第7講 函數(shù)的奇偶性-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一練習(xí)（解析版）

第七講函數(shù)的奇偶性一、選擇題1．一個(gè)偶函數(shù)定義在區(qū)間[－7,7]上，它在[0,7]上的圖象如圖1-3-6，下列說(shuō)法正確的是()圖1-3-6A．這個(gè)函數(shù)僅有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B．這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間C．這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值是7D．這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值是－7解析：根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對(duì)稱性，作出在[－7,7]上的圖象，如圖所示，可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)增區(qū)間；有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間；在其定義域內(nèi)有最大值是7；在其定義域內(nèi)最小值不是－7.故選C.答案C2．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，有，則（）．A． B．C． D．解析：由對(duì)任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上單獨(dú)遞減，所以，選A.答案A3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．10解析：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)．又f(x)＝g(x)－8∴f(－2)＝g(－2)－8＝10?g(－2)＝18.∴g(2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.答案A4．如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最小值為，那么它在區(qū)間上是（）A．增函數(shù)且最小值為 B．增函數(shù)且最大值為C．減函數(shù)且最小值為 D．減函數(shù)且最大值為解析：任取、，且，即，則，由已知，奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，即，，所以，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)任意的，，由題意，，可得，則有，所以，函數(shù)在區(qū)間上有最大值.答案B5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是（）A． B． C． D．解析：當(dāng)時(shí)，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集為.答案A6．若函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域上是減函數(shù)，，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C．D．解析：函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域上是減函數(shù)，，即，則，解得.答案A7．定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，且，則不等式的解集是（）A． B． C． D．解析：∵對(duì)任意的恒成立，∴在上是減函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又是偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的解為．答案B8．設(shè)奇函數(shù)上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．解析：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴它在（-∞，0）上也是增函數(shù)．∵f（-x）=-f（x），∴f（-1）=-f（1）=0．不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可化為2xf（x）＜0，即xf（x）＜0，

∴當(dāng)x＜0時(shí)，可得f（x）＞0=f（-1），∴x＞-1，∴-1＜x＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，可得f（x）＜0=f（1），

∴x＜1，∴0＜x＜1．綜上，不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集為{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}．答案D9．函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．解析：∵f（x）在R上是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數(shù)，由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，即f（3）＝0，作出f（x）的草圖，如圖所示：由圖象得，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集為（﹣3，0）∪（0，3），答案D二、填空題10．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則滿足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x取值范圍是________．解析：偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減．由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，則f(－eq\f(1,3))＝f(eq\f(1,3))．由f(2x－1)<f(eq\f(1,3))，得①或②解①得eq\f(1,2)≤x<eq\f(2,3)，解②得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2).綜上，得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，故x的取值范圍是(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))．答案(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則______.解析：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以設(shè)，則，即，因?yàn)?，所以，即，答?.12．若函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，_________．解析：函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，。答案三、解答題13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，（1）求函數(shù)的表達(dá)式（2）求不等式的解集解析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，（2）根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)即，解可得，此時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，成立；此時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)即，解可得，此時(shí)不等式的解集為，綜合可得：不等式的解集或．答案（1）（2）或14．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．解析：（1）∵是奇函數(shù)，∴．即，比較得，.又，∴，解得，即實(shí)數(shù)和的值分別是2和0.（2）函數(shù)在上為增函數(shù)．證明：由（1）知，設(shè)，則，又，，，∴，∴，即函數(shù)在上為增函數(shù)．答案（1），；（2）上為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析15．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義證明:在上是增函