浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022學(xué)年第二學(xué)期杭州市高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1.本試卷分試題卷和答題卡兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名?姓名?試場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字涂黑.3.答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無效.一?選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.設(shè)集合，則()A. B. C. D.2.若(是虛數(shù)單位)，則()A.2 B.3 C. D.3.軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則()A. B. C. D.4.已知平面平面，直線，則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.杭州亞運(yùn)會(huì)火炬如圖(1)所示，小紅在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)將其抽象為圖(2)所示的幾何體.假設(shè)火炬裝滿燃料，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為，則關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的大致圖象可能是()A. B.C. D.6.雷峰塔位于杭州市西湖景區(qū)，主體為平面八角形體仿唐宋樓閣式塔，總占地面積平方米，項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量雷峰塔的高度，如圖選取了與底部水平的直線，測(cè)得、的度數(shù)分別為、，以及、兩點(diǎn)間的距離，則塔高()A. B.C. D.7.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則()A.B.，當(dāng)時(shí)，C.D.，當(dāng)時(shí)，8.設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為()A.1 B.3 C.5 D.7二?多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.)9已知函數(shù)，則()A.函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)是減函數(shù)10.如圖，是正六邊形的中心，則()A. B.C. D.在上的投影向量為11.如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng).若和同時(shí)出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則()A.在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B.在末，扇形的弧長(zhǎng)為C.末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D.面積的最大值為12.圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則()A.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則B.設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則C.設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則D.設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13.設(shè)函數(shù)，若，則__________.14.將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為__________.15.已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都是2，則直線與平面所成角的正切值為__________；直線與直線所成角的余弦值為__________.16.對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)“不動(dòng)點(diǎn)”.若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.記函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為和，即.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：若函數(shù)為增函數(shù)，則.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則的取值范圍是__________.三?解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.)17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若角滿足，求的值．18.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間間的關(guān)系為(其中是正常數(shù)).已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.(1)求的值(精稱到0.01)；(2)求污染物減少需要花的時(shí)間(精確到)？參考數(shù)據(jù)：.19.我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“@未來坐標(biāo)系”.如圖所示，分別為正方向上的單位向量.若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“@未來坐標(biāo)”，記.已知分別為向是的@未來坐標(biāo).(1)證明：；(2)若向量的“@未來坐標(biāo)”分別為，，求向量的夾角的余弦值.20.在四邊形中，.(1)求證：.(2)若，且，求四邊形的面積.21.生活中為了美觀起見，售貨員用彩繩對(duì)長(zhǎng)方體禮品盆進(jìn)行捆扎.有以下兩種捆扎方案：方案(1)為十字捆扎(如圖(1))，方案(2)為對(duì)角捆扎(如圖(2)).設(shè)禮品盒的長(zhǎng)，寬，高分別為.(1)在方案(2)中，若，設(shè)平面與平面的交線為，求證：平面；(2)不考慮花結(jié)用繩，對(duì)于以上兩種捆扎方式，你認(rèn)為哪一種方式所用彩繩最少，最短繩長(zhǎng)為多少？22已知函數(shù).(1)直接寫出的解集；(2)若，其中，求的取值范圍；(3)已知為正整數(shù)，求的最小值(用表示).

2022學(xué)年第二學(xué)期杭州市高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1.本試卷分試題卷和答題卡兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名?姓名?試場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字涂黑.3.答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無效.一?選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.設(shè)集合，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求兩集合的交集.【詳解】由，得，解得，所以，因?yàn)?，所以，故選：B2.若(是虛數(shù)單位)，則()A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得，再根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C3.軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由密位制與弧度的換算公式可得，，從而可得解．【詳解】因?yàn)?密位等于圓周角的，所以角密位時(shí)，，故選：C．4.已知平面平面，直線，則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析判斷.【詳解】設(shè)，在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)?，所以∥，因?yàn)?，，所以，而?dāng)平面平面，直線，時(shí)，與平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選：A5.杭州亞運(yùn)會(huì)火炬如圖(1)所示，小紅在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)將其抽象為圖(2)所示的幾何體.假設(shè)火炬裝滿燃料，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為，則關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的大致圖象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)火炬的形狀：中間細(xì)、上下粗來分析剩余燃料的高度隨時(shí)間變化的下降速度.【詳解】由圖可知，該火炬中間細(xì)，上下粗，燃燒時(shí)燃料以均勻的速度消耗，燃料在燃燒時(shí)，燃料的高度一直在下降，剛開始時(shí)下降的速度越來越快，燃料液面到達(dá)火炬最細(xì)處后，燃料的高度下降得越來越慢，結(jié)合所得的函數(shù)圖象，A選項(xiàng)較為合適.故選：A.6.雷峰塔位于杭州市西湖景區(qū)，主體為平面八角形體仿唐宋樓閣式塔，總占地面積平方米，項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量雷峰塔的高度，如圖選取了與底部水平的直線，測(cè)得、的度數(shù)分別為、，以及、兩點(diǎn)間的距離，則塔高()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求得，進(jìn)而可得出，即為所求.【詳解】在中，，由正弦定理可得，即，得，由題意可知，，所以，.故選：A.7.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則()A.B.，當(dāng)時(shí)，C.D.，當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】觀察到分別為一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，則數(shù)形結(jié)合，依次判定即可.【詳解】由題，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，作出示意圖如圖所示：則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，且，則結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，時(shí)，由圖可知，則D選項(xiàng)正確.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為()A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與可得，再根據(jù)單調(diào)性可得，驗(yàn)證，與即可.【詳解】由,得，

由，得，

兩式作差，得，

因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，得.

