浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)(含周邊)重點中學(xué)高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、考試號和姓名；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則()A. B. C. D.2.命題“，”的否定是()A.， B.，C.， D.，3.下列函數(shù)與是同一個函數(shù)的是()A B.C. D.4.若a，，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是()A. B.C D.6.已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，若，則的值為()A. B. C. D.8.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，對，關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍為()A.或 B.或C. D.或二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若冪函數(shù)的圖象過，下列說法正確的有()A.且 B.是偶函數(shù)C.在定義域上是減函數(shù) D.的值域為10.已知，，，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的最大值為612.一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“k倍美好區(qū)間”.特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“完美區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的“完美區(qū)間”，則B.函數(shù)存在“完美區(qū)間”C.二次函數(shù)存在“2倍美好區(qū)間”D.函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則實數(shù)m的取值范圍為非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計算：__________.14.秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預(yù)防流感，某學(xué)校決定用藥熏消毒法對所有教室進行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)空氣中的含藥量()與時間()()成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)，)，據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到()以下時，學(xué)生方可進教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前__________小時進行消毒工作.15.已知定義在R上的函數(shù)滿足，若與的交點為，，則___________.16.若不等式對任意的恒成立，則的最大值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.(1)當(dāng)時，求不等式解集；(2)若命題，使得為假命題.求實數(shù)a的取值范圍.18.已知全集U為全體實數(shù)，集合，(1)在①，②，③這三個條件中選擇一個合適的條件，使得，并求和；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.19.已知定義在R奇函數(shù)，當(dāng)時，(1)求的值；(2)求在R上的解析式；(3)若方程有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.20.截至2022年10月，杭州地鐵運營線路共12條.杭州地鐵經(jīng)歷了從無到有，從單線到多線，從點到面，從面到網(wǎng)，形成網(wǎng)格化運營，分擔(dān)了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時間間隔(單位：分鐘)滿足，經(jīng)市場調(diào)研測算，列車的載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時，列車為滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為502人，記列車載客量為(1)求的表達式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量；(2)若該線路每分鐘凈收益為(單位：元)，則當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.21.已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求k的值并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實數(shù)m的值；(3)若為奇函數(shù)，不等式在上有解，求實數(shù)m的取值范圍.22.已知.(1)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若在區(qū)間上最大值為M，最小值為N，且的最小值為1，求實數(shù)a的值；(3)若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2022學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)(含周邊)重點中學(xué)高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、考試號和姓名；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用補集和交集的定義可求得集合.【詳解】由已知可得，因為.故選：C.2.命題“，”的否定是()A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題，即，，故選：A.3.下列函數(shù)與是同一個函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系是否完全相同即可得答案【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，，兩個函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對于C，函數(shù)的定義域為，定義域不同，與不是同一函數(shù)；對于D，，對應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù).故選：B4.若a，，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】對于充分性，利用基本不等式，可得證；對于必要性，可舉反例，可得答案.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即；當(dāng)時，，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項選項A、D，再根據(jù)不成立排除選項C，即可得正確選項.【詳解】由圖知的定義域為，排除選項A、D，又因為當(dāng)時，，不符合圖象，所以排除選項C，故選：B.6.已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知f(x)在上是增函數(shù)，令，則函數(shù)t為二次函數(shù)，且在時為增函數(shù)，且在時恒成立，據(jù)此列出不等式組即可求解．【詳解】由題意可知在上為單調(diào)增函數(shù)，令，則函數(shù)t為二次函數(shù)，且在時為增函數(shù)，且在時恒成立，∴，解得故選：C．7.設(shè)函數(shù)，若，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得出的關(guān)系式，計算后代入上面得出的關(guān)系式即可．【詳解】由題意，則，所以故選：B.8.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，對，關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍為()A.或 B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)和奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，在成立，上有解，結(jié)合主元變更求實數(shù)的取值范圍，同樣當(dāng)時，在成立，上有解，結(jié)合主元變更求實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解：①當(dāng)時，可以轉(zhuǎn)換為，因為奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，∴在成立，則，由于，∴在遞減，則，又在上有解，則，∴；②當(dāng)時，由單調(diào)性和奇偶性可轉(zhuǎn)換為：，∴，在成立，則，當(dāng)時，在，遞增，則，又在有解，則，∴，當(dāng)時，在，遞減，則，又在有解，則，∴，綜合得.綜上，或.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若冪函數(shù)的圖象過，下列說法正確的有()A.且 B.是偶函數(shù)C.在定義域上是減函數(shù) D.的值域為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，由經(jīng)過可得，進而得，結(jié)合選項即可根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一求解.【詳解】對于A;由冪函數(shù)定義知，將代入解析式得，A項正確；對于B;函數(shù)的定義域為，且對定義域內(nèi)的任意x滿足，故是偶函數(shù)，B項正確；對于C;在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯誤；對于D;的值域不可能取到0，D項錯誤.故選：AB10.