江蘇省南京師范大學附屬中學2022-2023學年高一上學期期中數(shù)學試題（含解析）

南京師大附中2022－2023學年度第1學期高一年級期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合且，集合，集合，則()A. B. C. D.2.已知為實數(shù)，使“”為真命題的一個充分不必要條件是()A. B. C. D.3.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次命題正確的是使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學屆接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是()A.若a＜b，則 B.若a＞b＞0，則C.若a＞b，則 D.若，則a＞b4.設，則()A. B. C. D.5.設為實數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍是()A. B. C. D.6.世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”．已知，，設，則所在的區(qū)間為()A B. C. D.7.已知奇函數(shù)的定義域為，且對任意兩個不相等的正實數(shù)，都有，在下列不等式中，一定成立的是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)是定義域為區(qū)間，且圖象關(guān)于點中心對稱．當時，，則滿足的x的取值范圍是()A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，不止一項是符合題目要求的，每題全選對者得5分，部分選對得2分，其他情況不得分．9.若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是()A. B. C. D.10.下列說法正確的是()A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.“”是“”的既不充分也不必要條件D.設，則“”是“”的必要不充分條件11.設為正實數(shù)，，則下列不等式中對一切滿足條件的恒成立的是()A. B. C. D.12已知函數(shù)，則()A.奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.方程有兩個實數(shù)根 D.函數(shù)的值域是三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．13.命題“，或”的否定是____________．14.已知三個不等式：①，②，③，用其中兩個作為條件，剩下的一個作為結(jié)論，則可組成______個真命題．15.的值為____________16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．若，則____________，若，函數(shù)的最小值記為，則的最大值為____________．四、解答題：本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.化簡求值(需要寫出計算過程)(1)若，，求值；(2)．18.已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．(1)設a為實數(shù)，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C?(A∩B)，求a的取值范圍：(2)設m為實數(shù)，集合，若x∈(A∪B)是x∈D的必要不充分條件，判斷滿足條件的m是否存在，若存在，求m的取值范圍：若不存在，請說明理由．19.設a，b，c為實數(shù)，且，已知二次函數(shù)，滿足，．(1)求函數(shù)的解析式：(2)設，當x∈[t，t＋2]時，求函數(shù)f(x)的最大值g(t)(用t表示)．20.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學實驗社團主動承擔了這一任務．社團已有的設備每天最多可制備氦氣，按計劃社團必須在天內(nèi)制備完畢．社團成員接到任務后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為(百元)；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為(百元)．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．(1)寫出總成本(百元)關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系式(2)當社團每天制備多少升氦氣時，總成本最少？并求出最低成本．21.設定義在上的函數(shù)，對任意，恒有．若時，．(1)判斷的奇偶性，并加以證明；(2)判斷的單調(diào)性，并加以證明；(3)設為實數(shù)，若，不等式恒成立，求的取值范圍．22.設a為實數(shù)，已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷在區(qū)間上單調(diào)性，并加以證明；(3)已知為實數(shù)，存在實數(shù)m，n滿足，當函數(shù)的定義域為時，函數(shù)的值域恰好為，求所有符合條件的的取值集合． 南京師大附中2022－2023學年度第1學期高一年級期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合且，集合，集合，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合包含的元素特征，結(jié)合的結(jié)果可得結(jié)果.【詳解】，.故選：D.2.已知為實數(shù)，使“”為真命題的一個充分不必要條件是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的真假性求得的取值范圍，然后確定其充分不必要條件.【詳解】依題意，全稱量詞命題：為真命題，在區(qū)間上恒成立，所以，所以使“”為真命題的一個充分不必要條件是“”.故選：B3.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次命題正確是使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學屆接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是()A.若a＜b，則 B.若a＞b＞0，則C.若a＞b，則 D.若，則a＞b【答案】D【解析】【分析】舉反例說明選項AC錯誤；作差法說明選項B錯誤；不等式性質(zhì)說明選項D正確.【詳解】當時，，選項A錯誤；，所以，所以選項B錯誤；時，，所以選項C錯誤；時，，所以選項D正確.故選：D4.設，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察所求結(jié)構(gòu)知把放到對數(shù)的真數(shù)部分作指數(shù)即可求解．【詳解】解：，故選：C．5.設為實數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，要使二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則需，所以的取值范圍是.故選：C6.世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”．已知，，設，則所在的區(qū)間為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)和對數(shù)互化，結(jié)合對數(shù)運算法則可求得，由此可得.【詳解】，，.故選：C.7.已知奇函數(shù)的定義域為，且對任意兩個不相等的正實數(shù)，都有，在下列不等式中，一定成立的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用題意得到在單調(diào)遞增，可得到，結(jié)合奇函數(shù)即可得到答案【詳解】對任意兩個不相等的正實數(shù)，可得，即在單調(diào)遞增，所以，因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以即，故選：A8.已知函數(shù)是定義域為區(qū)間，且圖象關(guān)于點中心對稱．當時，，則滿足的x的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，可得，再與已知聯(lián)立結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式作答.【詳解】因函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則有，而，于是得，即，又當時，，有在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，而，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得，解得，所以滿足的x的取值范圍是.