當(dāng)時(shí)，,因?yàn)?所以,所以.，,因?yàn)?，所以在區(qū)間上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因,所以，所以.，,因?yàn)?，所以在區(qū)間上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?所以,所以.，，所以在區(qū)間上單調(diào)，符合題意，所以的最大值是3.故選:B.二?多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.)9.已知函數(shù)，則()A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)是減函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】求函數(shù)的奇偶性可判斷AB；分離參數(shù)可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域可判斷C；根據(jù)單調(diào)性的定義可判斷D.【詳解】的定義域?yàn)?，，則，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?所以,，所以,故的值域?yàn)?C正確；設(shè),則,因?yàn)?，所以，所?即，所以函數(shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選:AC.10.如圖，是正六邊形的中心，則()A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可判定A、B不正確，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義域運(yùn)算，可判定C正確，結(jié)合向量的投影的定義與運(yùn)算，可判定D正確.【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，可得：對(duì)于A中，由，所以A不正確；對(duì)于B中，由，所以B不正確；對(duì)于C中，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，可得，，所以，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，連接，可得，可得，所以在向量上的投影向量為，所以D正確.故選：CD.11.如圖，質(zhì)點(diǎn)和在單位圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng).若和同時(shí)出發(fā)，的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，B的角速度為，起點(diǎn)位置坐標(biāo)為，則()A.在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B.在末，扇形的弧長(zhǎng)為C.在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合D.面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】求出末點(diǎn)和的坐標(biāo)可判斷選項(xiàng)AB;求出末點(diǎn)和的坐標(biāo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷C；根據(jù)三角形面積公式可判斷D.【詳解】在末,點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；，扇形的弧長(zhǎng)為；設(shè)在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合，則，故在末，點(diǎn)在單位圓上第二次重合；,經(jīng)過s后，可得，面積的可取得最大值.

故選:BCD.12.圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則()A.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則B.設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則C.設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則D.設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，依題意可得為等邊三角形，設(shè)球心為(即為的重心)，即可求出的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，即可為圓錐的外接球、內(nèi)切球的半徑，即可判斷A、B，由圓錐及球的體積公式判斷C，所對(duì)的圓心角為(在圓上)，設(shè)的中點(diǎn)為，即可求出，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用三角形相似求出，即可求出截面圓的半徑，從而判斷D.【詳解】作出圓錐的軸截面如下：因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，又，所以，設(shè)球心為(即為的重心)，所以，，即內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，所以，故A正確；設(shè)內(nèi)切球表面積，外接球的表面積為，則，故B錯(cuò)誤；設(shè)圓錐的體積為，則，內(nèi)切球的體積為，則，所以，故C正確；設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則所對(duì)的圓心角為(在圓上)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，即，解得，所以平面截內(nèi)切球截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是由題意得到圓錐的軸截面三角形為等邊三角形，從而確定外接球、內(nèi)切球的半徑.二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13.設(shè)函數(shù)，若，則__________.【答案】##0.25【解析】【分析】分段求解方程和指數(shù)方程，則問題得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，(舍)．．故答案為：.14.將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出平移后的解析，再由兩函數(shù)圖象相同列方程可求得結(jié)果.【詳解】將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得，因?yàn)榕c的圖象相同，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，故答案為?5.已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都是2，則直線與平面所成角的正切值為__________；直線與直線所成角的余弦值為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】空1：取中點(diǎn)，連接，則可得為直線與平面所成角，然后在中求解即可；空2：分別取的中點(diǎn)，連接，則可得(或其補(bǔ)角)為直線與直線所成角，然后在中求解即可.【詳解】空1：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以直線與平面所成角，因?yàn)檎庵母鳁l棱長(zhǎng)都是2，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值為，空2：分別取的中點(diǎn)，連接，則∥，，∥，，所以(或其補(bǔ)角)為直線與直線所成角，連接，則，在中，由余弦定理得，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以直線與直線所成角的余弦值為，故答案為：；.16.對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”.若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.記函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為和，即.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：若函數(shù)為增函數(shù)，則.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先判斷是增函數(shù)，再根據(jù)題意可得，代入可得，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以等價(jià)于，即，所以，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以的取值范圍為.故答案為：三?解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.)17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若角滿足，求的值．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根據(jù)某個(gè)角正弦的定義，直接求解即可；(2)首先由同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，根據(jù)及兩角差的余弦公式，代入計(jì)算即可．【小問1詳解】由角的終邊過點(diǎn)，得．【小問2詳解】由角的終邊過點(diǎn)，得，由，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，或．18.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間間的關(guān)系為(其中是正常數(shù)).已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.(1)求的值(精稱到0.01)；(2)求污染物減少需要花的時(shí)間(精確到)？參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意可得，求解即可；(2)由題意可得，求解即可.【小問1詳解】由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，所以，即；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則.故污染物減少需要花的時(shí)間約為.19.我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“@未來坐標(biāo)系”.如圖所示，分別為正方向上的單位向量.若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“@未來坐標(biāo)”，記.已知分別為向是的@未來坐標(biāo).(1)證明：；(2)若向量的“@未來坐標(biāo)”分別為，，求向量的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)因?yàn)?，則計(jì)算即可證明；(2)由題意可得，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以【小?詳解】，，，，所以.20.在四邊形中，.(1)求證：.(2)若，且，求四邊形的面積.【答案】(1)證明見解析(2)若，則四邊形的面積，若，則四邊形的面積.【解析】【分析】(1)由條件結(jié)合正弦定理證明，由此證明結(jié)論；(2)由條件結(jié)合正弦定理求，由余弦定理求，結(jié)合三角形面積公式求結(jié)論.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，中，由正弦定理得，即，所?又，所以，所以.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，所以，所以或，①當(dāng)時(shí)，則，在中，由余弦定理得，，又，解得，此時(shí)