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2.映射連續(xù)的等價(jià)刻畫(huà)1.積拓?fù)渑c投射的性質(zhì)2.7.2乘積拓?fù)渑c投射的性質(zhì)、映射連續(xù)的等價(jià)刻畫(huà)1積拓?fù)渑c投射的性質(zhì)PARTONE積拓?fù)涞男再|(zhì):命題1:投射是連續(xù)的滿(mǎn)的開(kāi)映射,且積拓?fù)?/p>
是使
連續(xù)的最小拓?fù)?
證明:(1)任意
所以
為滿(mǎn)射.
(2)任意,有
是中的開(kāi)集,
是
中的開(kāi)集,所以
連續(xù).(3),只需證明
是
的開(kāi)集,設(shè)
為
中的開(kāi)集,則有
或
均為開(kāi)集(可推廣至有限),所以
為開(kāi)映射;(4)最小性:設(shè)
是使
連續(xù)的任一拓?fù)洌恍枳C明
.由于
的子基由
和
構(gòu)成且它們均屬于
.即
從而
.
2連續(xù)映射的等價(jià)刻畫(huà)PARTTWO映射連續(xù)的等價(jià)刻畫(huà):設(shè)
的一個(gè)映射,
連續(xù)
連續(xù),即
得分量均連續(xù).證明:
由于
連續(xù),
是積拓?fù)?,所?/p>
連續(xù),而
是兩個(gè)連續(xù)映射的復(fù)合,所以
連續(xù)。同理
也連續(xù).
只需證明的子基中的任一成員在下的原像是開(kāi)集為此考查:由連續(xù)知為開(kāi)集,所以為開(kāi)集,同理也為開(kāi)集,綜上連續(xù).推論:任意取定
,由
規(guī)定映射
是嵌入映射.證明
:
是一個(gè)同胚映射,顯然
是一一對(duì)應(yīng).
是投射的限制映射,是連續(xù)的.
的分量映射:
為恒等映射,連續(xù);
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