2024屆新疆烏魯木齊市第四中學高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

2024屆新疆烏魯木齊市第四中學高三第三次測評數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β2．設全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．3．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數(shù)學測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學成績平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學成績的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學成績平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學測試的總平均分是1039．設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．10．已知，若方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．11．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年12．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．14．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．15．設變量，，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值是______.16．已知集合，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．18．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關關系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎勵制度：以（單位：萬臺）表示日銷售，當時，不設獎；當時，每位員工每日獎勵200元；當時，每位員工每日獎勵300元；當時，每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數(shù)的最大值.20．（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）21．（12分）我們稱n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為，這個向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）當n為偶數(shù)時，求，（用n表示）.22．（10分）已知中，，，是上一點．（1）若，求的長；（2）若，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A．若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.2、C【解析】∵集合，，∴點睛：本題是道易錯題，看清所問問題求并集而不是交集.3、B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法法則計算，由共軛復數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法計算，共軛復數(shù)的概念，屬于容易題.4、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線，此時兩條直線平行；當時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.5、C【解析】

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案．【詳解】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其底面面積，高，故體積，故選：．【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．6、A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因為，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復合函數(shù)的零點．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．7、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算進行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關鍵．8、D【解析】

計算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，錯誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，故D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學生的計算能力和應用能力.9、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題.10、B【解析】

求出的表達式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當即圖象相切時，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11、D【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【詳解】解：由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學建模思想，以及數(shù)學運算能力，屬中檔題．12、A【解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數(shù)取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應用，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

計算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．14、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案15、7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設z=F(x,y)=2x+3y，將直線l:z=2x+3y進行平移，當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=716、1【解析】

分別代入集合中的元素，求出值，再結(jié)合集合中元素的互異性進行取舍可解.【詳解】依題意，分別令，，，由集合的互異性，解得，則.故答案為：【點睛】本題考查集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．確定集合中元素，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）項和轉(zhuǎn)換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．【點睛】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了項和轉(zhuǎn)換，數(shù)列的單調(diào)性，最值等知識點，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計算x、y的平均值,進而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計算平均數(shù)μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數(shù)是多少.【詳解】（Ⅰ）因為，，因為，所以，所以；（Ⅱ）因為，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎金總數(shù)大約為：（元）.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計算概率，進而估計總體情況，屬于中檔題.19、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域以及導數(shù)，利用導數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明出在上恒成立；在時，經(jīng)過分析得出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明出在上恒成立，由此得出，進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.當時，.令，解得（舍去），.當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）由題意，可知在上恒成立.（i）若，，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，，，.又，在上恒成立.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，在上恒成立.（ii）若，構(gòu)造函數(shù)，.，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.恒成立，即，，即.由題意，知在上恒成立.在上恒成立.由（Ⅰ）可知，又，當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不合題意，，即.此時構(gòu)造函數(shù)，.，，，，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立.綜上，實數(shù)的最大值為【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于難題.20、（1）分布列見解析；（2）406.【解析】

（1）計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，得到分布列.（2）計算，代入數(shù)據(jù)計算比較大小得到答案.【詳解】（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，則.所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為.依題意可知，，所以的分布列為：（2）方案②中.結(jié)合（1）知每個人的平均化驗次數(shù)為：時，，此時1000人需要化驗的總次