已知，，，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將c改寫成，利用和的單調(diào)性，分別與a，b比較大小.【詳解】因為，，又，是減函數(shù)，所以，即，故A正確；因為，又，是增函數(shù)，所以，即，故B不正確；由于，所以，故C正確；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為 B.的最大值為1C.最小值為 D.的最大值為6【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)，且，結(jié)合基本不等式逐項求解最值即可判斷正誤.【詳解】解：對于A選項：，當(dāng)成立，故A正確；對于B選項：，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)成立，故無最大值，故B錯誤；對于C選項，，當(dāng)時，又能取等號，故C正確；對于D選項，，當(dāng)成立，故最小值為6，故D錯誤.故選：AC.12.一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“k倍美好區(qū)間”.特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“完美區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的“完美區(qū)間”，則B.函數(shù)存在“完美區(qū)間”C.二次函數(shù)存在“2倍美好區(qū)間”D.函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則實數(shù)m的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】分析每個函數(shù)的定義域及其在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，按“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，列出相應(yīng)方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.【詳解】對于A，因為函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在上單增，所以其值域為，又因為為的完美區(qū)間，所以，解得或，因為，所以，A錯誤；對于B，函數(shù)在和都單調(diào)遞減，假設(shè)函數(shù)存在完美區(qū)間，則，即a，b互倒數(shù)且，故函數(shù)存在完美區(qū)間，B正確；對于C，若存在“2倍美好區(qū)間”，則設(shè)定義域為，值域為當(dāng)時，易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，，兩式相減，得，代入方程組解得，，C正確.對于D，的定義域為，假設(shè)函數(shù)存在“完美區(qū)間”，若，由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則，解得；若，由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即在有兩解a，b，得，故實數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：BCD.【點睛】抓住“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，在已知單調(diào)性的前提下，即可通過分析函數(shù)在區(qū)間端點處a，b的取值，列出方程組.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計算：__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則，直接求解即可.【詳解】故答案為：.14.秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預(yù)防流感，某學(xué)校決定用藥熏消毒法對所有教室進行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)空氣中的含藥量()與時間()()成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)，)，據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到()以下時，學(xué)生方可進教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前__________小時進行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意求出參數(shù)a，當(dāng)時,令，解不等式即可.【詳解】由圖中一次函數(shù)圖象可得，圖象中線段所在直線的方程為，又點在曲線上，所以，解得，因此含藥量與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，令，即，即，解得故答案：1.15.已知定義在R上的函數(shù)滿足，若與的交點為，，則___________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得圖象的對稱軸為直線，同樣可得，則函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，故與的交點也滿足對稱性，即可得的值.【詳解】解：由，得圖象的對稱軸為直線，又，即，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，如圖函數(shù)和函數(shù)的圖象的5個交點的橫坐標(biāo)關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性可得

故答案為：1016.若不等式對任意的恒成立，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式對和分類討論，分別滿足不等式對任意的恒成立，列式求解即可.【詳解】解：①當(dāng)時，由得到在上恒成立，顯然a不存在；②當(dāng)時，由，可設(shè)，由的大致圖象，可得的大致圖象，如圖所示，由題意可知則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為綜上，的最大值為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若命題，使得為假命題.求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)按不含參的一元二次不等式求解；(2)轉(zhuǎn)化為對恒成立問題求解，要注意討論二次項系數(shù)是否為0.【小問1詳解】當(dāng)時，原不等式為，令得，，又因為開口向上，所以不等式解集為或【小問2詳解】命題，使得為假命題，，恒成立為真命題即：對恒成立①當(dāng)即時，恒成立，符合題意；②當(dāng)即時，應(yīng)滿足，，綜上所述：.18.已知全集U為全體實數(shù)，集合，(1)在①，②，③這三個條件中選擇一個合適的條件，使得，并求和；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)選條件③，或，(2)【解析】【分析】(1)求出集合，再得出三個條件下集合，由，確定選條件③，然后由集合的運算法則計算；(2)根據(jù)必要不充分條件的定義求解．【小問1詳解】由題知：集合，，時，，時，，時，，，需選條件③，此時，或，，【小問2詳解】∵“”是“”的必要不充分條件是B的真子集，∴且等號不同時取得，解得．19.已知定義在R的奇函數(shù)，當(dāng)時，(1)求的值；(2)求在R上的解析式；(3)若方程有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可代入求解，(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解的解析式，進而可求上的解析式，(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得交點個數(shù)，進而列不等式求解即可.【小問1詳解】由于是奇函數(shù)，所以小問2詳解】當(dāng),則，，由于是奇函數(shù)，所以，故當(dāng)時，，因此【小問3詳解】畫出的圖象如圖1，進而可得的圖象如圖2，由圖知：，解得或，即實數(shù)m的取值范圍是20.截至2022年10月，杭州地鐵運營線路共12條.杭州地鐵經(jīng)歷了從無到有，從單線到多線，從點到面，從面到網(wǎng)，形成網(wǎng)格化運營，分擔(dān)了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時間間隔(單位：分鐘)滿足，經(jīng)市場調(diào)研測算，列車的載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時，列車為滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為502人，記列車載客量為(1)求的表達式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量；(2)若該線路每分鐘凈收益為(單位：元)，則當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】(1)，發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為550人(2)當(dāng)發(fā)車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元【解析】【分析】(1)由已知函數(shù)模型求出解析式，然后計算時的發(fā)車量；(2)由(1)的函數(shù)式求出該線路每分鐘凈收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函數(shù)的單調(diào)性求解后比較可得．【小問1詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)而，，∴，，即發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為550人.【小問2詳解】當(dāng)時當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取到最大為當(dāng)發(fā)車時間間隔為分鐘時，該線路每