故選：C二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，不止一項是符合題目要求的，每題全選對者得5分，部分選對得2分，其他情況不得分．9.若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是()A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩個命題的真假，判斷出集合中元素的范圍，確定合適的答案.【詳解】由題意，且，，即集合中一定要有小于0的元素，且任何元素都小于3，故，滿足.故選：AD.10.下列說法正確的是()A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.“”是“”的既不充分也不必要條件D.設，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ACD【解析】【分析】對于ACD，化簡不等式即可判斷；對于B，利用全稱命題的否定即可判斷【詳解】對于A，由可得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故正確；對于B，命題“”的否定是“”，故不正確；對于C，由解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故正確；對于D，由解得且，所以“”是“”的必要不充分條件，故正確，故選：ACD11.設為正實數(shù)，，則下列不等式中對一切滿足條件的恒成立的是()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)特殊值以及基本不等式對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，由基本不等式得，當且僅當時等號成立，A選項正確.B選項，時，，但，B選項錯誤.C選項，由基本不等式得，，當且僅當時等號成立，C選項正確.D選項，時，，但，D選項錯誤.故選：AC12.已知函數(shù)，則()A.奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.方程有兩個實數(shù)根 D.函數(shù)的值域是【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，不關(guān)于原點對稱可判斷A，分離常數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，解方程可判斷C，分離常數(shù)求解函數(shù)值域可判斷D.【詳解】A．函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；B．時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，B正確；C．由題可得是方程的一個根，時，(舍去)，時，，故C正確；D．時，，時，，當時，，所以函數(shù)的值域為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．13.命題“，或”的否定是____________．【答案】，【解析】【分析】由特稱命題的否定形式可直接得到結(jié)果.【詳解】由特稱命題的否定知：原命題的否定為，.故答案為：，.14.已知三個不等式：①，②，③，用其中兩個作為條件，剩下的一個作為結(jié)論，則可組成______個真命題．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式性質(zhì)分別判斷①、②、③作為結(jié)論的命題的真假性即可.【詳解】由不等式性質(zhì)，得；；．故可組成3個真命題．故答案為：3.15.的值為____________【答案】##【解析】【分析】將和配湊成完全平方的形式，代入所求式子中，結(jié)合對數(shù)運算可求得結(jié)果.【詳解】，，.故答案為：.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．若，則____________，若，函數(shù)的最小值記為，則的最大值為____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，利用特殊值得到方程組，求出、、的關(guān)系，從而求出，得到，根據(jù)對稱性僅研究時函數(shù)最小值，，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)的取值范圍計算可得.【詳解】解：當時，，因為其圖象關(guān)于對稱，所以，即；當時，因為其圖象關(guān)于對稱，所以，此時，由對稱性僅研究時函數(shù)最小值，令，則，令，，因為，所以，，則，即，所以；故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.化簡求值(需要寫出計算過程)(1)若，，求的值；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先取對數(shù)將表示出來，代入計算即可；(2)直接計算即可.【小問1詳解】，，得【小問2詳解】原式18.已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．(1)設a為實數(shù)，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C?(A∩B)，求a的取值范圍：(2)設m為實數(shù)，集合，若x∈(A∪B)是x∈D的必要不充分條件，判斷滿足條件的m是否存在，若存在，求m的取值范圍：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在；.【解析】【分析】(1)根據(jù)解絕對值不等式的公式，結(jié)合分式的性質(zhì)、交集的定義、子集的性質(zhì)進行求解即可；(2)根據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解即可.【小問1詳解】，所以，，所以，(1)由已知得，①時，，此時滿足題意；②時，，要滿足題意需綜上所述，a的取值范圍是；【小問2詳解】由已知得，由題意得D是的真子集，所以，要滿足題意需(等號不同時成立)答：滿足條件的m存在，取值范圍是．19.設a，b，c為實數(shù)，且，已知二次函數(shù)，滿足，．(1)求函數(shù)的解析式：(2)設，當x∈[t，t＋2]時，求函數(shù)f(x)的最大值g(t)(用t表示)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意，根據(jù)多項式相等的條件，建立方程組，可得答案；(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由給定區(qū)間與對稱軸之間的位置關(guān)系，利用分類討論，可得答案.【小問1詳解】由，解得，所以，，可得，則，解得，即；【小問2詳解】由可知其對稱軸為軸，開口向下，①當，即時，在上單調(diào)遞增，所以；②當時，在上單調(diào)遞減，所以；③當，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以綜上所述，．20.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學實驗社團主動承擔了這一任務．社團已有的設備每天最多可制備氦氣，按計劃社團必須在天內(nèi)制備完畢．社團成員接到任務后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為(百元)；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為(百元)．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．(1)寫出總成本(百元)關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系式(2)當社團每天制備多少升氦氣時，總成本最少？并求出最低成本．【答案】(1)(2)當社團每天制備氦氣時，總成本最少，最低成本為百元【解析】【分析】(1)根據(jù)生產(chǎn)天數(shù)要求，可確定的取值范圍；計算可得日產(chǎn)量不足和大于等于時，氦氣的平均成本，由此可得關(guān)系式；(2)分別在、的情況下，利用基本不等式和二次函數(shù)求最值的方法可求得最小值，綜合兩種情況可得結(jié)論.【小問1詳解】若每天生產(chǎn)氦氣，則需生產(chǎn)天，，則；若氦氣日產(chǎn)量不足，則氦氣的平均成本為百元；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，則氦氣的平均成本為百元；.【小問2詳解】當時，(當且僅當，即時取等號)，當時，取得最小值；當時，，令，則，，則當，即時，取得最小值；綜上所述：當社團每天制備氦氣時，總成本最少，最低成本百元.21.設定義在上的函數(shù)，對任意，恒有．若時，．(1)判斷的奇偶性，并加以證明；(2)判斷的單調(diào)性，并加以證明；(3)設