǎng)度為20米的筆直傳送帶，在MN的中點(diǎn)正上方3米處，有一個(gè)專用消毒噴頭，（噴頭大小、長(zhǎng)度均忽略不計(jì)），噴頭位置用點(diǎn)p表示，此時(shí)MN上有一個(gè)邊長(zhǎng)為2米的正方形盒子ABCD，則在盒子隨傳送帶從點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N的過(guò)程中，以C、D、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻共有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)4．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上（包括頂點(diǎn)），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)共有（

）個(gè)A．4 B．6 C．8 D．10二、解答題6．（2021·遼寧大連·八年級(jí)期末）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B（0，2），連接AB，AO．（1）坐標(biāo)系中有點(diǎn)C，使得△COB≌△AOB；①在坐標(biāo)系中畫出△BOC；②點(diǎn)C坐標(biāo)為；（2）若x軸上有點(diǎn)D，使得△ABD是以AB為腰的等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（寫出一個(gè)結(jié)果即可）．7．（2020·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，．以為一邊作等邊三角形，連接、．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？8．（2020·浙江·杭州采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，按照的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為4cm/s，設(shè)出發(fā)時(shí)間為．（1）BC邊上的高為_(kāi)_______；AB邊上的高為_(kāi)_______．（2）當(dāng)時(shí)，求t的值；（3）若是等腰三角形，求出滿足條件t的值．題型九：求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)一、單選題1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2022·江西·贛州市贛縣區(qū)教育教學(xué)研究室八年級(jí)期末）已知：如圖中，，，在射線上找一點(diǎn)，使為等腰三角形，則的度數(shù)為_(kāi)_________．3．（2022·山東聊城·八年級(jí)期中）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).4．（2022·寧夏·銀川市第三中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．（1）作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A’B’C’；（2）若點(diǎn)D在圖中所給的網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，且以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，用兩種不同的分割方法畫出來(lái)．只需畫圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）題型十：作等腰三角形一、解答題1．（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級(jí)期中）已知，線段，求作：等腰，使得頂角，上的高為．2．（2022·陜西西安·八年級(jí)期末）如圖，M為△ABC的邊AC上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，在邊BC上找到一點(diǎn)N，使得△MNB是以BM為底邊的等腰三角形（保留作圖痕跡，不寫作法），3．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，在中，，射線．(1)在線段上取一點(diǎn)，使得，在射線上確定一點(diǎn)，使是以為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：．4．（2022·陜西·咸陽(yáng)市秦都區(qū)電建學(xué)校八年級(jí)期中）已知：線段a．請(qǐng)利用尺規(guī)作圖求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC邊上的高為2a．（不寫作法，保留作圖痕跡）5．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期中）已知：中，邊上一點(diǎn)D．求作：等腰，使為等腰的底邊，且點(diǎn)P到、兩邊的距離相等．（保留作圖痕跡，不必寫作法）6．（2022·山西晉中·八年級(jí)期中）圖，在△ABC中，．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作，點(diǎn)D為垂足，在線段CD上取一點(diǎn)E，使得，連接AE；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若在（1）中恰好．求證：點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上．7．（2022·陜西·無(wú)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上確定一點(diǎn)P，連接BP，使BP將分割成兩個(gè)等腰三角形．（不寫作法，保留作圖痕跡）題型十一：等腰三角形的性質(zhì)和判定一、填空題1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分別為∠BAC和∠ABC的角平分線，若△ABQ的周長(zhǎng)為20，BP＝4，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_________．二、解答題2．（2022·河南·鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，EP是AB邊的垂直平分線，F(xiàn)Q是AC邊的垂直平分線，連接AE，AF，若AB=12，求EF的長(zhǎng)．3．（2022·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)E在BC上，BD⊥AE于點(diǎn)D，F(xiàn)為BC中點(diǎn)．(1)在圖中找出與∠ABD相等的角，并證明；(2)求證：DF平分∠BDE．4．（2022·湖南·常德市第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：≌；(2)若，求的度數(shù)．5．（2022·廣西·興安縣第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，．求證：是等腰三角形．6．（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級(jí)期末）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，BD⊥AE，垂足為F．(1)求證∠CAE=∠ABD；(2)連接DE，滿足∠AEB=∠DEC，求證：BD=DE+AE；(3)點(diǎn)G在BD的延長(zhǎng)線上，連接EG，滿足∠AEB=∠GEC，試寫出AE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．題型十二：三角形邊角的不等關(guān)系一、單選題1．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）已知銳角，如圖．（1）在射線OM上取一點(diǎn)A，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧DE，交射線ON于點(diǎn)B，連接AB；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交弧DE于點(diǎn)C；（3）連接BC，AC．作射線OC．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．若，則C．OB垂直平分AC D．2．（2022·福建·廈門一中八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1），若點(diǎn)B在x軸上，且△ABO是等腰三角形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)不可能是（）A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0）3．（2021·山東·濰坊市濰城區(qū)樂(lè)埠山生態(tài)經(jīng)濟(jì)發(fā)展區(qū)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC4．（2021·河北滄州·八年級(jí)期末）如圖，中，垂直平分，點(diǎn)P為直線上的任一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．10 B．14 C．15 D．19題型十三：等邊三角形的判定一、單選題1．（2022·陜西寶雞·八年級(jí)期末）下列命題是假命題的是（

）A．到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上B．兩邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等C．有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形D．三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等2．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形 B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等C．一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 D．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合二、解答題3．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）如圖，已知線段AB、DE相交于點(diǎn)O，，DE經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移至AC的位置．連接CE、BC．(1)由“DE平移至AC”：①根據(jù)平移距離相等可得______（填相等的線