2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 10-1-2　事件的關(guān)系和運(yùn)算 學(xué)案

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會進(jìn)行簡單的隨機(jī)事件的運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模在擲骰子試驗中，定義如下事件：C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}；D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5}；E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}.問題（1）在上述事件中，事件C1與事件C2的并事件是什么？（2）事件D2與事件G及事件C2間有什么關(guān)系？（3）事件C1與事件C2間有什么關(guān)系？（4）事件E與事件F間有什么關(guān)系？

知識點(diǎn)兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生，B一定發(fā)生A?BB包含A，A也包含BA＝B（兩事件相等）事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號表示圖形表示并事件（和事件）A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時發(fā)生A∩B或AB事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號表示圖形表示互斥（互不相容）A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω提醒互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系：①區(qū)別，兩個事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：（?。┤羰录嗀發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；（ⅱ）若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；（ⅲ）事件A，B都不發(fā)生.而兩個事件A，B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，即事件A的對立事件只有一個，而事件A的互斥事件可以有多個；②聯(lián)系，互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發(fā)生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立.對于三個事件A，B，C至少有一個發(fā)生如何用符號表示？同時發(fā)生如何表示？提示：至少有一個發(fā)生可表示為A∪B∪C（或A＋B＋C）；同時發(fā)生可表示為A∩B∩C（或ABC）.1.打靶3次，事件Ai表示“擊中i發(fā)”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（）A.全部擊中 B.至少擊中1發(fā)C.至少擊中2發(fā) D.以上均不正確解析：BA＝A1∪A2∪A3所表示的含義是A1，A2，A3這三個事件中至少有一個發(fā)生，即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā).故選B.2.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A＝{至少1枚正面朝上}，事件B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（）A.C＝A∩B B.C＝A∪BC.C?A D.C?B解析：D記事件D＝{1枚硬幣正面朝上}，事件E＝{2枚硬幣正面朝上}，事件F＝{3枚硬幣正面朝上}，則A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，顯然C≠A∩B，C≠A∪B，C?B，C不含于A.故選D.3.擲一顆骰子，若事件A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A的對立事件為.

解析：擲一顆骰子，事件A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A的對立事件為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn).答案：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)題型一事件的包含關(guān)系的判斷【例1】在擲骰子試驗中，可以得到以下事件：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；D＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；E＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；F＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}.請判斷下列兩個事件的關(guān)系：（1）BH；（2）DJ；

（3）EI；（4）AG.

解析因為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5包含出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)2點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)4點(diǎn)四種情況，所以事件B發(fā)生時，事件H必然發(fā)生，故B?H；同理D?J，E?I；又易知事件A與事件G相等，即A＝G.答案（1）?（2）?（3）?（4）＝通性通法判斷事件之間的關(guān)系，主要判斷表示事件的兩集合間的包含關(guān)系.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，得到如下三個事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，試判斷事件A，B，C之間的包含關(guān)系.解：當(dāng)事件A發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，當(dāng)事件B發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，因此有A?C，B?C；當(dāng)事件A發(fā)生時，事件B一定不發(fā)生，當(dāng)事件B發(fā)生時，事件A一定不發(fā)生，因此事件A與事件B之間不存在包含關(guān)系.綜上，事件A，B，C之間的包含關(guān)系為A?C，B?C.題型二事件的運(yùn)算【例2】盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件A＝“3個球中有1個紅球，2個白球”，事件B＝“3個球中有2個紅球，1個白球”，事件C＝“3個球中至少有1個紅球”，事件D＝“3個球中既有紅球又有白球”.問：（1）事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？（2）事件C與A的交事件是什么事件？解（1）對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.（2）對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個均為紅球，故C∩A＝A.通性通法進(jìn)行事件運(yùn)算時應(yīng)注意的問題（1）進(jìn)行事件的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進(jìn)行分析；（2）在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時，可以根據(jù)常識來判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理.1.從1，2，3，4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，設(shè)“這2個數(shù)的和大于4”為事件A，“這2個數(shù)的和為偶數(shù)”為事件B，則A∪B和A∩B包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（）A.1；6 B.4；2C.5；1 D.6；1解析：C從1，2，3，4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的樣本點(diǎn)有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4個.事件B包含的樣本點(diǎn)有：（1，3），（2，4），共2個.所以事件A∪B包含的樣本點(diǎn)有：（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5個；事件A∩B包含的樣本點(diǎn)有：（2，4），共1個.故選C.2.（多選）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，每次摸出一個球，設(shè)事件S＝“第一次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，則（）A.S?R B.R∩G＝MC.R∪G＝M D.M＝N解析：CDS＝“第一次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，則R?S，A不正確；R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，兩個事件沒有公共的基本事件，R∩G＝?，B不正確；R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，R或G表示摸的兩個球的顏色相同，即R∪G＝M，C正確；M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，由對立事件的定義知M＝N，D正確.故選C、D.題型三互斥事件與對立事件的判斷【例3】（1）同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點(diǎn)且都不是6點(diǎn)”的對立事件為（）A.一個是5點(diǎn)，另一個是6點(diǎn)B.一個是5點(diǎn)，另一個是4點(diǎn)C.至少有一個是5點(diǎn)或6點(diǎn)D.至多有一個是5點(diǎn)或6點(diǎn)（2）（多選）一個口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2個小球不全為紅球B.2個小球恰有1個紅球C.2個小球至少有1個紅球D.2個小球都為綠球解析（1）同時拋擲兩枚均勻的骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個，“都不是5點(diǎn)且都不是6點(diǎn)”包含16個樣本點(diǎn)，其對立事件是“至少有一個是5點(diǎn)或6點(diǎn)”，故選C.（2）從裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個的口袋內(nèi)，一次任意取出2個小球，這兩個小球可能為2個紅色球、2個綠色球、2個藍(lán)色球、1個紅色1個藍(lán)色、1個紅色1個綠色、1個藍(lán)色1個綠色共6種情況，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有：2個小球恰有1個紅球；2個小球都為綠球，而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅色是對立事件；2個小球至少有1個紅球包括2個紅色球、1個紅色1個藍(lán)色、1個紅色1個綠色，則選項C與“2個小球都為紅色”不互斥.故選B、D.答案（1）C（2）BD通性通法辨析互斥事件與對立事件的思路（1）從發(fā)生的角度看：①在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生；②兩個對立事件必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生.（2）從事件個數(shù)的角度看：互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件.1.某人在打靶中，連續(xù)射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對立事件是（）A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶C.恰有兩次中靶 D.至少兩次中靶解析：C至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B錯誤；恰有兩次中靶，與至多有一次中靶不可能同時發(fā)生，但不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；至少兩次中靶與至多有一次中靶為對立事件，故D錯誤.故選C.2.袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則：①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球.在上述事件中，是對立事件的為.

解析：①是互斥不對立的事件，②是對立事件，③④不是互斥事件.答案：②1.拋擲一枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（）A.A?BB.A＝BC.A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D.A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3解析：C由題意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，則A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.故選C.2.一個射手進(jìn)行一次射擊，事件A：命中環(huán)數(shù)大于8；事件B：命中環(huán)數(shù)大于5，則（）A.A與B是互斥事件 B.A與B是對立事件C.A?B D.A?B解析：C事件A：命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故A?B.故選C.3.（多選）從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個，有如下隨機(jī)事件：A＝“恰有一個偶數(shù)”，B＝“恰有一個奇數(shù)”，C＝“至少有一個是奇數(shù)”，D＝“兩個數(shù)都是偶數(shù)”，E＝“至多有一個奇數(shù)”.下列結(jié)論正確的有（）A.A＝B